ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

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1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur
Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires

2 Circuit électrique et loi de Kirchhoff
2W 3W B C A 2W i5 i1 i3 5W 2W V volts D i1 i2 i3 i4 i5 1W F E G 3W 4W 5 i1+5 i2 = V i3- i4- i5 = 0 2 i4-3 i5 = 0 i1- i2- i3 = 0 5 i2 - 7i3- 2 i4= 0 Algo i1, i2,i3, i4, i5 V Exemple : V = 10 (5 inconnues => 5 équations)

3 Circuit électrique et loi de Kirchhoff
2W 3W B C A 2W i5 i1 i3 5W 2W V volts D i1 i2 i3 i4 i5 1W F E G 3W 4W 5 i1+5 i2 = V i3- i4- i5 = 0 2 i4-3 i5 = 0 i1- i2- i3 = 0 5 i2 - 7i3- 2 i4= 0 Algo i1, i2,i3, i4, i5 V Exemple : V = 10 (5 inconnues => 5 équations)

4 Solution... A x = b x = A-1 b 5 i1+5 i2 = V
i i4- i5 = 0 2 i4- 3 i5 = 0 i i i = 0 5 i2 - 7i i = 0 5 i1+5 i2 + 0 i3+ 0 i4+0 i5 = V 0 i1+0 i i i4- i5 = 0 0 i1+0 i2 + 0 i3+ 2 i4- 3 i5 = 0 i i i3 + 0 i4+0 i5 = 0 0 i1+5 i i i4 +0 i5 = 0 i1 i2 i3 i4 i5 A x = b x = A-1 b b = [10;0;0;0;0] A = [ ] x = A\b V = A est une matrice, x et b sont des vecteurs

5 Equation de la chaleur Discrétisation
x : position sur une barre de taille 1 u(x) : température à la position x f(x) : flux de chaleur à la position x Discrétisation h 0 h (N-1)h 1 x0 x … xk xk+1 … xN-1 xN

6 Solution A x = b Solution approchée : système linéaire de taille N-1
(matrice tridiagonale)

7 Approximation/interpollation: moindres carrés
f(x) yi xi

8 Approximation au sens des moindres carrés
Système linéaire de k équations et k inconnues

9 Posons le problème matriciellement

10 Posons le problème matriciellement
Xa = f =

11 Posons le problème matriciellement
=

12 Approximation : version matricielle
Erreur d’approximation Système linéaire de k équations et k inconnues

13 Approximation : version matricielle
Erreur d’approximation Matrice de Vandermonde ( ) Système linéaire de k équations et k inconnues

14 n équations et m+1 inconnues
Un problème de base Une nouvelle variable explicative Une nouvelle expérience (individu) n équations et m+1 inconnues Xa=y

15 Que se passe t’il si… ? On dispose d’un nouvel individu
on dispose d’une nouvelle variable m=n m<n m>m on recopie deux individus on duplique une variable a X y =

16 Illustration : système de 2 équations à 2 inconnues
x = 0:1; y = x; y2 = .5*x+.25; subplot(2,2,1);plot(x,y);hold on;plot(x,y2);hold off; xlabel('x_1') ylabel('x_2') title('solution unique') set(gca,'FontSize',14,'FontName','Times','XTick',[],'YTick',[],'Box','on'); y3 = x+.2; subplot(2,2,2);plot(x,y);hold on;plot(x,y3);hold off; title('pas de solution') une solution unique pas de solution une infinité de solution solution « triviale » : x1= x2 = 0 Les différents cas

17 Matrices Tableau de n lignes et k colonnes Remarque fondamentale :
on ne peu rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente

18 Applications linéaires
Noyau : u(x) = 0 image : s.e.v engendré par u(ei) rang = dim(Im(u)) propriétés injective (ker(u) = 0) surjective Im(u) = V Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice