Théorème de Pythagore et sa réciproque.

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1 Théorème de Pythagore et sa réciproque.
1. Exercice de Synthèse ( sujet de brevet ). 2. Colimaçon 3. Le balancier de l’horloge 4. L ’oiseau, la souris et les deux chats activités de synthèse : voir dans l’espace, théorèmes de Pythagore, Thalès, trigonométrie…. 5.Retour au menu principal

2 ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
4 cm 3 cm 6 cm On donne : AB = 4 cm ; BC = 3 cm et BF = 6 cm. F E 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2. D C 2.Le triangle AFC est-il rectangle ? Justifie ce résultat. A B

3 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2.
B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm A B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2. Calculons d ’abord AF² A B F E 4 cm 6 cm ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle donc la face ABFD est un rectangle. F B A 6 cm 4 cm Donc ABF est un triangle rectangle. Et calculons AF².

4 AB ² + BF ² = AF ² 4 ² + 6 ² = AF ² 16 + 36 = AF ² AF ² = 52
6 cm 4 cm ABF est un triangle rectangle. Et calculons AF². On s’assure que le triangle est rectangle Je sais que le triangle ABF est rectangle en B D ’après le théorème de Pythagore: On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle AB ² + BF ² = AF ² 4 ² + 6 ² = AF ² On reporte les valeurs connues dans cette égalité = AF ² AF ² = 52

5 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2.
B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm A B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2. On a trouvé AF ² = 25 Calculons ensuite FC ² ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle donc la face BCGF est un rectangle. B C G F 3 cm 6 cm F C B 6 cm 3 cm Donc BFC est un triangle rectangle. Et calculons FC ².

6 BC ² + BF ² = FC ² 3 ² + 6 ² = FC ² 9 + 36 = FC ² FC ² = 45
Donc BFC est un triangle rectangle. Et calculons FC ². F C B 6 cm 3 cm On s’assure que le triangle est rectangle Je sais que le triangle BFC est rectangle en B D ’après le théorème de Pythagore: On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle BC ² + BF ² = FC ² 3 ² + 6 ² = FC ² On reporte les valeurs connues dans cette égalité = FC ² FC ² = 45

7 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2.
B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm A B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2. On a trouvé AF ² = 52 et FC ² = 45 De même dans le triangle rectangle ABC, en utilisant le théorème de Pythagore on trouve AC ² = 25 2.Le triangle AFC est-il rectangle ? Justifie ce résultat.

8 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2.
B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm A B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2. On a trouvé AF ² = 52, FC ² = 45 et AC ² = 25 2.Le triangle AFC est-il rectangle ? Justifie ce résultat. Dans le triangle AFC On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur. AF ² = 52 FC ² + AC ² = On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. = 70 On a donc AF ²  FC ² + AC ² En effet si le triangle était rectangle, d’après le théorème de Pythagore l ’égalité AF ² = FC ² + AC ² serait vraie. Or elle est fausse, donc le triangle n ’est pas rectangle. Par la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle AFC n ’est pas rectangle.

9 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2.
B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm A B C D F G H E 4 cm 3 cm 6 cm 1. Calcule et donne les valeurs exactes de AF2, FC2 et AC2. On a trouvé AF ² = 52, FC ² = 45 et AC ² = 25 2.Le triangle AFC est-il rectangle ? Justifie ce résultat. On a prouvé que AFC n ’est pas un triangle rectangle.

10 Théorème de Pythagore et sa réciproque.
1. Exercice de Synthèse ( sujet de brevet ). 2. Colimaçon 3. Le balancier de l’horloge 4. L ’oiseau, la souris et les deux chats activités de synthèse : voir dans l’espace, théorèmes de Pythagore, Thalès, trigonométrie…. 5.Retour au menu principal

11 Le balancier de cette horloge intrigue le jeune Guillaume.
Quelle longueur mesure cet objet ? Soudain guillaume a une idée, il marque un point A au bas du balancier et constate que ce point A se déplace sur un arc de cercle. Il mesure l'amplitude des courses verticale puis horizontale de ce point. Il trouve respectivement 2cm et 12cm. Il construit un croquis et constate qu'il suffit de résoudre une petite équation... A

12 A partir de la position médiane OA
Le balancier se déplace vers une position extrême OA' x l'énoncé donne les indications suivantes A' B 2cm Ce qui fait apparaître un triangle rectangle OA'B dont les dimensions sont... A 12cm 6cm

13 O D'après l'égalité de Pythagore OA'² = OB² + A'B² x² = (x-2)² + 6² x² = (x - 2)(x - 2) + 36 x² = x² -2x - 2x 0 = -4x + 40 x =10 x x - 2 x A' B 2cm A Le balancier mesure 10 cm 6cm

14 Théorème de Pythagore et sa réciproque.
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15 Dans l'angle d'un entrepôt de forme parallélépipédique, deux chats observent un oiseau et une souris qui ont pris position sur un reposoir près du plafond proche de l'angle opposé. - Ne t'en fait pas, dit l'oiseau à la souris, cet entrepôt mesure 30 mètres de long, 15 mètres de large et 6 mètres de haut. Le théorème de Pythagore permet de calculer la distance qui nous sépare des mathoux. - Je sais, répond la souris, ils n'escaladent pas aussi facilement les murs que moi. De plus le théorème Thalès permet de trouver la longueur du plus court chemin qu'ils auraient à parcourir pour nous attraper. Les chats trouvent ces proies bien savantes et se méfient, contentons-nous de nos croquettes se disent-ils en quittant les lieux.

16 6m 15m 30m

17 S 6m Calcule la distance qui sépare les chats de la souris et de l'oiseau C 15m A 30m B

18 Il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore
au triangle ABC Rectangle en A. Puis au triangle SBC rectangle en B. S 6m C 15m A 30m B

19 Il faut maintenant déterminer le plus court chemin que peuvent emprunter les chats. (Ils ne volent pas mais peuvent escalader les murs) 6m 15m 30m

20 Marque les positions des chats et de la souris (ou de l'oiseau)
Parmi les multiples chemins possibles lequel est le plus court ? Pour étudier ce problème, tu peux réaliser le patron du solide au 1/200. Longueur 15cm Les dimensions réduites sont alors Largeur 7,5cm 3cm Hauteur Marque les positions des chats et de la souris (ou de l'oiseau) déplie ton patron.

21 Tu vois apparaître deux chemins en "ligne droite"
Oiseau et souris M B A S N C Chats

22 Le théorème de Pythagore permet de calculer SC
Et le théorème de Thalès permet de calculer BN Donc BN = 12,5m S N 15m C B 30m 6m

23 Le théorème de Pythagore permet de calculer OC
Et le théorème de Thalès permet de calculer BM 6m M A B C'est le plus court chemin pour un animal qui ne vole pas ! Donc 15m C 30m

24 A l'aide du cosinus et des travaux précédents
Épilogue : calculer les angles indiqués sur le dessin A l'aide du cosinus et des travaux précédents on trouve O 6m C 15m A B 30m M

25 Théorème de Pythagore et sa réciproque.
1. Exercice de Synthèse ( sujet de brevet ). 2. Colimaçon 3. Le balancier de l’horloge 4. L ’oiseau, la souris et les deux chats activités de synthèse : voir dans l’espace, théorèmes de Pythagore, Thalès, trigonométrie…. 5.Retour au menu principal