Dynamique intégrale non-linéaire Statistique intégrale non-linéaire

Présentation au sujet: "Dynamique intégrale non-linéaire Statistique intégrale non-linéaire"— Transcription de la présentation:

1 Dynamique intégrale non-linéaire Statistique intégrale non-linéaire
　Propriétés Intégrales des Modèles Cosmologiques non-homogènes Thomas Buchert LMU Munich Dynamique intégrale non-linéaire Statistique intégrale non-linéaire

2 Dynamique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques
Première Partie : Dynamique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques

3 Le Triangle Cosmique Le Modèle Standard Les Paramètres Cosmologiques
Bahcall et al. (1999)

4 Le Modèle Concordance 0,3 0,7 Bahcall et al. (1999)

5 Le Modèle « Effectif » A=4 R2 Alune ¼ 40 Asphère Pourquoi nous
considerons une distribution lissée ? Exemple d’une Propriété Intégrale: La surface totale d’une sphère représentant le volume total du modèle standard avec k > 0 et la surface totale de la lune … A=4 R2 Alune ¼ 40 Asphère “Surface roughening”

6 “Surface roughening”

7 VE VR <  > = 0 Aparté : Lisser la Géométrie des Espaces k = 0
Modèle Friedmann Euclidien Modèle non-homogène Riemannien VE  > 0  < 0  > 0 VR

8 Le problème avec l’orange :

9 Comparaison des Volumes
,g t = const. E3

10 M M Préserver la Masse M B0 ,g _ B La densité lissée riemannienne :
La densité lissée euclidienne : M La fraction des volumes : _ B

11  = 1.64 Un Modèle Simple e s p a c e e u c l i d i e n
Une vraie boule e s p a c e e u c l i d i e n VEuclid = 2/6 VRiemann

12 Maintenant : Modèles Newtoniens
Fin de l’Aparté ! Maintenant : Modèles Newtoniens

13 homogène et non-homogène
Différence entre Modèles homogène et non-homogène Modèle Friedmann Euclidien Modèle non-homogène Euclidien Non-commutativité

14 La Construction d’un Modèle Générique
1/3 1/3 a(t) = V aD(t)=V t Espace - Temps de Newton Le Modèle Standard Le Modèle «Effectif»

15 L’évolution lagrangienne
M xi = fi (qj,t) i,j=1,2,3 t x2 M x1

16 L’évolution lagrangienne
M t x2 M x1

17 La déformation lagrangienne
v1 = f1 (q1 ,t) f1 (q1 ,t) q1 x1 x1

18 xi = fi (qj , t) d3x = J(qi ,t) d3q
L’évolution du volume xi = fi (qj , t) d3x = J(qi ,t) d3q <A>: = 1/V sD A d3 x

19 Lisser une distribution A
xi = fi (q1,t) d3x = J(qi ,t) d3q

20 Non-Commutativité

21 Entropie d’information relative
Kullback-Leibler : S > 0 d/dt S > 0 : L’information dans l’Univers augmente ! en compétition avec l’expansion

22 Quelle est la dynamique du domaine ? Etude du taux d’expansion
Maintenant : Etude du taux d’expansion

23 L’équation de Euler : d/dt vi = gi ) d/dt vi,j = vi,kvk,j + gi,j
Vi,j = 1/3  ij + ij + ij i = j L’équation de Newton : gi,i =  – 4 G  ) L’équation de Raychaudhuri Lisser sur un domaine spatial : Lisser le taux d’expansion : Le règle de non-commutativé : L’équation de Raychaudhuri :

24 Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :
Les équations généralisées de Friedmann 　　　　 Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :

25 Le Quatuor Cosmique Le paramètre de Hubble effectif :
Les paramètres cosmologiques effectifs : avec : Modèle analytique de vitesses

26 Est-ce qu’il y a des autres possibilités 2. Conditions frontières
d’avoir Q = 0 ? Régions sphériques 2. Conditions frontières

27 Les Boules en Fer de Newton
QR = 0 a R « Top-Hat »

28 des Modèles Newtoniens
Propriétés Globales des Modèles Newtoniens Les conditions de frontière sont périodiques

29 Le modèle effectif Newtonien sur l’échelle globale
est le même que le modèle standard ! Mais: les observations sont faites sur des échelles régionales ) on peut calculer les effets au niveau régional avec les outils standards !

