RAPPELS : Equations et Pourcentages

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1 RAPPELS : Equations et Pourcentages
12-Apr-17 [Title of the course] RAPPELS : Equations et Pourcentages Les fondamentaux de base des équations et des pourcentages Campus-Booster ID : 364 Définition : Une "équation" est une relation d'égalité entre des valeurs toutes abstraites (autrement dit : deux expressions algébriques) ou non toutes abstraites (dès lors nous parlons d'équations à une inconnue, deux inconnues, trois inconnues, ... ) reliées entre elles par des opérateurs divers. La maîtrise parfaite de l'algèbre élémentaire est fondamentale en physique-mathématique. Comme il existe une infinité de types d'équations, nous ne les présenterons pas ici. C'est le rôle de l'enseignant dans les classes d'entraîner le cerveau de ses élèves pendant plusieurs années (2 à 3 ans en moyenne) à résoudre énormément de configurations différentes d'équations algébriques (exposées sous forme de problèmes de tous les jours, géométriques ou purement mathématiques) et ce afin que les élèves manipulent ces dernières sans erreurs en suivant un raisonnement logique et rigoureux (ce n'est qu'en forgeant que l'on devient forgeron...)!!! Copyright © SUPINFO. All rights reserved Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

2 Votre formateur… Titre : Professeur de Mathématiques à SUPINFO.
12-Apr-17 RAPPELS : Equations et Pourcentages [Title of the course] Votre formateur… Titre : Professeur de Mathématiques à SUPINFO. Formation : D.E.A en Physiques , option laser-matière. Expérience: Professeur en BTS IG et CGO. Contact : Sonia Nicolella Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

3 Objectifs de ce module En suivant ce module vous allez :
12-Apr-17 RAPPELS : Equations et Pourcentages [Title of the course] Objectifs de ce module En suivant ce module vous allez : Vous remémorez les formules de base permettant la résolution des équations de 2nd degré… Connaître les méthodes de résolution de systèmes d’équations linéaires simples Etre capable de calculer toute expression complexe faisant intervenir des puissances. Apprendre à appréhender tout problème faisant intervenir des pourcentages, et savoir analyser des situations de la vie courante… OBJECTIF : Certains pbs du quotidien peuvent être résolus mathématiquement, dès lors que l’on a réussi à les transcrire sous forme « algébrique » ; La résolution des équations ainsi formées permettra de donner la ou les solutions du pb !!! Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

4 Plan du module Voici les parties que nous allons aborder :
12-Apr-17 RAPPELS : Equations et Pourcentages [Title of the course] Plan du module Voici les parties que nous allons aborder : Résolution des équations du 1er et 2nd degré : Méthodes et principes, exemples, résolution de problèmes par mise en équation. Résolution de systèmes d’équations linéaires (modèles simples) : cadre d’étude et méthodes de résolution. Les Puissances Les Pourcentages : Calculer d’un pourcentage, ajouter et retrancher un pourcentage, pourcentages indirects et successifs, pourcentages par tranche. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

5 Résolution des équations du 1er et 2nd degré
12-Apr-17 [Title of the course] RAPPELS : Equations et Pourcentages Résolution des équations du 1er et 2nd degré Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

6 Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder :
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Notion d’équations Equations du 1er degré : méthode et principe Equations du 1er degré : exemples. Equations du 1er degré : propriété Equations du 1er degré : exercices Equations produits Résolution de problèmes par mise en équation : méthode, exemple et exercices Equations du 2nd degré Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

7 Une équation est une égalité contenant une inconnue souvent notée x.
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Notion d’équation Equation Une équation est une égalité contenant une inconnue souvent notée x. Résoudre une équation, c’est déterminer toutes les valeurs de x vérifiant l’égalité. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

8 Notion d’équation Mise en situation _ Exemple
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Notion d’équation Mise en situation _ Exemple 15x + 3 = 10x est une équation don’t l’inconnue est x. Résoudre cette équation, c’est déterminer les valeurs de x telles que : 15x + 3 = 10x+ 5 Autrement dit, il s’agit de vérifier pour quelles valeurs de x l’égalité est vérifiée… Un autre exemple : 4x = -7 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

9 Equations du 1er degré : méthode et principe
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 1er degré : méthode et principe Règle n°1 : On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une égalité: Soient a, b et c 3 nombres relatifs Si a = b, alors a+c = b+c Si a = b, alors a-c = b-c Règle n°2 : On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une égalité par un même nombre : Considérons les 3 nombres relatifs a, b et c Si a = b, alors axc = bxc Si a = b et si c  0, alors Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

10 Equations du 1er degré : méthode et principe
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 1er degré : méthode et principe METHODE Transformer ces équations pour les mettre sous la forme : ax+b=0 Propriétés à utiliser à cet effet : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation si : on ajoute ou retranche un même nombre aux 2 membres On multiplie ou divise les 2 membres par un meêm nombre non nul Poursuivre la transformation de ces équations pour les mettre sous une forme où l’inconnue x se trouve isolée dans un seul membre. Donner les solutions Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

11 Equations du 1er degré : exemples
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 1er degré : exemples Soit ici, pour les 2 équations ci-dessous considérées : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

12 Equations du 1er degré : propriété
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 1er degré : propriété PROPRIETE Toute équation d’inconnue x pouvant s’écrire, après transformations, sous la forme ax + b = 0, est une équation du 1er degré à une inconnue. Si a  0, l’équation du 1er degré à une inconnue ax + b = 0, admet pour unique solution le nombre Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

13 Equations du 1er degré : exercices
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 1er degré : exercices Vous résoudrez les équations suivantes : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

14 Equations produits Objectif :
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations produits Objectif : Résoudre des équations du type : (5x+ 3)(x-1) = 0 Propriété : Pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l’un des facteurs soit nul. Soit, pour l’exemple ci-dessus : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

15 Equations produits 1 2 Applications
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations produits Applications Résoudre, dans , les équations suivantes : Résoudre, dans , et après les avoir factorisées, les équations suivantes : 1 2 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

16 Résolution de problèmes par mise en équation
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Résolution de problèmes par mise en équation Introduction Un problème posé par une situation, notament professionnelle, peut se traduire par une équation. Pour résoudre un tel problème, il faut traiter les 4 points suivants : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

17 Résolution de problèmes par mise en équation
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Résolution de problèmes par mise en équation Principe, Méthode 1 Lire et analyser l’énoncé puis choisir une inconnue : Celle-ci sera souvent indiquée dans la formulation de la question. Etablir l’équation traduisant l’énoncé. Résoudre l’équation. Vérifier si le résultat est conforme au problème posé. 2 3 4 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

18 Résolution de problèmes par mise en équation
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Résolution de problèmes par mise en équation Exemple Paul consacre 1/3 de son salaire mensuel au loyer et 30% à la nourriture. Il lui reste 641,20 €. Quel est son salaire mensuel ? Etape 1 :Soit x le salaire mensuel de Paul Etape 2 : Part consacrée au loyer : 1/3 de x : Part consacrée à la nourriture : 30% de x : Reste : ,20 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

19 Résolution de problèmes par mise en équation
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Résolution de problèmes par mise en équation Exemple_Suite Etape 2 - Suite : Mise en équation : Etape 3 : Résolution : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

20 Résolution de problèmes par mise en équation
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Résolution de problèmes par mise en équation Exemple_Suite Etape 4 : Vérification : Nourriture : 30%x1749 = 524,70 € Loyer : 1/3 x 1749 = 583 € Reste : ,20 € SOMME : 524, ,20 = 1748,9  1749 € Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

21 Résolution de problèmes par mise en équation
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Résolution de problèmes par mise en équation Exercice 1 Le réservoir d’une voiture est vide aux deux tiers. On ajoute 25 litres de carburant pour le remplir aux trois quarts. Quelle est la contenance du réservoir ? Trouver 4 entiers consécutifs dont la somme est 2410. 2 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

22 Les équations du second degré sont de la forme ax² + bx + c =0.
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré Définition Les équations du second degré sont de la forme ax² + bx + c =0. Où a  0, est le coefficient de x² b, le coefficient de x, Et c est le terme constant. On parle aussi de trinôme du 2nd degré. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

23 Equations du 2nd degré 1 2 3 4 Exercice
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré Exercice Donner, dans chacune des équations suivantes, les valeurs des coefficients a, b et c. 1 2 3 4 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

