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TD4 : « Lois usuelles de statistiques »

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Présentation au sujet: "TD4 : « Lois usuelles de statistiques »"— Transcription de la présentation:

1 TD4 : « Lois usuelles de statistiques »
Loi binomiale Loi de Poisson Loi normale Table de N(0;1) Exercices sur Internet Exercices 1 et 2 du TD4 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

2 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Loi binomiale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

3 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Loi binomiale Si X1, X2, ...., Xn sont n v.a indépendantes, toutes de loi de Bernoulli de paramètre p, alors X = X Xn suit la loi B(n ; p). On écrit alors X > B(n ; p). On a alors : E(X) = np Var(X) = np(1 – p) Exercice : On répond au hasard à un QCM comportant 10 questions. Sur 5 propositions de réponses, une seule est bonne. Calculer la probabilité d’obtenir 3 bonnes réponses. (Réponse : Si on nomme la v.a X qui correspond au nombre de bonnes réponses, on a X > B(10 ; 0,2) et P(X = 3) = 0,2013) Les calculs peuvent être effectués à la calculatrice (voir fiche distribuée) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

4 Loi binomiale et tableur
Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

5 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Loi de Poisson La loi de Poisson se rencontre lorsque la réalisation d’un événement est rare sur un grand nombre d’observations : mortalité, panne de machines... On appelle loi de Poisson de paramètre l, notée P(l), la loi telle que : E(X) = l et var(X) = l. Une loi binomiale B(n ; p) peut être remplacée par une loi de Poisson P(l=np) dés que n>30 et p 0,1 . Exercice : Une fabrication en série présente en moyenne 1,5% de produits défectueux. On contrôle 50 articles choisis au hasard. 1) Quelle est la probabilité d’obtenir 2 articles défectueux ? 2) Quelle approximation peut-on faire ? (Réponse : X > B(50 ; 0,015) avec X la v.a qui correspond au nombre de produits défectueux. On a :P(X = 2) = = 0,133 Comme 50 > 30 et 0,015 < 1, on a X qui suit la loi de Poisson avec l= 50× 0,015 =7,5) Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

6 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Loi normale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

7 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Loi normale Une loi normale est une distribution continue Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

8 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exemples Notes à un examen Décès au Canada Les impôts Taille des français Somme de 3 dés Fréquence battements cardiaques Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

9 Distributions normales
Taille des Français Somme de 3 dés Fréquence battements cardiaques Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

10 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Loi normale La loi normale est une loi particulière Forme de cloche Symétrique 2 Points d’inflexion Infinie Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

11 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Point d’inflexion Définition : Si f est dérivable en x0, x0 est un point d'inflexion pour f si la tangente au point (x0,f(x0)) traverse la courbe représentative de f en ce point. En particulier, si f est deux fois dérivable en x0, et si x0 est un point d'inflexion de f, f''(x0)=0. Exemple : Retour Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

12 Exemples de lois normales
Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

13 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Loi normale Moyenne : valeur centrale Écart type : distance aux points d’inflexion Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

14 Exemples de lois normales
Moyenne : 0 Écart type : 3 Moyenne : 4 Écart type : 1 Moyenne : -1 Écart type : 0,5 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

15 36 valeurs suivent une loi normale.
Alors, si on fait un tirage au hasard : Probablement proche de la moyenne Faible chance d’être loin Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

16 Interprétation graphique
Un individu pris au hasard a : 16% de chances d’être dans le gris 2,5% de chances 0,15% de chances Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

17 La distribution normale
m s s 3s 34,1 % 50% 13,6% 2,2% Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

18 Loi normale centrée réduite
Définition : La loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1 est appelée la loi normale centrée réduite. Si X suit une  loi normale centrée réduite, E(X) = 0 et Var(X) = 1 . On écrit X > N(0;1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

19 Loi normale centrée réduite
Propriété : Soit F(u) = P(X<u), la fonction de répartition de X, de loi N(0;1). Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

20 Exemple avec la loi centrée réduite
F(u) = P(X<u) 0,0 0,5 0,1 0,5398 0,2 0,5793 0,3 0,6179 0,4 0,6554 0,6915 0,6 0,7257 0,7 0,7580 0,8 0,7881 0,9 0,8159 1,0 0,8413 1,1 0,8643 1,2 0,8849 1,3 0,9032 1,4 0,9192 1,5 0,9332 1,6 0,9452 1,7 0,9554 1,8 0,9641 1,9 0,9713 2,0 0,9772 2,1 0,9821 2,2 0,9861 2,3 0,9893 2,4 0,9918 2,5 0,9938 2,6 0,9953 2,7 0,9965 2,8 0,9974 2,9 0,9981 3,0 0,9987 La table donne les chances P d’être dans [- ∞ ; u] Exemple 1 : [- ∞ ; 1,5], F(u) = 0,9332 [0,3 ; + ∞] , P(x  0,3) =1 – P(x<0,3) = 1 – 0,6179 = 0,3821 Exemple 2 : Si les températures suivent la loi normale de moyenne 0 et d’écart type 1, alors : 2,5% des jours auront une température de 2 ou plus 5% des jours auront une température de -1,6 ou moins Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

