Théorie de Files d’Attente

Théorie de Files d’Attente
Ramon Puigjaner Universitat de les Illes Balears Palma, Espagne Université Paul Sabatier. Toulouse

Université Paul Sabatier. Toulouse.
INDICE Caractéristiques d'un modèle de files d'attente Notation Variables et relations fondamentales Processus de Poisson Processus de Naissance-Mort Files M/M/m/B/K File M/G/1 Files G/G/1: Méthode de diffusion Université Paul Sabatier. Toulouse.

THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
Caractéristiques d'un modèle de files d'attente Source de clients Station de service Université Paul Sabatier. Toulouse.

Caractéristiques de la source des clients Processus d'arrivée Quantité de service Taille de la population Caractéristiques de la station de service Nombre de serveurs Nombre de files d'attente Capacité des files Gestion de la file Politique de service Université Paul Sabatier. Toulouse.

Notation A/S/m [/B/K/DS] A: distribution du temps entre arrivées, S: distribution du temps de service, m: nombre de serveurs, B: capacité du système (par défaut: infinie), K: taille de la population (par défaut: infinie), DS: politique de service (par défaut: FCFS). Université Paul Sabatier. Toulouse.

Variables fondamentales T: variable aléatoire du temps entre arrivées. l: fréquence d'arrivée (= 1/E[T]) S: variable aléatoire du temps de service. m: capacité de service (1/E[S]). Ou nombre moyen de travaux qui peut accepter un serveur par unité de temps . S'il y a m serveurs, la capacité totale de service est mm. Université Paul Sabatier. Toulouse.

Variables fondamentales N: nombre de travaux dans la station de service (variable aléatoire discrète). Nq: nombre de travaux en attente de recevoir service (variable aléatoire discrète). Ns: nombre de travaux en train de recevoir service (variable aléatoire discrète). R: temps de réponse du système (variable aléatoire continue). W: temps d'attente dans la file (variable aléatoire continue). Université Paul Sabatier. Toulouse.

Rapports fondamentaux Condition de stabilité: La fréquence moyenne d'arrivées doit être plus petite que la capacité moyenne de service: l < mm Elle n'est pas applicable aux systèmes avec population et/ou capacité finies. Equation du nombre de travaux: N = Nq + Ns Université Paul Sabatier. Toulouse.

Relations fondamentales Equation du temps: R = W + S Loi de Little: Nombre moyen de travaux dans le système = = Fréquence d'arrivée ´ temps moyen de réponse. Université Paul Sabatier. Toulouse.

Loi de Little Université Paul Sabatier. Toulouse.

Loi de Little Fréquence d'arrivée = = Nombre d'arrivées/Temps d'observation = I/T Temps moyen dans le système = J/I Nombre moyen de travaux dans le système = = J/T = I/T ´ J/I = = Fréquence d'arrivée ´ Temps moyen dans le système Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Poisson N(t), pour t ³ 0 est un processus de Poisson si: N(0) = 0, Le nombre d'arrivées en intervalles indépendants sont mutuellement indépendants, Pour un intervalle de temps suffisamment petit [t, t + Dt] s'accomplit que: la probabilité d'arrivée d'un client est lDt + Æ(Dt), la probabilité d'arrivée de deux clients ou plus est Æ(Dt) la probabilité d'aucune arrivée est 1 - lDt + Æ(Dt) Les trois probabilités précédentes dépendent de Dt mais non de t Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Poisson E[N(t)]=lt Var[N(t)]=lt Université Paul Sabatier. Toulouse.

THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Distribution exponentielle Les temps entre arrivées consécutives d'un processus de Poisson suivent une distribution exponentielle Sans mémoire (propriété de Markov): Université Paul Sabatier. Toulouse.