24 Equations du 2nd degré Résolution graphique (1/5)
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré Résolution graphique (1/5) Tracer la courbe représentative Cf, de la fonction f où f(x)= ax² + bx + c Exemple : f(x)= x² - 2x – 3 Résoudre, par exemple, f(x) = 5, c’est chercher les abscisses (i.e. les valeurs de x) des points de la courbe Cf de la fonction f, qui ont pour ordonnée y = f(x) = 5 C’est à dire que l’on trace la droite d’équation y = 5, (parallèle à l’axe des abscisses (0x)) et on cherche les points d’intersection de Cf avec cette droite. Les abscisses des points d’intersection trouvés sont les solutions cherchées. Soit graphiquement, pour l’exemple ci-dessus : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

25 Equations du 2nd degré Résolution graphique (2/5)
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré Résolution graphique (2/5) Soit graphiquement, pour l’exemple ci-dessus : f(x)= x² - 2x – 3 x1 x2 y = 5 2 solutions : (x1,5) et (x2,5) Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

26 Equations du 2nd degré Résolution graphique (3/5)
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré Résolution graphique (3/5) Lorsque l’on trace la courbe représentative Cf, de la fonction f où f(x)= ax² + bx + c Résoudre f(x) = 0, c’est chercher les abscisses des points d’intersect° de la courbe Cf avec la droite d’équation y=0, cad les points d’intersection de Cf avec l’axe des abscisses. Soit graphiquement : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

27 Equations du 2nd degré Résolution graphique (4/5)
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré Résolution graphique (4/5) Remarque : plusieurs cas de figures possibles lorsque l’on résout, par l’intermédiaire d’une représentation graphique, une équation du type f(x) = ax² + bx + c = …(= nombre réel) il peut y avoir 2 solutions : ce qui se traduit graphiquement par l’existence de 2 points d’intersection Il n’y a qu’une seule solution, dite alors solution double : ce qui correspond graphiquement à l’existence d’un unique point d’intersection Il n’y a aucune solution : ce cas se produit lorsque la courbe et la droite d’équation y =… ne se rencontrent pas (aucun point d’intersection). Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

28 Equations du 2nd degré Résolution graphique (5/5)
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré Résolution graphique (5/5) Soit les représentations graphiques correspondantes successives : 2 solutions 1 solution Aucune solution Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

29 Equations du 2nd degré THEOREME :
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré THEOREME : Résolution algébrique Soit une équation du 2nd degré de la forme ax² + bx + c = 0 (avec a  0) Pour la résoudre, nous devons calculer le nombre  = b² - 4ac appelé discriminant de cette équation de degré 2. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

30 Equations du 2nd degré THEOREME (Suite) :  = b² - 4ac,
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré THEOREME (Suite) : Résolution algébrique  = b² - 4ac, Si  < 0 : l’équation n’a pas de solution Si  = 0 : l’équation a une seule solution (dite solution double ) : Si  > 0 : l’équation admet 2 solutions, données par : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

31 Equations du 2nd degré 1 2 3 4 5 Résolution algébrique : Exercices
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Equations du 2nd degré Résolution algébrique : Exercices Résoudre, dans , les équations du second degré suivantes 1 2 3 4 5 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

32 Pause-réflexion sur la partie 1
12-Apr-17 Résolution des équations du 1er et 2nd degré [Title of the course] Pause-réflexion sur la partie 1 Avez-vous des questions ? Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

33 Résolution de systèmes d’équations linéaires
12-Apr-17 [Title of the course] RAPPELS : Equations et Pourcentages Résolution de systèmes d’équations linéaires Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

34 Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder :
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Présentation - Cadre d’étude Méthodes de résolution Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

35 Présentation - Cadre d’étude
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Présentation - Cadre d’étude Mise en situation par un exemple A la terrasse d’un café, un groupe de personnes commande 4 cafés et 5 cocas : la note s’élève à 14 € Un peu plu loin, un autre groupe commande 2 cafés et 3 cocas : l’addition est de 8 € Quel est le prix d’un café? Et celui d’un coca?... On va traduire les données de l’énoncé par 2 équations (une équation par situation) à 2 inconnues (une inconnue par prix à calculer). Soit : x, le prix d’un café, y le prix d’un coca Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

36 Présentation - Cadre d’étude
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Présentation - Cadre d’étude Mise en situation par un exemple Situation 1 : 4x + 5y = 14 Situation 2 : 2x + 3y = 8 Ces deux équations, à 2 inconnues chacunes doivent être vérifiées simultanément (les articles coûtent le même prix dans ce même café), et par conséquent, seront regroupées sous une même accolade afin de symboliser cette “simultanéité”… 4x + 5y = 14 2x + 3y = 8 Elles forment alors un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

