Chapitre 14 : Calcul littéral (3° partie) : La double distributivité

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1 Chapitre 14 : Calcul littéral (3° partie) : La double distributivité

2 Ici , en comparaison à la simple distributivité , le facteur commun est une somme algébrique de 2 termes. p Géométriquement, le rectangle est coupé en 4 ! 2t + (-6 ) 8j 8jx2t =16jt 8jx(-6)=(-48j) 3 3x2t=6t 3x(-6)=(-18)

3 2t + (-6 ) 8j 8jx2t =16jt 8jx(-6)=(-48j) 3 3x2t=6t 3x(-6)=(-18)
Donc (8j+3) (2t-6) = 16jt +6t -48j ou vous pouvez décomposer en (8j+3) (2t-6) = 8j (2t-6) + 3(2t-6)

4 Astuce : Transformer les soustractions en additions !!
Donc (8j+3) (2t-6) = 16jt +6t -48j ou vous pouvez décomposer en (8j+3) (2t-6) = 8j (2t-6) + 3(2t-6) Remarque : La difficulté est dans les signes !! Soyez très vigilant ! Voir fin du chapitre ! Astuce : Transformer les soustractions en additions !!

5 Astuce : Transformer les soustractions en additions !!
I) Niveau 0 : Aucun coefficient est négatif 1) Méthode du rectangle : A0= ( 5t+3)(8h+6)

6 I) Niveau 0 : Aucun coefficient est négatif 1) Méthode du rectangle :
A0= ( 5t+3)(8h+6) 5t + 3 8h 8hx5t =40ht 8hx3=24h 6 6x5t=30t 6x3=18

7 5t + 3 8h 8hx5t =40ht 8hx3=24h 6 6x5t=30t 6x3=18 Donc (5t+3)(8h+6)=40ht+24h+30t+18 2° exemple: B0= ( 8r²+3)(7r+5)

8 B0= ( 8r²+3)(7r+5) 7r + 5 8r² 8r²x7r =56r3 8r²x5=40r² 3 3x7r=21r
Donc (8r²+3)(7r+5)= 56r3+40r²+21r+15 2) Méthode avec 2 distributivités simples  :

9 C0= ( 7t+4)(11t+2) =7t (11t+2) +4 (11t+2)
2) Méthode avec 2 distributivités simples  : Découpe le 1e ou le 2e facteur au choix à ce niveau C0= ( 7t+4)(11t+2) =7t (11t+2) +4 (11t+2) =7t x 11t+ 7t x x11t+ 4 x2 = 77t²+ 14t + 44t+ 8 = 77t² t 4t+ 8

10 = 77t²+ 14t + 44t+ 8 = 77t² t 4t+ 8 2° exemple: D0= (6+7y) ( 9y+5) D0 = (6+7y)9y + (6+7y) 5 = 6 x 9y +7y x 9y + 6x5+ 7y x5 = 54y + 63y² y = 54y + 35y + 63y² + 30

11 = 54y + 35y + 63y² + 30 = 89y + 63y² + 30 A1= (-5t+3)(8h+6)
II) Niveau 1 : un coefficient est négatif 1) Méthode du rectangle : A1= (-5t+3)(8h+6)

12 A1= (-5t+3)(8h+6) -5t + 3 8h 8hx(-5t) =(-40)ht 8hx3=24h 6 6x(-5t) =(-30)t 6x3=18 Donc (-5t+3)(8h+6)=(-40)ht+24h+(-30)t+18

13 8r² + (-3) 7r 7rx8r² =56r3 7rx(-3)=(-21)r² 5 5x8r²=21r 5x(-3)=(-15)
Donc (-5t+3)(8h+6)=(-40)ht+24h+(-30)t+18 2° exemple: B1= ( 8r²-3)(7r+5) 8r² + (-3) 7r 7rx8r² =56r3 7rx(-3)=(-21)r² 5 5x8r²=21r 5x(-3)=(-15)

14 8r² + (-3) 7r 7rx8r² =56r3 7rx(-3)=(-21)r² 5 5x8r²=21r 5x(-3)=(-15)
Donc (8r²-3)(7r+5)=56r r²+21r-15 2) Méthode avec 2 distributivités simples  :

15 Donc (8r²-3)(7r+5)=56r 3 - 21r²+21r-15 C1= (11t+2) ( 7t²-4)
2) Méthode avec 2 distributivités simples  : Conseil : Pour éviter les erreurs de signes, couper le facteur qui est une somme C1= (11t+2) ( 7t²-4) = (11t+2) ( 7t²+(-4) ) = (11t+2) ( 7t²+(-4) )

16 = (11t+2) ( 7t²+(-4) ) = (11t+2) x 7t²+ (11t+2)x(-4) = 11t x 7t² +2 x 7t²+11tx(-4)+2x(-4) = 77t t²- 44t+(-8) = 77t t²- 44t -8 2° exemple: D1= (8y+3)(-5y+7) = (8y+3)(-5y+7)

17 2° exemple: D1= (8y+3)(-5y+7) = (8y+3)(-5y+7) = 8y(-5y+7)+3(-5y+7) = 8yx(-5y)+ 8yx 7+3x(-5y)+3x7 = (-40y²)+ 56y+(-15y)+21

18 = (-40y²)+ 56y+(-15y)+21 A2= ( -8t-3)(7h+6)
III) Niveau 2 : Deux coefficients sont négatifs 1) Méthode du rectangle : A2= ( -8t-3)(7h+6)

19 A2= ( -8t-3)(7h+6) -8t + (-3) 7h 7hx(-8)t =(-40)ht 7hx(-3)=(-21)h 6 6x(-8)t=(-48)t 6x(-3)=(-18) Donc (-8t-3)(7h+6) =(-40)ht+(-21)h+(-30)t+(-18)

20 Donc (-8t-3)(7h+6) =(-40)ht+(-21)h+(-30)t+(-18)
2° exemple: B2= ( -8r²+3)(-7r+6) -8r² + 3 -7r (-7)rx(-8)r² =56r3 (-7)rx3=(-21)r 6 6x(-8)r²=(-48)r² 6x3=18

21 -8r² + 3 -7r (-7)rx(-8)r² =56r3 (-7)rx3=(-21)r 6 6x(-8)r²=(-48)r² 6x3=18 Donc (-8r²+3)(-7r+6) = 56r3+ (-21)r+ (-48)r²+ 18

22 Donc (-8r²+3)(-7r+6) = 56r3+ (-21)r+ (-48)r²+ (-18)
2) Méthode avec 2 distributivités simples  : C2= (11t-2) ( 7t²-4) C2= (11t + (-2) ) ( 7t²+(-4)) C2= 11t ( 7t²+(-4)) + (-2)( 7t²+(-4)) C2= 11tx7t²+11tx(-4)+(-2)x7t²+(-2)x(-4) C2= 77t3+(-44)t+(-14)t²+8

23 C2= 77t3+(-44)t+(-14)t²+8 C2= 77t3-44t-14t²+8 2° exemple: D2= (8y-3)(-5y+7) D2= (8y-3)(-5y+7) D2= (8y+(-3))x(-5y) + (8y+(-3))x7 D2= 8yx(-5y)+(-3)x(-5y)+8yx7+(-3)x7 D2= (-40)y²+ 15y+56y+(-21) D2= (-40)y²+ 15y+56y - 21

24 D2= (-40)y²+ 15y+56y - 21 D2= (-40)y²+ 71y - 21 A3= ( -7t-4)(-11h+4)
IV) Niveau 3 : Trois coefficients sont négatifs 1) Méthode du rectangle : A3= ( -7t-4)(-11h+4) -7t + (-4) -11h -11hx(-7)t =77ht -11hx(-4)=44h 4 4x(-7)t=(-28)t 4x(-4)=(-16)

25 -7t + (-4) -11h -11hx(-7)t =77ht -11hx(-4)=44h 4 4x(-7)t=(-28)t 4x(-4)=(-16) Donc (-7t-4)(-11h+4) = 77ht+44h-28t-16

26 Donc (-7t-4)(-11h+4) = 77ht+44h-28t-16
2° exemple: B3= ( -8r²-3)(7r-6) 7r + (-6) -8r² -8r²x7r =-56r3 -8r²x(-6)=48r² -3 -3x7r=(-21)r -3x(-6)=18

