Mouvement d'un point A à un point B

Présentation au sujet: "Mouvement d'un point A à un point B"— Transcription de la présentation:

1 Mouvement d'un point A à un point B
Mouvement d'un point A à un point B au cours du temps x x B B Le temps nous permet de savoir comment évolue la vitesse de l'objet x x A A t tA tB t La figure ci-dessus représente le déplacement x d'un objet de A vers B en un temps t = tB – tA. La vitesse se calcule ainsi : C'est la vitesse moyenne de l'objet allant de A vers B. Elle correspond à la pente de la droite bleue. Distance parcourue Temps de parcours

2 Mouvement d'un point A à un point B au cours du temps
La figure ci-contre est la représentation graphique de x en fonction de t : x = f(t) Quand un temps t s'écoule, l'objet considéré parcours une distance x. Ainsi, pour une coordonnée xA quelconque et un temps tA quelconque, on peut écrire : xA + x = f(tA + t) Soit : x = f(tA + t) – xA D'où : x B x A t tA tB t On a seulement changé l'écriture de la vitesse. Nous allons voir pourquoi un peu plus loin...

3 Que se passe-t-il si t tend vers 0 ?
Mouvement d'un point A à un point B au cours du temps Si t diminue, la distance x parcourue diminue logiquement. La vitesse (pente en rouge) est donc différente mais est toujours bien définie par : x B x Que se passe-t-il si t tend vers 0 ? A t tA tB Si t tend vers 0, il devient nécessaire de définir un nouvel outil : la limite. t La vitesse au point A tend donc vers la limite de la fonction au temps tA. C'est une valeur bien déterminée correspondant à la tangente de la fonction au temps tA (la pente en vert).

4 Mouvement d'un point A à un point B au cours du temps
Les variations x et t sont des différences correspondant respectivement à xB – xA et tB – tA. Par définition, lorsque ces variations deviennent infiniment petites, elles prennent le nom de différentielles et l'on remplace la caractéristiques  par la caractéristiques d. Ainsi : Mouvement d'un point A à un point B au cours du temps x B x Toujours par définition, la limite d'une fonction est égale à sa dérivée, ainsi : A t tA tB D'où : t La valeur de la vitesse au temps tA est donc égale à la valeur de la dérivée de la fonction au temps tA, c'est à dire à la tangente à la courbe. On l'appelle la vitesse instantanée.

5 Qu'en est-il de l'accélération ?
D'une manière plus générale, on peut écrire les relations suivantes : La vitesse v est toujours égale à la dérivée par rapport au temps de la fonction définissant le mouvement. Nous verrons plus tard comment regrouper ces trois termes afin de déterminer la vitesse d'un objet dans l'espace. D'ici là : Qu'en est-il de l'accélération ?

6 Augmentation de la vitesse d'un objet
Variation de la vitesse d'un objet au cours du temps v v vB vB Le temps nous permet de savoir si l'objet accélère ou s'il ralentit v v vA vA t tA tB t On représente la variation de vitesse v d'un objet en un temps t = tB – tA. L'accélération se calcule ainsi : C'est l'accélération moyenne de l'objet. Elle est exprimée en m/s² et correspond à la pente de la droite bleue. Variation de vitesse Intervalle de temps

7 Que se passe-t-il si t tend vers 0 ?
Variation de la vitesse d'un objet au cours du temps Si t diminue, la variation v diminue logiquement. L'accélération (pente en rouge) est donc différente mais est toujours bien définie par : v vB v Que se passe-t-il si t tend vers 0 ? vA t Si t tend vers 0, la valeur de l'accélaration tend vers la limite de la fonction v = f(t) au temps tA. tA tB t L'accélération au point A tend donc vers la limite de la fonction au temps tA. C'est une valeur bien déterminée correspondant à la tangente de la fonction au temps tA (la pente en vert).

8 c'est l'accélération instantannée.
Tout comme pour la vitesse, on montre donc que la valeur de l'accélération au temps tA est égale à la valeur de la dérivée de la fonction au temps tA, c'est à dire à la tangente : c'est l'accélération instantannée. D'une manière plus générale, on peut écrire les relations suivantes : L'accélération a est toujours égale à la dérivée seconde par rapport au temps de la fonction définissant le mouvement.

9 DES GRANDEURS SCALAIRES AUX GRANDEURS VECTORIELLES
x, y, z, t, a, v... Autant de grandeurs pour définir le mouvement d'un objet dans l'espace et le temps. Il manque pourtant un élément essentiel : la direction. Il est nécessaire de passer de grandeurs scalaires à des grandeurs vectorielles. La position d'un objet en mouvement est définie par le vecteur position : De coordonnées : Remarque : G est le centre de gravité de l'objet

10 DES GRANDEURS SCALAIRES AUX GRANDEURS VECTORIELLES
x, y, z, t, a, v... Autant de grandeurs pour définir le mouvement d'un objet dans l'espace et le temps. Il manque pourtant un élément essentiel : la direction. Il est nécessaire de passer de grandeurs scalaires à des grandeurs vectorielles. La position d'un objet en mouvement est définie par le vecteur position : De coordonnées : Remarque : G est le centre de gravité de l'objet

11 Puis le vecteur vitesse moyenne tel que :
Puisque l'objet se déplace, on définit le vecteur variation de mouvement tel que : Puis le vecteur vitesse moyenne tel que : Remarque  : par convention, on représente le vecteur vitesse moyenne parallèlement à OG. Par suite, le passage aux différentielles nous donne : La vitesse tend donc vers une limite bien déterminée correspondant à la tangente à la trajectoire au temps t. Cette vitesse instantannée est désormais vectorielle.

12 Qu'en est-il de l'accélération ?
Rappelons que : Ainsi : La vitesse v est bien égale à la dérivée par rapport au temps des fonctions horaires définissant le mouvement : x(t), y(t) et z(t). Ses coordonnées sont : Et sa norme : Qu'en est-il de l'accélération ?

13 Qu'en est-il de l'accélération ?
Rappelons que : Ainsi : La vitesse v est bien égale à la dérivée par rapport au temps des fonctions horaires définissant le mouvement : x(t), y(t) et z(t). Ses coordonnées sont : Et sa norme : Qu'en est-il de l'accélération ?

14 Puisque le vecteur vitesse évolue au cours du temps, on peut en déduire la variation de vitesse au cours du temps : Puis, en notation différentielle, le vecteur acélération : L'acélération tend donc vers une limite bien déterminée correspondant à la valeur de la dérivée de la vitesse au temps t. Cette accélération instantannée est vectorielle. L'accélération a est égale à la dérivée par rapport au temps des fonctions horaires définissant la vitesse : vx(t), vy(t) et vz(t). Ses coordonnées sont : Et sa norme :

15 POUR RÉSUMER JE DÉRIVE J'INTÈGRE