37 Présentation - Cadre d’étude
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Présentation - Cadre d’étude Un système de 2 équations à 2 inconnues est de la forme : ax + by = c a’x + b’y = c’ Dans laquelle les coefficients a, b, c, a’, b’ et c’ ont des valeurs numériques fixées et x et y sont les inconnues (affectées de l’exposant 1). Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

38 Présentation - Cadre d’étude
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Présentation - Cadre d’étude Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues, x et y, c’est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les 2 équations. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

39 Présentation - Cadre d’étude
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Présentation - Cadre d’étude Il y a 2 types de méthode de résolution d’un tel système : Résolution graphique Résolution algébrique, dont Méthode de substitution Méthode d’addition Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

40 Méthodes de résolution
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Méthodes de résolution RESOLUTION GRAPHIQUE Pour résoudre graphiquement un système de 2 équations du 1er degré à 2 inconnues, on détermine les coordonnées du point d’intersection des droites qui ont pour équation celles du système. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

41 Méthodes de résolution
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Méthodes de résolution RESOLUTION ALGEBRIQUE : Méthode d’addition Pour résoudre un système par la méthode d’addition, on multiplie chacune des équations par des nombres choisis de façon à ce que les coefficients d’une inconnue deviennent opposés et s’éliminent par addition membre à membre des 2 équations. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

42 Méthodes de résolution
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Méthodes de résolution RESOLUTION ALGEBRIQUE : Méthode d’addition Exemple Considérons le système suivant : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

43 Méthodes de résolution
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Méthodes de résolution RESOLUTION ALGEBRIQUE : Méthode de substitution Pour résoudre un système par la méthode de substitution, On exprime une des 2 inconnues en fonction de l’autre dans l’une des 2 équations puis on reporte cette expression dans l’autre équation afin d’obtenir une équation à une seule inconnue, que l’on résout ensuite. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

44 Méthodes de résolution
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Méthodes de résolution RESOLUTION ALGEBRIQUE : Méthode de substitution Exemple Considérons le système précédent : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

45 Pause-réflexion sur la partie 2
12-Apr-17 Résolution de systèmes d’équations linéaires [Title of the course] Pause-réflexion sur la partie 2 Avez-vous des questions ? Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

46 Les puissances RAPPELS : Equations et Pourcentages 12-Apr-17
[Title of the course] RAPPELS : Equations et Pourcentages Les puissances Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

47 Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder :
12-Apr-17 Les puissances [Title of the course] Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Définitions Règles de calcul Cas particulier des puissances de 10 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

48 12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Définitions Qu’est ce qu’une puissance Un nombre soumis à une puissance (ou à un exposant) se multiplie par lui-même autant de fois que l’indique la puissance (ou l’exposant). Et de manière générale Dans cette dernière ligne, le nombre a figure n fois! Le symbole a^n représente le résultat de la multiplication de a par lui-même autant de fois qu’indiqué par n. On dit que a^n est la puissance n-ième de a, et n est appelé exposant de cette puissance. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

49 Définitions Qu’est ce qu’une puissance Exemple 7² = 7x7 = 49
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Définitions Qu’est ce qu’une puissance Exemple 7² = 7x7 = 49 se multiplie 2 fois par lui-même Se lit “7 au carré” 23 = 2x2x2 = 8 2 se multiplie 3 fois par lui-même Se lit “2 au cube” 104 = 10x10x10x10 = 10 se multiplie 4 fois par lui-même Se lit “10 exposant 4” ou “10 puissance 4” Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

50 Définitions Qu’est ce qu’une puissance Exemple Attention :
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Définitions Qu’est ce qu’une puissance Exemple Attention : Surtout ne pas confondre 7² = 7x7 = 49 (7 se multiplie par lui-même) Avec 2x7 = 14 (on multiplie 7 par 2) Car le résultat n’est bien évidemment pas le même!!! Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

51 Définitions Puissances à exposant positif
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Définitions Puissances à exposant positif Dans cette dernière ligne, le nombre a figure n fois! Le symbole an représente le résultat de la multiplication de a par lui-même autant de fois qu’indiqué par n. On dit que an est la puissance n-ième de a, et n est appelé exposant de cette puissance. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

52 Définitions Puissances à exposant négatif
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Définitions Puissances à exposant négatif Où n est ici un nombre entier positif. a-n désigne l’inverse de la puissance an, ce qui définit les puissances d’exposant négatif. On a donc l’égalité : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

53 Définitions Cas particuliers de puissances Puissance nulle : Exemple :
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Définitions Cas particuliers de puissances Puissance nulle : Exemple : Puissance 1 : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

54 Règles de calcul Distributivité des puissances Règle :
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Distributivité des puissances Règle : Une puissance se distribue (se calcule) sur chacun des termes où elle s’applique : Ces deux propriétés sont très importantes car elles vont très fréquemment servir dans les calculs faisant notamment intervenir des carrés. Car elles s’appliquent : Aux termes en x Aux racines carrées Aux fractions Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

55 Règles de calcul Puissances et nombres relatifs
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Puissances et nombres relatifs S'il est positif, un nombre soumis à une puissance n sera toujours positif ex : 104 = ; 34 = 3x3x3x3 = 81 S'il est négatif, un nombre soumis à une puissance n, subira la règle de multiplication des signes, à savoir : Un nombre négatif sera toujours négatif, s'il est soumis à une puissance impaire (exposant 3, 5, 7,9 ....) ex : (-10)3 = (-10)2x( - 10) = (+100)x( - 10)=(- 1000) Par contre, il deviendra positif s'il est soumis à une puissance paire (exposant 2, 4, 6, 8, ) ex : (- 10)4 = (-10)2x(-10)2= 100x100 = C'est l'application de la règle - x - = + Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

56 Règles de calcul Puissances et nombres relatifs
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Puissances et nombres relatifs S'il est positif, un nombre soumis à une puissance n sera toujours positif ex : 104 = ; 34 = 3x3x3x3 = 81 S'il est négatif, un nombre soumis à une puissance n, subira la règle de multiplication des signes, à savoir : Un nombre négatif sera toujours négatif, s'il est soumis à une puissance impaire (exposant 3, 5, 7,9 ....) ex : (-10)3 = (-10)2x( - 10) = (+100)x( - 10)=(- 1000) Par contre, il deviendra positif s'il est soumis à une puissance paire (exposant 2, 4, 6, 8, ) ex : (- 10)4 = (-10)2x(-10)2= 100x100 = C'est l'application de la règle - x - = + Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

57 Règles de calcul Puissances et nombres relatifs
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Puissances et nombres relatifs Cette règle définit une propriété utile en calcul : un nombre au carré ( a2) est toujours positif un nombre au cube (a3) conserve son signe Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

58 12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Pour tous entiers n et p, pour tous nombres a et b, on a les propriétés suivantes, qui permettent les calculs sous orme de puissance. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

59 Règles de calcul Produit de puissances Exemple :
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Produit de puissances Exemple : Il suffit d’ajouter les exposants en respectant les règles de la somme des nombres relatifs Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

60 Règles de calcul Puissance de puissances Exemple :
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Puissance de puissances Exemple : Il suffit de multiplier les exposants en respectant les règles du produit des nombres relatifs Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

61 Règles de calcul Quotient de puissances Exemple :
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Quotient de puissances Exemple : Il semble malgré tout préférable, dans un premier temps, de calculer ce genre de quotient en utilisant les importantes égalités : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

62 Règles de calcul Quotient de puissances
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Quotient de puissances Et de cette façon, on écrit plutôt : Ceci permet de n’utiliser que la règle du produit des puissances. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

63 Règles de calcul Produit de puissances de même exposant Exemple :
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Règles de calcul Produit de puissances de même exposant Exemple : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

64 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Lorsque a = 10, on obtient, par exemple, les résultats suivants : De façon générale, pour tout entier positif n, on a : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

65 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissances positives Ainsi, pour tout puissance positive, on a : 10n = 1 suivi de n zéro Exemples : 103 = (1 suivi de 3 zéro) 106 = (1 suivi de 6 zéro) Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

66 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissances négatives Pour tout puissance négative, on a : 10-n = 0,0….1 (n zéro dont celui avant la virgule, ou n chiffres après la virgule dont le 1) Exemples : 10-3 = 0, (3 chiffres après la virgule, dont le 1) 10-6 = 0, (6 chiffres après la virgule, dont le 1) 10-1 = 0,1 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

67 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Exemples d’utilisation Pour des calculs faisant intervenir des fractions : S’entraîner à calculer ce nombre en simplifiant au maximum avant calculs On utilise également le spuissances de 10 pour l’écriture scientifique d’un nombre… Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

68 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissance et écriture scientifique d’un nombre Ecrire un nombre en écriture scientifique c’est le mettre sous la forme d’un nombre à 1 chiffre non nul avant la virgule multiplié par une puissance de 10. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

69 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissance et écriture scientifique d’un nombre Exemples : écriture scientifique ,23 x 102 0, écriture scientifique ,5 x 10-3 Méthode : 2 étapes Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

70 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissance et écriture scientifique d’un nombre Méthode : Etape 1 : Pour transformer n’importe quel nombre en écriture scientifique, i.e. en un nombre à un chiffre non nul (donc compris entre 1 et 9) avant la virgule, il faut mettre une virgule après le 1er chiffre non nul de ce nombre Exemple 1 : : 1 est le 1er chiffre non nul  apposer une virgule après le 1 : 1,25346 Exemple 2 : 0, : 2 est le 1er chiffre non nul  apposer une virgule après le 2 : 2,563 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

71 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissance et écriture scientifique d’un nombre Méthode : Etape 2 : Il faut ensuite multiplier ce nombre par une puissance de 10, telle que cette puissance permette de « retomber » sur le nombre de départ. A cet effet, on a la règle suivante : Si, à l’étape 1, on a déplacé la virgule vers la droite, il faut multiplier par une puissance de 10 positive. Si, à l’étape 1, la virgule a été déplacée vers la gauche, la puissance par laquelle est multiplié le nombre ainsi obtenu à l’étape 1, est négative. Dans les 2 cas, la puissance correspond au nombre de fois où l’on a déplacé la virgule… Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

72 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissance et écriture scientifique d’un nombre Reprenons les exemples précédents : Exemple 1 : 1 est le 1er chiffre non nul On avait obtenu : 1,25346 A partir de ce nombre, pour retrouver le nombre de départ , nous devons déplacer la virgule vers la droite : la puissance de 10 sera donc positive Combien de fois devons nous déplacer la virgule? 1 fois  12,5346 2 fois  125, …..etc… 5 fois  Nous devons déplacer la virgule 5 fois vers la droite pour retrouver le nombre de départ Par conséquent : = 1,25346 x 105 Remarque : Le 5 correspond également au nombre de fois où l’on a déplacé la virgule lorsque l’on passe du nombre initial (=125346,0) au nombre obtenu lors de la première étape : 1,25346 REMARQUE : Le 5 correspond également au nombre de fois où l’on a déplacé la virgule lorsque l’on est passé du nombre initial (= ,0) au nombre de la première étape : 1,25346 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

73 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissance et écriture scientifique d’un nombre Exemple 2 : 0, 2 est le 1er chiffre non nul On avait obtenu : 2,563 A partir de ce nombre, pour retrouver le nombre de départ 0, , nous devons déplacer la virgule vers la gauche : la puissance de 10 sera donc négative. Combien de fois devons nous déplacer la virgule? 1 fois  0,2563 2 fois  0,02563 …..etc… 4 fois  0, Nous devons déplacer la virgule 4 fois vers la gauche pour retrouver le nombre de départ Par conséquent : 0, = 2,563 x 10-4 Remarque : Le 4 correspond également au nombre de fois où l’on a déplacé la virgule lorsque l’on est passé du nombre initial 0, au nombre de la première étape : 2,563 REMARQUE : Le 4 correspond également au nombre de fois où l’on a déplacé la virgule lorsque l’on est passé du nombre initial 0, au nombre de la première étape : 2,563 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

74 Cas particulier des puissances de 10
12-Apr-17 Les Puissances [Title of the course] Cas particulier des puissances de 10 Puissance et écriture scientifique d’un nombre Pour s’entraîner : Donner les écritures scientifiques des nombres suivants 1805 0,000372 1654,67 24,67843 0, 0,16539 0,006092 156980,8752 REMARQUE : Le 4 correspond également au nombre de fois où l’on a déplacé la virgule lorsque l’on est passé du nombre initial 0, au nombre de la première étape : 2,563 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

75 Pause-réflexion sur la partie 3
12-Apr-17 Les puissances [Title of the course] Pause-réflexion sur la partie 3 Avez-vous des questions ? Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

76 Les pourcentages RAPPELS : Equations et Pourcentages 12-Apr-17
[Title of the course] RAPPELS : Equations et Pourcentages Les pourcentages Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

77 Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder :
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Plan de la partie Voici les chapitres que nous allons aborder : Calculer le pourcentage d’une valeur Déterminer un pourcentage Ajouter ou retrancher un pourcentage Calculer un pourcentage indirect Calculer des pourcentages successifs Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

78 Calculer le pourcentage d’une valeur
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer le pourcentage d’une valeur Introduction Les pourcentages sont employés fréquemment pour décrire des situations de la vie courante ou professionnelle. Exemples Pourcentage des dépenses consacrées à la santé en 2004 Les prix ont subi une augmentation de 20% Un habit passe, pendant la période des soldes, de 50€ à 40€. Quel est le pourcentage de réduction?... Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

79 Calculer le pourcentage d’une valeur
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer le pourcentage d’une valeur MISE en SITUATION Exemple 1 : Une personne consacre les ¾ de son salaire au logement et à la nourriture. Quelle somme celà représente –t’il pour un salaire de 1200 € ? On obtient les 3 / 4 de 1200 en multipliant 1200 par 3 / 4 :  900 € consacrés au logement + nourriture Comment exprimer 3 / 4 de 1200 en pourcentage?  75% du salaire consacrés au logement + nourriture Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

80 Calculer le pourcentage d’une valeur
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer le pourcentage d’une valeur MISE en SITUATION Exemple 2 : Un libraire décide d’accorder une remise de 5% sur une certaine catégories d’ouvrages. Quel est le montant de la remise pour un livre dont le prix marqué est : 20 €?...13 € ?... Le montant s’obtient en multipliant le prix du livre par 5 / 100 = 0,05. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

81 Calculer le pourcentage d’une valeur
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer le pourcentage d’une valeur PROPRIETES Pour calculer x % d’une valeur, on multiplie cette valeur par On dit également que l’on multiplie le coefficient multiplicateur A B B est égal à x % de A On connait On cherche Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

82 Déterminer un pourcentage
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Déterminer un pourcentage MISE en SITUATION Exemple : On vous accorde une remise de 20 € sur un article dont le prix marqué est 250 €. On désire déterminer quel % du prix marqué représente cette remise. Il faut chercher le coefficient k tel que : 20 = 250 x k On a La remise est de 8% sur le prix initial. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

83 Déterminer un pourcentage
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Déterminer un pourcentage PROPRIETE - METHODE Pour déterminer quel pourcentage de la valeur A représente la valeur B, on divise B par A, puis on exprime le résultat sous forme d’une fraction dont le dénominateur est 100. A B “B représente x % de A” : il peut s’agir d’une remise (diminution), comme d’une augmentation… On connait On cherche Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

84 Ajouter ou retrancher un pourcentage
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Ajouter ou retrancher un pourcentage MISE en SITUATION Exemple 1 : Cas d’une augmentation Le prix d’un auto-radio affiche 150 €. Il subit une hausse de 2%. Calculer le montant de la hausse, puis le nouveau prix. Quel est le coefficient multiplicateur qui permet de passer de l’ancien prix au nouveau prix? Exprimer ce coefficient en fonction du pourcentage d’augmentation. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

85 Ajouter ou retrancher un pourcentage
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Ajouter ou retrancher un pourcentage MISE en SITUATION Exemple 1 : Cas d’une augmentation Solution : Montant de la hausse : Nouveau prix : = 153 € Ancien prix : 150 € Nouveau prix : 153 € Ainsi, on a montré que : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

86 Ajouter ou retrancher un pourcentage
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Ajouter ou retrancher un pourcentage MISE en SITUATION Exemple 2 : Cas d’une réduction Le budget de fonctionnement d’un service est de €. On annonce pour l’année prochaine une réduction de 3%. Calculer le montant de la réduction, puis le nouveau budget. Quel est le coefficient multiplicateur qui permet de passer directement de l’ancien budget au nouveau budget? L’exprimer en fonction du % de baisse. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

87 Ajouter ou retrancher un pourcentage
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Ajouter ou retrancher un pourcentage MISE en SITUATION Exemple 2 : Cas d’une réduction Solution : Montant de la baisse : Nouveau prix : – 690 = € Ancien prix : € Nouveau prix : € Ainsi, on a montré que : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

88 Ajouter ou retrancher un pourcentage
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Ajouter ou retrancher un pourcentage PROPRIETE 1 Si une valeur A augmente de t %, la nouvelle valeur est : Donc, pour ajouter t %, il suffit de multiplier par Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