27 7r + (-6) -8r² -8r²x7r =-56r3 -8r²x(-6)=48r² -3 -3x7r=(-21)r -3x(-6)=18 Donc (-8r²-3)(7r-6) = -56 r3 + 48r² +(-21)r+18 = (-56)r3 + 48r² -21r+18

28 C3= 9t (-3t²+(-2)) +(-1) (-3t²+(-2))
= (-56)r3 + 48r² -21r+18 2) Méthode avec 2 distributivités simples  : C3= (9t-1)(-3t²-2) C3= (9t+(-1))(-3t²+(-2)) C3= 9t (-3t²+(-2)) +(-1) (-3t²+(-2)) C3=9tx(-3t²)+9tx(-2)+(-1)x(-3)t²+(-1)x(-2) C3=(-27t3)+(-18)t+3t²+2 2° exemple: D3= (-7y+4)(-6y-11)

29 D3= (-7y+4)(-6y)+(-7y+4)(-11)
2° exemple: D3= (-7y+4)(-6y-11) D3= (-7y+4)( -6y+(-11) ) D3= (-7y+4)(-6y)+(-7y+4)(-11) D3= (-7y)(-6y)+4x(-6y)+(-7y)x(-11)+4x(-11) D3= 42y²+(-24)y+77y+(-44) D3= 42y²-24y+77y-44 V) Niveau 4 : Quatre coefficients sont négatifs 1) Méthode du rectangle :

30 Donc (-t-2)(-10h-5) = 10ht+20h+5t+10
V) Niveau 4 : Quatre coefficients sont négatifs 1) Méthode du rectangle : A4= ( -t-2)(-10h-5) -t + (-2) -10h -10hx(-t) =10ht -10hx(-2)=20h -5 -5x(-t) =5t -5x(-2)=10 Donc (-t-2)(-10h-5) = 10ht+20h+5t+10

31 Donc (-t-2)(-10h-5) = 10ht+20h+5t+10
2° exemple: B4= ( -3r²-2)(9r-7) -3r² + (-2) -9r -9rx(-3r²) =27r3 -9rx(-2)=18r -7 -7x(-3r²)=21r² -7x(-2)=14

32 Donc (-3r²-2)(-9r-7) = 27 r3 + 21r² +18r+14
-9rx(-3r²) =27r3 -9rx(-2)=18r -7 -7x(-3r²)=21r² -7x(-2)=14 Donc (-3r²-2)(-9r-7) = 27 r3 + 21r² +18r+14 2) Méthode avec 2 distributivités simples  :

33 C3= -4t x(-8t²+(-5)) +(-3)x(-8t²+(-5))
2) Méthode avec 2 distributivités simples  : C4= (-4t-3)(-8t²-5) C3= (-4t+(-3))(-8t²+(-5)) C3= -4t x(-8t²+(-5)) +(-3)x(-8t²+(-5)) C3=-4tx(-8t²)+(-4t)x(-5)+(-3)x(-8t²)+(-3)x(-5) C3=32t3+20t+24t²+15 2° exemple: D4= (-5y-1)(-2y-1)

34 V) Bilan : 2° exemple: D4= (-5y-1)(-2y-1) D3= (-5y-1)( -2y+(-1))
D3= (-5y+(-1))x(-2y)+ (-5y+(-1))x(-1) D3=(-5y)x(-2y)+(-1)x(-2y)+(-5y)x(-1)+(-1)x(-1) D3=10y²+2y+5y+1 D3=10y²+ 7y+1 V) Bilan  :

35 V) Bilan  : Niveau Nombre de termes positifs avant la réduction Nombre de termes négatifs avant la réduction Exemples correspondants 4 A0 ; B0 ; C0 et D0 1 Conclusion : A partir de maintenant, lors d’une double distributivité , déterminer le niveau de l’expression et vérifier avant de réduire !

36 Niveau Nombre de termes positifs avant la réduction Nombre de termes négatifs avant la réduction Exemples correspondants 4 A0 ; B0 ; C0 et D0 1 2 A1 ; B1 ; C1 et D1 A2 (sur le même facteur) B2 ; C2 et D2(un sur chaque facteur) 3 A3 ; B3 ; C3 et D3 A4 ; B4 ; C4 et D4 Conclusion : A partir de maintenant, lors d’une double distributivité , déterminer le niveau de l’expression et vérifier avant de réduire !