Propriétés des processus de Poisson Superposition de processus de Poisson Décomposition d'un processus de Poisson Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort Il s'agît d'un type particulier de processus stochastique outil pour modeler des systèmes dans lesquels les clients arrivent et complètent son service un par un. L'état du système est représenté par la variable aléatoire du nombre de clients, k. Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort Si Pk(t) est la probabilité qu’il y ait k éléments à l’instant t et dans un intervalle suffisamment petit l’état du système ne peut varier qu’en un élément, c’est à dire, pour qu’à l’instant t + Dt il y ait k éléments: Ou à l’instant t il y a k éléments et il n’y a aucun changement pendant Dt. Ou à l’instant t il y a k - 1 éléments et il y a une arrivée pendant Dt. Ou à l’instant t il y a k + 1 éléments et il y a un départ pendant Dt. L’état du système ne peut être jamais négatif. Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort La probabilité de l'état dépend de t, mais celle du changement (naissance ou mort) dépend seulement de Dt Pk(t + Dt) = Pk(t) pk,k(Dt) + Pk - 1(t) pk - 1,k(Dt) + + Pk + 1(t) pk + 1,k(Dt) + Æ(Dt), pour k > 0 P0(t + Dt) = P0(t) p0,0(Dt) + P1(t) p1,0(Dt) + Æ(Dt), pour k = 0 Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort Les processus de naissance et de mort sont des processus de Poisson de paramètres dépendants de l'état, lk et mk: pour k > 0 Pk(t + Dt) = Pk(t) [1 - lkDt + Æ(Dt)] [1 - mkDt + Æ(Dt)] + +Pk - 1(t) [lk – 1Dt + Æ(Dt)] + + Pk + 1(t) [mk + 1Dt + Æ(Dt)] + Æ(Dt) pour k = 0 P0(t + Dt) = P0(t) [1 - l0Dt + Æ(Dt)]+ + P1(t) [m1Dt + Æ(Dt)] + Æ(Dt) Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort pour k > 0 pour k = 0 Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort pour k > 0 pour k = 0 Equations de Chapman-Kolmogorov Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort Si ce système arrive à un régime stationnaire, c’est à dire que les probabilités sont indépendantes de l’instant, Pk(t) = pk , pour k ³ 0 Donc 0 = -(lk + mk)pk + lk - 1pk mk + 1pk + 1, pour k > 0 0 = -l0p0 + m1p1, pour k = 0 Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort Vers l’état Ek il y a un flux d’entrée à`partir des états Ek + 1 et Ek - 1, de lk - 1pk mk + 1pk + 1 Des l’état Ek il y a un flux de sortie vers les états Ek + 1 et Ek - 1, de (lk + mk)pk Si le système est en équilibre les deux flux doivent être égaux, lk - 1pk mk + 1pk + 1 = (lk + mk)pk Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort À partir de l'équation de Kolmogorov en régime stationnaire pour k = 0, Remplaçant dans l'équation de Kolmogorov en régime stationnaire pour k = 1, Université Paul Sabatier. Toulouse.

Processus de Naissance-Mort En général Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files M/M/m/B/K Ces files sont des cas particuliers des processus de naissance-mort puisqu’il s’agît de systèmes dans lesquels les arrivées au système (processus de naissance) et les sorties comme conséquence de la fin des services (processus de mort) sont tous les deux poissoniens Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1 une file avec un seul serveur temps entre arrivées des clients répartis exponentiellement avec une valeur moyenne 1/l, indépendante du nombre de clients que sont dans le système temps de service des clients répartis exponentiellement avec une valeur moyenne 1/m, indépendante du nombre de clients que sont dans le système lk = l, pour k = 0, 1, .... m k = m, pour k = 1, 2, .... Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1 Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1 pk = (1 - r)rk , pour k = 0, 1, ... Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1 Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/¥ (nombre infini de serveurs) lk = l, k = 0, 1, .... mk = km, k = 1, 2, .... Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/¥ (nombre infini de serveurs) Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/¥ (nombre infini de serveurs) Le nombre moyen de clients dans le système N = l/m Le temps moyen de réponse, par application de la loi de Little, R = 1/m = s Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/m lk = l, k = 0, 1, .... mk = min(km, mm) d’où mk = km, pour 0 £ k £ m mk = mm, pour m £ k Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/m Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1/B: Capacité finie lk = l, pour k < B lk = 0, pour k ³ B mk = m, pour k = 1, 2, .... Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1/B: Capacité finie pk = 0, pour k > B Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1//K: Population finie lk = (K - k)l, pour 0 £ k £ K lk = 0, pour k ³ K mk = m, pour k = 1, 2, .... Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1//K: Population finie Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/1//K: Population finie Utilisation du serveur r = 1 - p0 Par application de la loi de Little au serveur Fréquence moyenne d’entrée de clients à la station le = (1 - p0)m Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/m/B/K lk = (K - k)l, pour 0 £ k < B lk = 0, pour k ³ B mk = km, pour 0 £ k £ m mk = mm, k > m Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/m/B/K Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/M/m/B/K : Conclusion S’il n’y a pas des limites ni dans la population ni dans la capacité du système serveur-file, le calcul de la probabilité p0 exige la sommation d’une série infinie; il s’agît donc d’un problème analytique. S’il y a quelque limite dans la population ou dans la capacité du système, le nombre d’états est fini et l'addition à faire pour le calcul de p0 l’est aussi. Nous sommes en face d’un problème numérique puisque le système est toujours stable et il est toujours possible d’obtenir le résultat. Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/G/1 Source infinie. Intervalles de temps entre arrivées consécutives répartis exponentiellement avec moyenne tm = 1/l. Temps de service répartis d’après n’importe quelle fonction. Son degré d’aléatorieté est défini par sont coefficient quadratique de variation. Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/G/1 Valeur moyenne du temps de service: s = 1/m. Discipline de la file: FIFO. Pour que la file atteigne un régime stationnaire stable il faut la condition de stabilité r = l/m = ls < 1 Un seul serveur. Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/G/1 Une nouvelle arrivée trouvera en moyenne N clients, r en service et N - r en attente. Chaque client dans la file recevra un service moyen de s = 1/m. Si R0 est le temps de service résiduel R = rR0 + (N - r)s + s Par la loi de Little N /l = rR0 + (N - r)s + s Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/G/1 f(x): fonction de densité de probabilité s: moyenne M2: moment de second ordre A: période de temps très long sur lequel on à disposé les intervalles de service. En moyenne il y aura A/s intervalles sur A Un intervalle est de longueur x avec probabilité f(x)dx Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/G/1 Nombre moyen d’intervalles de longueur x sur A Portion moyenne d’A couverte par des intervalles de longueur x Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/G/1 probabilité g(x)dx que l’intervalle élu au hasard soit de longueur x longueur moyenne de l’intervalle élu Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/G/1 Puisque le point d’observation est équiprobable sur tout l’intervalle, le temps résiduel est Remplaçant dans l'équation du temps de réponse Université Paul Sabatier. Toulouse.