21 La loi normale de Laplace-Gauss
C’est la loi de probabilité la plus importante, pour des raisons de pratique, et pour des raisons théoriques. Densité de probabilité : définie de  à + La v.a est centrée et réduite P(X=a) = 0 Toute loi normale de paramètres  et  peut être ainsi transformée en loi normale centrée réduite. Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

22 Loi normale et le tableur (1)
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23 Loi normale et le tableur (2)
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24 Avec la calculatrice TI82 stats
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25 calculatrice Casio Graph35+
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26 Table de la loi centrée réduite
Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

27 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Approximations Approximation normale de la loi binomiale : On a la loi binomiale B(n ; p) qui suit à peu prés la loi normale de moyenne np et de variance np(1-p) si n>30, np> 10 et np(1-p)>10. Approximation normale de la loi de Poisson : On a P(m) = N(m ; m) si m>20 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

28 Exercices d’entraînement
Exercices interactifs sur Internet : ( , puis rechercher statistiques) Variables aléatoires discrètes Loi normale Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

29 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercices du TD4 Exercice 1 : Considérer les figures à la fin de ce TD. 1°) Légender la figure b à partir des encadrés. 2°) Compléter les encadrés dans les figures 1 à 10. Exercice 2 : Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 1,96) ; P (U < − 1,96) ; P (U > 2,575) . 2°) P (− 1,21 < U < + 1,53) ; P ( < 1,96) ; P ( < 2,575) . 3°) u tel que P (U < u) = 0,10 ; P ( < u) = 0,8 . Retour au sommaire Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

30 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

31 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Figure 1 (Exercice 1) P(- ¥ < U < + ¥) = 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

32 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Figure 2 (exercice 1) P(U < U1) = F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

33 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Figure 3 (exercice 1) P(U > -U1) = P(U<U1) = F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

34 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Figure 4 (Exercice 1) P(U > U1) = 1 - P(U<U1) = 1 - F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

35 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Figure 5 (Exercice 1) F(-U1) = P(U < -U1) =1 - P(U>-U1) =1 – P(U<U1) =1 - F(U1) Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

36 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Figure 6 (Exercice 1) P(-U1<U<U1) = 1 – P(U< -U1) –P(U>U1) = 2P(U<U1) – 1 = 2F(U1) – 1 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

37 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 1,96) Réponse : P(U>1,96) = 1 – P(U< 1,96) =1 – F(1,96) = 1 – 0,9750 = 0,025 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

38 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U < -1,96) Réponse : P(U<-1,96) =P(U>1,96) = 0,025 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

39 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 1°) P (U > 2,575) Réponse : P(U>2,575) = 1 – P(U< 2,575) =1 – F(2,575) = 1 – 0,9950 = 0,005 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

40 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-1,21<U<1,53) Réponse : P(-1,21<U<1,53) = P(U<1,53)-P(U<-1,21) =F(1,53) – F(-1,21) = F(1,53) – (1 – F(1,21)) = F(1,53) – 1 + F(1,21) = 0,9370 – 1 + 0,8869 = 0,8239 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

41 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-1,96 <U< 1,96) ) Réponse : P(-1,96<U<1,96) = P(U<1,96)-P(U<-1,96) =F(1,96) – F(-1,96) = F(1,96) – (1 – F(1,96)) = F(1,53) – 1 + F(1,96) = 2F(1,96) - 1 = 2x0,9750 – 1 = 0,95 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

42 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 2°) P (-2,575 <U< 2,575) Réponse : P(-2,575<U<2,575) = 2F(2,575) - 1 = 2x0,995 – 1 = 0,99 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

43 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 3°) P (U<u)=0,10 Réponse : P(U<u)=0,10 1-P(U<u) = 1-0,10 = 0,9 P(U<-u) = 0,90 F(-u) = 0,90 Donc –u = 1,29 et donc : u = -1,29 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues

44 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues
Exercice 2 Sachant que U = N ( 0, 1), calculer : 3°) P(çUç< u) = 0,8 Réponse : P(çUç< u) =2 F(u) – 1 = 0,8 F(u) =(1+0,8):2=0,9 Donc 1,28 < u < 1,29 Statistiques - TD4 - Lois discrètes et continues


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