89 Ajouter ou retrancher un pourcentage
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Ajouter ou retrancher un pourcentage PROPRIETE 2 Si une valeur A diminue de t %, la nouvelle valeur est : Donc, pour retrancher t %, il suffit de multiplier par Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

90 Calculer un pourcentage indirect
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer un pourcentage indirect MISE en SITUATION On paye un disque 20,90 € après avoir bénéficié d’une remise de 5% sur le prix intitialement marqué. On veut déterminer quel était le prix marqué (prix avant remise) du disque. Méthode : Déterminer le prix à payer pour un prix marqué de 100 €, dans les mêmes conditions, cad après une remise de 5%. En déduire le coefficient multiplicateur qui permet d’obtenir le prix à payer à partir du prix marqué. 5% s’applique au prix marqué x que l’on ne connait pas : c’est un pourcentage indirect. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

91 Calculer un pourcentage indirect
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer un pourcentage indirect MISE en SITUATION Si le prix marqué = 100 € Alors le prix à payer = Prix initial = 100 € Prix final = 95 €  Coefficient multiplicateur : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

92 Calculer un pourcentage indirect
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer un pourcentage indirect METHODE Quand le pourcentage s’applique au prix marqué x que l’on ne connait pas, on a un pourcentage indirect. Retenons le schéma : x P x k : k Valeur initiale Inconnue à déterminer Valeur finale (après remise ou augmentation) connue Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

93 Calculer des pourcentages successifs
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer des pourcentages successifs MISE en SITUATION par l’étude d’un exemple Sur un prix de 2550 €, vous obtenez dans un magasin une remisede 6%, et un escompte de 4% pour un règlement comptant. Calculer : Le montant de la remise Le net après remise Le montant final que vous devez régler A quel % unique correspond la double remise. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

94 Calculer des pourcentages successifs
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer des pourcentages successifs MISE en SITUATION par l’étude d’un exemple Solution Montant de le remise : Net après remise : 2550 – 153 = 2397 € que l’on aurait pu trouver directement en utilisant la formule : Escompte calculé sur le net après remise : 4 % de 2397 = Montant final : 2397 – 95,88 = 2301,12 Ainsi : Prix initial : 2550 € Prix final : 2301,12 Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

95 Calculer des pourcentages successifs
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer des pourcentages successifs MISE en SITUATION par l’étude d’un exemple Suite de la Solution Prix initial : 2550 € Prix final : 2301,12 € Soit x % la valeur de la remise globale : Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

96 Calculer des pourcentages successifs
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Calculer des pourcentages successifs METHODE L’escompte s’applique sur le net après remisec:con applique donc successivement les deux pourcentages de réduction à partir du prix initial. On peut remarquer qu’en général, le porcentage unique n’est pas égal à la somme des pourcentages de réduction. L’usage commercial est d’appliquer successivement les réductions (ou les augmentations), chaque pourcentage s’appliquant au net obtenu après application du pourcentrage précédent. Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

97 Pause-réflexion sur la partie 4
12-Apr-17 Les pourcentages [Title of the course] Pause-réflexion sur la partie 4 Avez-vous des questions ? Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

98 Systèmes linéaires de 2 équations
12-Apr-17 RAPPELS : Equations et Pourcentages [Title of the course] Résumé du module Equations du 1er degré Puissances, Exposants Pourcentages Systèmes linéaires de 2 équations à 2 inconnues Equations du 2nd degré Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

99 Pour aller plus loin… Si vous voulez approfondir vos connaissances :
12-Apr-17 RAPPELS : Equations et Pourcentages [Title of the course] Pour aller plus loin… Si vous voulez approfondir vos connaissances : Modules de cours Module 2 : Intérêts simples Module 3 : Intérêts composés Module 4 : Annuités, Remboursements Sites web Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

100 RAPPELS : Equations et Pourcentages
12-Apr-17 [Title of the course] Félicitations Vous avez suivi avec succès le module de cours n°1 RAPPELS : Equations et Pourcentages Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.

101 Fin S’entrainer à résoudre des équations du 1er et 2nd degré.
12-Apr-17 RAPPELS : Equations et Pourcentages [Title of the course] Fin S’entrainer à résoudre des équations du 1er et 2nd degré. Savoir résoudre les systèmes de 2 équations à 2 inconnues. Etre capable de calculer tout type de pourcentage… Copyright © NameOfTheOrganization. All rights reserved.