30 E u c l i d e e n Simulations des structures aux grands échelles
MPA Garching

31 1024 cube Modèle lagrangien 2nd ordre  C D M

32 lagrangien perturbatif avec un spectre coupé TZA  C D M Le modèle
numerique Le modèle lagrangien perturbatif avec un spectre coupé analytique TZA  C D M

33 Modèle analytique pour les fluctuations intégrales
Les Invariants de i|k := (  i /  qk ) : I := trace ( i|k ) II := ½ [ trace ( i|k )2 - i|jj|i ] III := det ( i|k ) 1. L’approximation de Zel’dovich : xi = f Zi (q,t) = a (t) qi + b (t) i (q) v Zi = d/dt f Zi ) QZ = QZ ( v Zi , v Zi,j ) 2. Evolution perturbative du volume : JZ = det (f Zi|k) = a3 [ 1 + b I + b2 II + b3 III ] aD3 (t) = a3 [ 1 + b < I >i + b2 < II >i + b3 < III >i ]

34 3. Evolution non-perturbative du volume :
Les relations dans le cas sphérique : < II > = 1/3 < I > < III > = 1/27 < I > 3 ) QZ= 0 3. Evolution non-perturbative du volume :

35 Résultat : échelle 100 Mpc/h

36 Variance Cosmique 300 Mpc/h 600 Mpc/h

37 « Backreaction » peut se comporter
Conclusions : Les effets Newtoniens sont régionaux « Backreaction » peut se comporter qualitativement comme ``  (t) ‘’ Il ne peut pas remplacer quantitativement « l’énergie noire » Mais les autres paramètres cosmologiques sont influencés indirectement et peuvent changer beaucoup !

38 Le Contexte Relativiste
1/3 aD= VR d2 s = - dt2 + gij dXi dXj t t Espace - Temps de Einstein gij

39 Les équations généralisées
de Friedmann 　　　　 Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : La condition d’intégrabilité : Le cas homogène :

40 Lisser la géometrie ,g t = const. E3

41 Conclusions : Les équations relativistes intégrales sont les mêmes
que les équations Newtoniennes ! Globalement on n’a pas Q = 0 Q est relié à <R> ( La courbure globale change avec la formation des structures ! ) Les autres paramètres cosmologiques peuvent changer beaucoup, alors: l’effet de la courbure peut être important ( « l’énergie noire » )

42 Statistique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques
Seconde Partie : Statistique Non-linéaire des Modèles Cosmologiques

43 Les Fonctionelles de Minkowski
Propriétés intégrales du domaine Minkowski (1903) Les Fonctionelles de Minkowski : Gauss-Bonnet Ici: La Topologie !

44 La Morphologie du Domaine
Les équations généralisées de Friedmann : Fonctionelles de Minkowski Le terme « réréaction » : Fonctionelles de Minkowski : Boule en Fer La boule en fer de Newton :

45 La morphologie du domaine contrôle l’évolution effective
Point de Vue Morphologique : La morphologie du domaine contrôle l’évolution effective des champs dans le domaine Mais la topologie peut changer !!

46 Changement de Topologie

47 Singularités des Fronts

48 Comment construire un corps (un domaine)
à partir des données observées ? Exemples des données : catalogues des galaxies = une collection de points

49 Le construction d’un corps I
CfA Coma Les contours « excursion »

50 Le construction d’un corps II Modèle Boole

51 Morphométrie en fonction de l’échelle
2 1 r r 3 4

52 Morphometrie d’un Catalogue
A P M

53 Les données limitées au volume 3D
P S C z 0,8 Jy : 676 / 661 A P M 100 Mpc/h

54 Les Fluctuations Morphologiques dans le Catalogue PSCz

55 Sloan Digital Sky Survey – Sample 12
galaxies

56

57 Sloan Digital Sky Survey
Région 2 Région 1

58 Sample 10 Sample 12

59 Propriétés Intégrales des Modèles Cosmologiques non-homogènes
Conclusions Modèle Newtonien : globalement = Modèle Standard au niveau régional : 1) quatuor cosmique ! Q 2) variance cosmique ( Q petit, mais les autres paramètres changent beaucoup ! ) 3) contrôlé par les fonctionelles de Minkowski Modèle relativiste : courbure globale change avec la formation des structures ! <R> / Q

60 Relation entre la morphologie et la dynamique intégrale
Aparté : Relation entre la morphologie du domaine et la dynamique intégrale

61 Fixer la frontère du domaine
S = const dS = r S / |r S |

62 Espace de Paramètres Complet
.

63 Lisser les Espace Riemannien
Ricci-Hamilton-Flow ｇ ｇ （） i j i j K K　　　 （） i j i j

64 Lisser la Géometrie et la Masse

65 Preserving the Hamiltonian Constraint
0,3 0,7