Cette présentation est une proposition de corrigé pour le premier concours blanc donné à l’IUFM d’Alsace en 2007-2008 L’énoncé.

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1 http://pernoux.perso.orange.fr Cette présentation est une proposition de corrigé pour le premier concours blanc donné à l’IUFM d’Alsace en 2007-2008 L’énoncé de ce premier concours blanc est disponible en ligne sous forme de document pdf. Pour consulter en ligne ou télécharger l’énoncé, cliquer ici : Pour continuer de visualiser la proposition de corrigé, cliquer là : Remarque : une autre présentation Powerpoint avec des exercices corrigés extraits de concours blancs donnés à différentes dates à l’IUFM d’Alsace est disponible en cliquant ici :

2 http://pernoux.perso.orange.fr Proposition de corrigé pour le concours blanc n°1 2007-2008 de l'IUFM d'Alsace Exercice 1

3 http://pernoux.perso.orange.fr M A B N C D'après le théorème de Thalès, si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors et, d'après le théorème réciproque du théorème de Thalès, si alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On peut donc affirmer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles si et seulement si. Première méthode (réduction au même dénominateur) :

4 http://pernoux.perso.orange.fr et

5 http://pernoux.perso.orange.fr Deuxième méthode (utilisation du "produit en croix") :

6 http://pernoux.perso.orange.fr Remarques concernant l’exercice 1 Théorème n° 1 (vrai) : Si un homme est français alors cet homme est européen. Forme contraposée du théorème n° 1 (vrai) : Si un homme n'est pas européen alors cet homme n'est pas français. Théorème réciproque du théorème n° 1 (faux) : Si un homme est européen cet homme est français Forme contraposée du théorème réciproque du théorème n°1 (faux) : Si un homme n'est pas français alors cet homme n'est pas européen.

7 http://pernoux.perso.orange.fr Donc :

8 http://pernoux.perso.orange.fr Autres remarques : et ne peuvent pas valoir 0,999…9 (avec une infinité de 9) car ils vaudraient alors 1 Le fait que MB soit égal ou pas à NC n’a aucun rapport avec le fait que (MN) et (BC) soient parallèles ou pas.

9 http://pernoux.perso.orange.fr Un maître se propose de mettre en place des activités de construction de figures planes. Le projet de séquence est décrit en annexe 2. Les questions suivantes visent à étudier avec précision les dessins proposés et à conduire une analyse de ce projet de séquence. Questions complémentaires (exercice n° 1) 1) Analyse des activités 1, 2 et 3. Pour chaque activité, répertorier deux compétences à mettre en oeuvre pour la réussir. préciser s'il s'agit de capacités, connaissances ou attitudes.

10 http://pernoux.perso.orange.fr 1°) Pour une liste de connaissances, de capacités et d’attitudes, voir le programme du cycle 3. Liste des attitudes que l'élève est amené à développer particulièrement à travers la pratique des mathématiques (cycle 2 et cycle 3) : - la rigueur et la précision dans les tracés, dans les mesures, dans les calculs ; - le goût du raisonnement ; - le réflexe de contrôler la vraisemblance des résultats ; - la volonté de justesse dans l’expression écrite et orale ; - l’ouverture à la communication, au dialogue, au débat ; - l’envie de prendre des initiatives, d’anticiper ; - la curiosité et la créativité ; - la motivation et la détermination dans la réalisation d’objectifs. Remarque préalable :

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13 Activité 1 Quelques réponses possibles (il était demandé deux compétences) : Connaître les propriétés d'un carré Savoir percevoir des égalités de longueur Savoir percevoir des angles droits Savoir percevoir des égalités d'angles Activité 2 Quelques réponses possibles (il était demandé deux compétences) : Connaître la signification des mots « milieu » et « carré » Savoir reproduire une figure sur du papier pointé Savoir percevoir le milieu d'un segment Savoir joindre deux points en traçant un segment avec une règle Savoir percevoir et vérifier avec une règle des alignements de points Faire preuve de rigueur et de précision dans les tracés connaissance capacité connaissance capacité attitude

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15 Activité 3 Quelques réponses possibles (il était demandé deux compétences) : Savoir tracer des perpendiculaires à une droite donnée passant par un point donné (capacité) Savoir ordonner des actions pour réaliser la construction d'une figure complexe (capacité) Savoir rédiger un programme de construction (capacité) Faire preuve de rigueur et de précision dans les tracés (attitude)

16 http://pernoux.perso.orange.fr 2°) a) Quelques réponses possibles pour les difficultés prévisibles pour la construction (deux difficultés demandées) : - Savoir prendre les informations nécessaires pour la reproduction de la figure (alors que celle-ci n'est pas codée) - Savoir trouver les milieux de [BC], [AB] et [DC] sans règle graduée - Savoir trouver dans quel ordre réaliser les constructions - Savoir utiliser les instruments et en particulier l'équerre.

17 http://pernoux.perso.orange.fr b) Quelques réponses possibles pour les difficultés prévisibles concernant le programme de construction (deux difficultés demandées) : - Savoir ce qu'est un programme de construction (savoir que c'est un texte qui permet de dessiner la figure sans la voir et donc qu'il faut se mettre à la place de quelqu'un qui ne voit pas la figure) - Savoir trouver l'ordre des différentes étapes de la construction - Savoir construire des phrases complexes pour décrire la construction - Savoir utiliser le vocabulaire géométrique approprié.

18 http://pernoux.perso.orange.fr c) Réponses possibles pour les rôles de la règle : - Permet de vérifier des alignements - Permet de tracer des segments en joignant deux points. Réponses possibles pour les rôles de l'équerre : - Permet de vérifier si un angle est droit - Permet de tracer une perpendiculaire à un segment passant par un point donné.

19 http://pernoux.perso.orange.fr Remarques concernant les questions complémentaires de l’exercice 2 : - Parler de papier pointé plutôt que de quadrillage - Pour l’activité 3, comprendre l’énoncé : l’élève doit continuer un tracé déjà commencé

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22 Exercice n° 2

23 http://pernoux.perso.orange.fr Remarque préalable : N est divisible par ab N est divisible par a et N est divisible par b Toujours vrai Est vrai si a et b sont premiers entre eux 1°) N est divisible par 45 donc N est divisible par 5 donc b vaut 0 ou 5. Par ailleurs, N est divisible par 6 donc N est divisible par 2. N est donc un nombre pair et son écriture décimale ne peut pas se terminer par un 5. Donc b vaut 0.

24 http://pernoux.perso.orange.fr 2°) N est divisible par 45 donc N est divisible par 9. Donc la somme des chiffres de N est divisible par 9 donc 7 + 2 + a + 8 + 3 + 0 qui vaut 20 + a est divisible par 9. La seule possibilité est que a = 7. Donc N vaut 727 830 Remarque : il est facile de vérifier que 727850 est divisible par 6 et 45 Autre méthode éventuellement utilisable: N est un multiple de 6 et 45 donc N est un multiple du PPCM de 6 et 45 qui vaut 90. On cherche ensuite, « par tâtonnement » un multiple de 90 qui convient.

25 http://pernoux.perso.orange.fr Exercice n° 3

26 http://pernoux.perso.orange.fr Remarques préalables : 1°) Pour effectuer la division euclidienne de a par b, on peut poser la division. Mais on peut aussi utiliser la calculatrice. Exemple : pour trouver le quotient et le reste de la division euclidienne de 45 689 par 13, on divise 45 689 par 13 en utilisant une calculatrice. La calculatrice affiche 3514,538462. On en déduit que le quotient vaut 3514 et on calcule le reste : 45689 – 13 × 3514 = 7 2°) L’écriture « 45 689 : 13 = 3514 reste 7 » est incorrecte Ecritures correctes : 45 689 = 3514 × 13 + 7 ou voire 45 689 : 13 = 3514 + (7 : 13)

27 http://pernoux.perso.orange.fr 1°) 100 = 13 × 7 + 9 avec 9 < 13 donc le reste dans la division euclidienne de 100 par 13 vaut 9. 1001 = 13 × 77 donc le reste dans la division euclidienne de 1001 par 13 vaut 0. 26 001 = 13 × 2000 + 1 avec 1 < 13 donc le reste dans la division euclidienne de 26 001 par 13 vaut 1. 45 689 = 3514 × 13 + 7 avec 7 < 13 donc le reste dans la division euclidienne de 45 689 par 13 vaut 7. 1 456 795 = 112 061 × 13 + 2 donc le reste dans la division euclidienne de 1 456 795 par 13 vaut 2. 145 × 2 489 = 360 905 = 27 761 × 13 + 12 donc le reste dans la division euclidienne de 145 × 2489 par 13 vaut 12.

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29 Rappel : Les entiers naturels q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de l’entier naturel a par l’entier naturel b si q et r vérifient : a = bq + r et r < b Par hypothèse, on a : a = 13q 1 + r 1 avec r 1 < 13 et b = 13q 2 + r 2 avec r 2 < 13 On en déduit que : ab = (13q 1 + r 1 ) × (13q 2 + r 2 ) = 13²q 1 q 2 + 13q 1 r 2 + 13q 2 r 1 + r 1 r 2 = 13(13q 1 q 2 + q 1 r 2 + q 2 r 1 ) + r 1 r 2 Par ailleurs, soit r le reste dans la division euclidienne de r 1 r 2 par 13. On a alors : r 1 r 2 = 13q + r avec r < 13. On en déduit que : ab = 13(13q 1 q 2 + q 1 r 2 + q 2 r 1 ) + 13q + r = 13(13q 1 q 2 + q 1 r 2 + q 2 r 1 +q) + r avec r < 13 Donc le reste dans la division euclidienne de ab par 13 vaut r et est donc égal au reste dans la division euclidienne de r 1 r 2 par 13.

30 Application : Le reste dans la division euclidienne de 1 456 795 par 13 vaut 2 (voir 1°) Par ailleurs, 13 011 = 1 000 × 13 + 11 avec 11 < 13 donc le reste dans la division euclidienne de 13 011 par 13 vaut 11. En appliquant la propriété démontrée dans ce 2°), on déduit que le reste dans la division euclidienne de 1 456 795 × 13 011 par 13 est le même que le reste dans la division euclidienne de 2 x 11 (soit 22) par 13. Or 22 = 1 x 13 + 9 avec 9 < 13 donc le reste dans la division euclidienne de 2 × 11 par 13 est égal à 9. Conclusion : le reste dans la division euclidienne de 1 456 795 × 13 011 par 13 est égal à 9. Remarques : - Ne pas dire qu’il n’y a pas de reste quand le reste vaut 0 - Ne pas confondre « ab a même reste que r 1 r 2 dans la division par 13 » et « ab a pour reste r 1 r 2 dans la division par 13 » (r 1 r 2 peut être supérieur à 13)

31 http://pernoux.perso.orange.fr Exercice n° 4

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35 Question complémentaire (exercice 4)

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