P rogrammation M athématique L inéaire TAI Optimisation & Complexité Adeline Dubois Nicolas Hubert Antonin Lapiche 28/05/2010.

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1 P rogrammation M athématique L inéaire TAI Optimisation & Complexité Adeline Dubois Nicolas Hubert Antonin Lapiche 28/05/2010

2 Programmation Mathématique Linéaire Méthode du simplexe pour résoudre des PML Test du programme PML paramétrée

3 Ecriture de la forme standard d’un PML Prenons l’inégalité : Contrainte d’inégalité ≤ Contrainte d’inégalité ≥ Contrainte d’égalité =

4 Ecriture de la forme standard d’un PML Fonction économique Γ : critères de Dantzig Fonction économique Γ : critères de Dantzig Recherche d’un maximum Recherche d’un maximum VE : coefficient le plus grand positif dans Γ VE : coefficient le plus grand positif dans Γ VS : coefficient positif le plus petit dans R’ VS : coefficient positif le plus petit dans R’ Recherche d’un minimum Recherche d’un minimum VE : coefficient le plus négatif dans Γ VE : coefficient le plus négatif dans Γ VS : coefficient positif le plus petit dans R’ VS : coefficient positif le plus petit dans R’

5 Ecriture de la forme standard d’un PML

6 Tableau (T0) du simplexe : Tableau (T0) du simplexe : 1 er critère de Dantzig : x 2 1 er critère de Dantzig : x 2 2ème critère de Dantzig : t 1 2ème critère de Dantzig : t 1 Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } T0x1x1 x2x2 t1t1 t2t2 t3t3 e3e3 RR’ t1t1 13100062 t2t2 1010022 t3t3 2100 122 Г 102000000

7 Ecriture de la forme standard d’un PML Base non optimale  changement de base Base non optimale  changement de base Variable entrante : x 1 // Variable sortante : Variable entrante : x 1 // Variable sortante : Nouveau tableau (T1) après pivot sur les lignes : Nouveau tableau (T1) après pivot sur les lignes : 1 er critère de Dantzig : x 2 // 2ème critère de Dantzig : t 1 1 er critère de Dantzig : x 2 // 2ème critère de Dantzig : t 1 Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } T1x1x1 x2x2 t1t1 t2t2 t3t3 e3e3 RR’ x2x2 1/31 00026 t2t2 4/301/310043 t3t3 5/30-1/30100 Г 10/30-20/3000-40

8 Ecriture de la forme standard d’un PML Base non optimale  changement de base Base non optimale  changement de base Variable entrante : x 2 Variable entrante : x 2 // Variable sortante : t 3 Nouveau tableau (T2) après pivot sur les lignes : Nouveau tableau (T2) après pivot sur les lignes : Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables hors base : {x 1, x 2 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } Variables dans la base : {t 1, t 2, t 3, e 3 } T2x1x1 x2x2 t1t1 t2t2 t3t3 e3e3 RR’ x2x2 01¼-1/4001 x1x1 101/43/4003 t3t3 00-3/4-5/41-5 Г 00-15/2-5/200-50

9 Ecriture de la forme standard d’un PML Coûts réduits des variables de base négatifs ou nuls  Solution optimale Coûts réduits des variables de base négatifs ou nuls  Solution optimale Bénéfice maximal : 50 avec 3 articles A 1 et1 article A 2 Bénéfice maximal : 50 avec 3 articles A 1 et1 article A 2

10 Test du programme

11 PML paramétrée Test à effectuer sur chaque paramètre Test à effectuer sur chaque paramètre Dans notre cas : Dans notre cas :

12 Paramètre P 1 On remplace P1 par : On remplace P1 par : Après développement on a: Après développement on a:

13 Valeurs critiques 2 valeurs critiques : 2 valeurs critiques : 2 cas d’optimisation en fonction de lambda: 2 cas d’optimisation en fonction de lambda:

14 1 er cas On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient: On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient:

15 2 nd cas On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient: On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient:

16 Revenu optimal

17 Paramètre P 2 On remplace P2 par : On remplace P2 par : Après développement on a: Après développement on a:

18 Valeurs critiques 2 valeurs critiques : 2 valeurs critiques : 2 cas d’optimisation en fonction de lambda: 2 cas d’optimisation en fonction de lambda:

19 1 er cas On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient: On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient:

20 2 nd cas On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient: On déroule l’algorithme du simplexe et on obtient:

21 Revenu optimal

22 Q&R