File M/G/1 : Formules de Khintchin-Pollaczeck Université Paul Sabatier. Toulouse.

Modèle de Skinner Les arrivées suivent un processus de Poisson de moyenne l. Service de durée A, avec distribution FA(t). Après donner service, le serveur reste en latence pendant un temps B, avec distribution FB(t). Z = A + B avec distribution FZ(t). Université Paul Sabatier. Toulouse.

Modèle de Skinner Après un cycle de service et latence, le serveur regarde la file pour voir s’il y a des clients. Si elle n’est pas vide, le serveur commence une nouvelle période de service. Si elle est vide, le serveur commence une nouvelle latence C, avec distribution FC(t). Université Paul Sabatier. Toulouse.

Modèle de Skinner Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Hypothèse de distribution normale du nombre de clients dans le système. DN(t) variation de la longueur de la file entre t et t + D. Alors, si D suffisamment grand, DN(t) suit une distribution normale d’une façon approchée E[DN(t)] = (l - m)D = bD Var[DN(t)] = (Ka2 l + Ks2 m)D = aD Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion l fréquence d’arrivée, m capacité de service (o l’inverse du temps moyen de service), Ka2 coefficient quadratique de variation du temps entre arrivées ta, Ka2 = Var (ta)l2, Ks2 coefficient quadratique de variation du temps de service ts, Ks2 = Var (ts)m2. Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Remplacement du processus discret par un processus continu. Le processus discret DN(t) est approché par un processus continu x(t), dont les changements incrementales dx(t) sont repartis d’après une distribution normale avec moyenne bdt et variance adt dx(t) = bdt + z(t) (adt)1/2 où z(t) est un processus gaussien blanc. Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion x0 la valeur initiale p(x0, x, t)dx = Pr[x £ x(t) £ x + dt | x(0) = x0] Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Introduction des conditions de contour. L'équation de diffusion est résolue avec la condition de contour x(t) > 0 (barrière reflétante) o p(x0, x, t) = 0 pour x < 0. Pour le cas stationnaire, la dérivée par rapport au temps dans l'équation précédente doit être zéro. Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Condition de stabilité b < 0 ou l < m Condition de contour Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Discretisation du processus de diffusion et ajustement pour le cas d’un nombre faible de clients dans le système. Distribution géométrique avec le même facteur de décrément e-2b/a. Par le théorème du limite central on ne peut pas espérer des résultats significatifs pour un faible nombre de clients dans le système. On sait que la probabilité d’avoir la file vide est r = 1 - l/m. Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Alors on ajuste la distribution géométrique pour n = 0 et on utilise e-2b/a comme facteur de décrément. Si on représente la distribution approchée du nombre de clients dans le système, bâtie de cette façon, par p(n), on obtient p(n) = 1 - r , si n = 0 p(n) = r (1 - f) fn-1 , si n > 0 Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané. f(x) = R(e-f - 1) efx, pour x ³ 1 f(x) = R(1 - efx), pour 0 £ x £ 1 Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané. La condition de stabilité exige r = l/m < 1. Si on admet l = l', R = r. La longueur moyenne de la file sera Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané. Pour Ka = 1, nous avons Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané. Avec l'approximation R = r on discretise la distribution; pour ceci il y a plusieurs alternatives. Soit P = 1 - r, la première consiste à faire p1(i) = f(i), pour i ³ 1 p1(0) = P Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané. p1(0) = 1 - r Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané. Deuxième discretisation: probabilité p2(i) égal à la fonction continue de distribution entre i - 1 et i Université Paul Sabatier. Toulouse.

Files G/G/1: Méthode de diffusion Résultats de l’approche par le retour instantané. Troisième discretisation: réussir que la longueur de file coïncide avec celle de Khintchin-Pollaczeck Université Paul Sabatier. Toulouse.

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