RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE

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1 RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE

2 I. Aire d’un triangle quelconque
L’aire A du triangle ABC est : Or donc Dans l’expression de A, on remplace h par

3 On peut démontrer aussi que:
L’aire d’un triangle quelconque est égale au demi-produit de deux côtés par le sinus de leur angle.

4 Application: Calculer l’aire du triangle ABC Données du problème: a = 8; c = 6;

5 II. Relation entre les côtés et le sinus de l’angle opposé.
Multiplions à gauche et à droite par 2 Divisons à gauche et à droite par c Ce qui est équivalent à

6 On pourrait démontrer de la même manière:
Donc Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

7 Application: Calculer les mesures des angles B et C du triangle ABC Données du problème: a = 35; c = 20;

8 On rappelle que dans un triangle, la somme
des mesures des angles est égale à 180°, soit  radians.

9 III. Relation entre les côtés et le cosinus de l’angle opposé:
Dans le triangle rectangle BHC, on peut écrire ( Pythagore) Or, et Dans l’expression de BC², remplaçons BH² par l’expression trouvée ci-dessus. Développons cette expression: attention à l’identité remarquable:

10 On rappelle que: donc Or, dans le triangle AHC: Remplaçons donc AH²+HC² par AC².

11 Or donc Remplaçons dans BC², AH par cette expression: Ou bien, en changeant l’ordre des termes Ce qui s’écrit aussi:

12 On démontrerait de la même manière:
Dans un triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminuée de leur double produit par le cosinus de leur angle.

13 Application : On donne OA = 5 ; AB = 3. Calculer OB. On utilisera, dans le triangle OAB, la formule: Il faut donc déterminer la mesure de l’angle A dans le triangle OAB. On rappelle que l’angle plat, c’est à dire de 180° vaut  radians. Dans le triangle OMA, on a : Réduisons au même dénominateur: donc

14 Réduisons au même dénominateur:
Dans le triangle AOM, on a: donc Ce qui donne: Réduisons au même dénominateur:

15 Dans le triangle OAM, on a:
Donc, dans le triangle OAB, on a:

16 Reprenons notre formule:
Il nous reste à remplacer chaque terme par sa valeur: