Échantillonnage (STT-2000)

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1 Échantillonnage (STT-2000)
Section 2 Intervalles de confiance. Version: 24 août 2003

2 Intervalle de confiance
Il n’est pas suffisant de donner une estimation ponctuelle. Il faut aussi donner une appréciation de l’exactitude des estimations produites. C’est l’objectif principal entourant la construction des intervalles de confiance. STT-2000; Échantillonnage

3 Intervalle de confiance de niveau 95%
On a un certain paramètre à estimer. Si nous prenons encore et encore des échantillons de la population et si nous construisons un IC utilisant notre procédure pour chaque échantillon, on devrait avoir que 95% des intervalles résultants contiennent la vrai valeur du paramètre. STT-2000; Échantillonnage

4 Nombre fini d’échantillons
En échantillonnage d’une population finie, on a un maximum de 2N échantillons. Il y a ainsi un nombre fini d’échantillons. Chaque échantillon s a une probabilité p(s) de survenir. STT-2000; Échantillonnage

5 Calcul du niveau de confiance
Supposons que l’on désire estimer le paramètre inconnu ty. On s’intéresse à un intervalle de confiance de la forme IC(s) = [ms, Ms]. Posons u(s) = 1 si ty est dans IC(s), et u(s) = 0 sinon. Le niveau de confiance exact est donc STT-2000; Échantillonnage

6 STT-2000; Échantillonnage
Exemple 2.7 (Lohr, pp 35-36) On considère pour fins d’illustration la population ayant pour valeurs: STT-2000; Échantillonnage

7 STT-2000; Échantillonnage
Exemple (suite) Pour estimer le total inconnu ty = 40, on procède à un tirage aléatoire simple (plan SI) de taille n = 4. Une procédure possible (sans forcément un fondement théorique), pourrait être: Quel est le niveau de confiance de cette procédure? STT-2000; Échantillonnage

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9 Niveau exact dans l’exemple précédent
Utilisant les propriétés d’un plan SI, chaque échantillon a pour probabilité 1/70 de survenir. Il y a 54 échantillons qui contiennent la vraie valeur du paramètre valant ty=40. Ainsi le niveau de confiance exact est de 54/70 = 0.77 STT-2000; Échantillonnage

10 Que se passe-t-il en pratique?
En pratique, il est impensable d’énumérer tous les 2N échantillons et de calculer toutes les statistiques. En pratique on ne peut pas calculer le niveau de confiance exact. STT-2000; Échantillonnage

11 STT-2000; Échantillonnage
Rappel: échantillonnage dans une population avec remise; Théorème limite central (TLC) Si on dispose d’un échantillon aléatoire X1, X2,…,Xn, iid, E(Xi) = m, Var(Xi) = s2, alors on sait par le TLC que: Connaître (approximativement) la loi de la moyenne est l’ingrédient fondamental pour construire des intervalles de confiance. STT-2000; Échantillonnage

12 Échantillonnage sans remise dans une population finie
le tirage TLC ne s’applique pas directement. Il existe cependant d’autres types de TLC et l’intervalle de confiance suivant est valide: En pratique on peut remplacer par STT-2000; Échantillonnage