1 Système d ’équations : 3 problèmes. Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX Type d ’activité : exercices dirigés.

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2 1 Système d ’équations : 3 problèmes. Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX Type d ’activité : exercices dirigés

3 2 Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une ou plusieurs questions : A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Des liens hypertextes te permettent de naviguer. Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Touches retour page Sommaire précédente

4 3 Sommaire Au supermarché Poker. Balade en vélo Pour apprendre à résoudre un système veuillez télécharger la présentation sys.zip http://perso.wanadoo.fr/bruno.delacote/

5 4 Au supermarché Pierre lit : « Assortiment de boulons 2 tailles différentes 50 et 80 mm 400 pièces. Masse totale : 6,3 kg » Pierre souhaite connaître le nombre de boulons de chaque taille. Il pèse un boulon de 50 mm et trouve 12g. Il pèse ensuite un boulon de 80mm et trouve 18g. Pierre est satisfait, il connaît le nombre de boulons de chaque taille. Et toi ?

6 5 Le lot est composé de 400 boulons. x + y = 400 Les x boulons de 50 mm pèse : 12x grammes Les y boulons de 80 mm pèse : 18y grammes donc l ’ensemble des boulons pèse : 12x + 18y = 6300 grammes D ’où le système x + y = 400 2x + 3y = 1050 On peut diviser tous les termes de l’équation par 6 Le lot se compose de 150 boulons de 50 mm et 250 boulons de 80mm. x + y = 400 12x + 18y = 6300 Appelons x le nombre de boulons de 50 mm et y le nombre de boulons de 80mm.

7 6 Jacques et Olivier jouent au poker. (L’un contre l ’autre !) Si Olivier perd 50 euros, il aura le double de ce que possède Jacques. Mais si Jacques perd 50 euros, il lui restera le quart de ce que possède Olivier. Olivier possède x euros Jacques possède y euros 1 er possibilité 2 ème possibilité Appelons x le nombre d'euros que possède Olivier et y le nombre d'euros que possède Jacques :

8 7 Jacques et Olivier jouent au poker. (L’un contre l ’autre !) Si Olivier perd 50 euros, il aura le double de ce que possède Jacques. Mais si Jacques perd 50 euros, il lui restera le quart de ce que possède Olivier. OlivierJacques 1 er possibilité 2 ème possibilité x - 50 y + 50 x - 50 = 2( y + 50) x + 50 y - 50 x + 50 = 4( y - 50) Conseil : réduis les équations avant de résoudre le système. x - 2y - 150 = 0 x - 50 = 2( y + 50) x + 50 = 4( y - 50) x - 4y + 250 = 0

9 8 x - 2y - 150 = 0 x - 4y + 250 = 0 Pour résoudre ce système la méthode de résolution par élimination est particulièrement rapide. Mais la méthode de résolution par substitution ne pose aucun problème ! Olivier dispose de Jacques dispose de 550 euros. 200 euros.

10 9 Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace. Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine. Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes. Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes. Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux. Masevaux Malvaux Ballon d'Alsace

11 10 Aller Masevaux Ballon d ’Alsace Malvaux Distance Vitesse Temps x y 10km/h 30km/h La durée du trajet aller est : Attention ! 2heures 30minutes = 2,5 heures Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace. Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine. Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes. Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes.Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux.

12 11 Retour Masevaux Ballon d ’Alsace Malvaux Distance Vitesse Temps x y 10km/h 30km/h La durée du trajet retour est : Martin habite à Masevaux, petite ville au pied du Ballon d’Alsace. Il utilise son vélo pour se rendre à Malvaux, petit hameau situé sur l ’autre versant et où habite son amie Martine.Pour se rendre à Malvaux il escalade le col, puis effectue la descente. Le trajet dure 2 heures et 30 minutes.Pour rentrer chez lui, le trajet nécessite une heure et 30minutes.Sachant que sa vitesse moyenne est 10km/h dans la montée et 30km/h dans la descente, on demande de calculer les distances entre Masevaux, le sommet du col du ballon d ’Alsace et Malvaux.

13 12 Il reste à résoudre le système En multipliant chaque équation par 30 ! 3x + y = 75 3y + x = 45

14 13 3x + y = 75 3y + x = 45 y = 75 - 3x 3(75 - 3 x) + x = 45 225 -9x + x = 45 -8x = 45 - 225 x = -180/-8 x = 22,5 y = 75 - 3 x 22,5 y = 7,5 La distance entre : - Masevaux et le sommet du col du Ballon d ’Alsace est 22,5 km. - Le col du ballon d ’Alsace et Malvaux est de 7,5km. - Malvaux et Masevaux est 30km.

15 14 x - 2y - 150 = 0 x - 4y + 250 = 0 En procédant par élimination x - 2y - 150 - (x - 4y + 250 ) = 0 2y - 400 = 0 y = 200 d ’où x - 2 x 200 - 150 = 0 et x = 550 Le couple (550 ; 200) est solution de ce système Retour au problème Pour apprendre à résoudre un système veuillez télécharger la présentation sys.zip http://perso.wanadoo.fr/bruno.delacote/

16 15 Pour apprendre à résoudre un système veuillez télécharger la présentation sys.zip http://perso.wanadoo.fr/bruno.delacote/ x + y = 400 2x + 3y = 1050 En procédant par substitution : y = 400 - x 2x + 3(400 - x) = 1050 2x +1200 - 3x = 1050 -x = 1050 - 1200 -x = -150 x = 150 donc y = 250 Le couple (150; 250) est solution de ce système !