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Publié parHorace Berthelot Modifié depuis plus de 9 années
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Compléments mathématiques. COMPLEMENTS MATHEMATIQUES
CHAPITRE 0 COMPLEMENTS MATHEMATIQUES Notes de cours. Electricité 1. Y.OUAZZANY.
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SOMMAIRE I- OPERATEURS DIFFERENTIELS Champs de scalaires et de vecteurs. Circulation et flux d'un champ de vecteurs. Opérateurs différentiels: gradient, divergence, rotationnel, laplacien. II- INTEGRALES Intégrale simple, curviligne, double et triple. III- ANGLE SOLIDE
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I- OPERATEURS DIFFERENTIELS
1- Champ de scalaires Ensemble des valeurs prises par la fonction de point à variable scalaire f(x,y,z) en tout point de l’espace. pression p(x,y,z), potentiel électrostatique V(x,y,z),…. Surfaces de niveau: lieu des points M tels que f(x,y,z) Cte 2- Champ de vecteurs Ensemble des valeurs prises par la fonction de point à valeur vectorielle en tout point M de l’espace. champ de pesanteur , champ électrostatique ,… Ligne de champ: courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ. Tube de champ: ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé.
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3- Circulation et Flux d’un champ de vecteurs
a- Orientation d’une surface dS (S) Surface ouverte (S): Orienter (S) choisir un sens à la normale : règle du " tire-bouchon " vecteur unitaire normal à dS. vecteur-surface: Surface fermée: orientée de l'intérieur vers l'extérieur. (V) dS
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b- Circulation d’un vecteur
M le point d’application de décrit la courbe (C). circulation élémentaire c- Flux d’un vecteur à travers une surface dS M (S) (S) surface orientée quelconque. flux élémentaire
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4- Relations entre champs de scalaires et champs de vecteurs
Relations qui expriment des lois physiques: champ de scalaires champ de vecteurs champ de scalaires champ de vecteurs Les opérateurs différentiels (gradient, divergence, rotationnel,…) définissent ces correspondances.
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a- Gradient: champs de scalaires champs de vecteurs U(x,y,z) champ de scalaires, (x,y,z) coord. cartésiennes. avec Le champ de vecteurs "dérive" du champ de scalaires U(x,y,z).
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Propriétés le vecteur gradient est normal aux surfaces de niveau. le vecteur gradient est orienté dans le sens des valeurs croissantes du champ de scalaires. la circulation du gradient d'un point A à un point B est égale à la variation du champ entre A et B: B M A
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b- Divergence: champs de vecteurs champs de scalaires La divergence du champ de vecteurs est un champ de scalaires défini par (coord. cartésiennes): On montre que le flux élémentaire d'un champ de vecteurs sortant d'une surface entourant un volume élémentaire dv est: la divergence est le flux sortant par unité de volume
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Théorème de GREEN-OSTROGRADSKY
S surface fermée quelconque entourant un volume V. champ de vecteurs. (V) dS Champ à flux conservatif: alors: le flux est le même à travers toute section d'un tube de champ.
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c- Rotationnel: champs de vecteurs Le rotationnel du champ de vecteurs est un champ de vecteurs défini par (coord. cartésiennes):
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(C) courbe fermée orientée.
Théorème de STOKES (C) courbe fermée orientée. (C) (S) surface quelconque s'appuyant sur (C). dS (S) M Champ à circulation conservative : alors: Si un champ de gradient est un champ à circulation conservative
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d- Laplacien: champs de scalaires champs de vecteurs laplacien scalaire laplacien vectoriel
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e- Nabla: opérateur vectoriel de différenciation
en coord. cartésiennes
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Compléments mathématiques.
II- INTEGRALES 1- Intégrale simple (interprétation géométrique) A B x y y f(x) définie et continue sur [a,b] Si xi xi+1 f(xi) xi xi+1 xi [a,b] divisé en n intervalles xi infiniment petits: b a Calcul de l'aire aABb (a x1 , b xn) Aire et admet une limite: S(a,b) est l’intégrale définie de f(x) entre les bornes a et b. Notes de cours. Electricité 1. Y.OUAZZANY.
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2- Intégrale curviligne
f(M) fonction de point à valeur scalaire définie sur (C): A B (C) Mi+1 Mi Si (C) découpée en n éléments , alors la somme admet une limite si n : c’est l’intégrale curviligne de la fonction f(M) le long de l’arc de la courbe (C).
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(S) découpée en n éléments infiniment petits de surface Si
3- Intégrale double (S) x y Si Mi (S) découpée en n éléments infiniment petits de surface Si (S) surface plane ou gauche Surface plane en coordonnées cartésiennes: dx dy alors: c’est l’intégrale double de la fonction f(M) sur la surface (S).
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Compléments mathématiques.
4- Intégrale triple (V) volume défini dans l’espace (V) vi Mi (V) découpée en n éléments infiniment petits, centrés en Mi, de volume vi. alors: c’est l’intégrale triple de la fonction f(M) sur le volume (V). En coordonnées cartésiennes: Notes de cours. Electricité 1. Y.OUAZZANY.
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III- NOTION d'ANGLE SOLIDE 1- Angle plat Arc de cercle R
secteur R1 Arc de cercle R si R unité, alors ( mesure de l’angle plat) total 2R radian 2 radian 2- Angle solide cône dS d O Sphère de rayon R unité. Le cône d’angle d découpe sur la sphère une surface élémentaire (par analogie avec l'angle plat) d est l’angle solide sous lequel on "voit" la surface dS à partir de O total 4R2 4 stéradian
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Compléments mathématiques.
3- Angle solide sous lequel on "voit" une surface quelconque dS S M O d normale à dS angle entre et l'axe du cône Définition: dS cos projection de dS sur la sphère (O,r) passant par M. Notes de cours. Electricité 1. Y.OUAZZANY.
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