ALGORITHMES CHEZ LES BABYLONIENS

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1 ALGORITHMES CHEZ LES BABYLONIENS

2 1 ; 24 , 51 , 10 = / / / ≈ 1, × 1, ≈ 42, = 42; 25 , 34 , 59 … 1 chevron = 10 3 chevrons =30 Une tablette de -2000 L’algorithme « de Babylone» permet de calculer les racines carrées de manière très efficace… 1 clou = 1 2 clous =2 Diapo largement inspiré des travaux de Gilles Aldon et Michel Mizony: 2

3 Les calculs à Nippur Une table … Qu’est-ce?
Centre intellectuel du 2ème millénaire. Grande école de Scribe où on a pu retrouver plus de tablettes d’apprentis scribes. En particulier des tables et exercices de calcul… Une table … Qu’est-ce? 4 4 16

4 Les calculs à Nippur Une table … Qu’est-ce? 4 4 16 6 6 36

5 Les calculs à Nippur Une table … Qu’est-ce? 4 4 16 6 6 36 12 12 02.24
2x = 144

6 Les calculs à Nippur Une table … Qu’est-ce? 4 4 16 6 6 36 12 12 02.24
13 13 02.49 2x = 169

7 C’est une table de carrés de 1 à 13
Les calculs à Nippur C’est une table de carrés de 1 à 13

8 Cela semble être la table de multiplication par 18
Les calculs à Nippur Une autre table… « a-ra » signifie « fois »  fois  2  36  fois 5 01.30 1x = 90  fois 9 02.42 2x = 162 Cela semble être la table de multiplication par 18

9 Les calculs à Nippur Encore une table…
= inverse 18 3 . 20 = 3/ /60² = 1/20 + 1/180 = 1/18 L’inverse de 18 est (ou 3.20 ) Tablette néo-sumérienne Ist Ni 374 Les calculs à Nippur Encore une table…

10 Les calculs à Nippur Encore une table…
Inverse de 20 3 = 3/60 = 1/20 L’inverse de 20 est 0.3 ( ou 3 ) Tablette néo-sumérienne Ist Ni 374 Les calculs à Nippur Encore une table…

11 Les calculs à Nippur Encore une table…
Inverse de 27 27 x = 27 x 20 = 540 = 9 x 60 = 9 , 00 27 x = 360 = 6 x 60 = 6 , 00 27 x = 60 = 1 x 60 = 1 , 00 L’inverse de 27 est Tablette néo-sumérienne Ist Ni 374 Les calculs à Nippur Encore une table…

12 Les calculs à Nippur Encore une table…
Inverse 26 négation 26 n’est pas inversible en base 60 (c’est-à-dire que la suite des « décimales » est infinie) Tablette néo-sumérienne Ist Ni 374 Les calculs à Nippur Encore une table…

13 C’est une table d’inverses…
Traduction de la tablette (et complément) Recto col1 n:inv Recto col 2 n:inv Verso col 1 Verso col 2 2 : 30 16 : 3.45 33 : - 51 : - 3 : 20 17 : - 34 : - 52 : - 4 : 15 18 : 3.20 35 : - 53 : - 5 : 12 19 : - 36 : 1.40 54 : 6 : 10 20 : 3 37 : - 55 : - 7 : - 21 : - 38 : - 56 : - 8 : 7.30 22 : - 39 : - 57 : - 9 : 6.40 23 : - 40 : 1.30 58 : - 10 : 6 24 : 2.30 41 : - 59 : - 11 : - 25 : 2.24 42 : - 1 : 1 12 : 5 26 : - 43 : - 1.4 : 56.15 13 : - 27 : 44 : - 1.12 : 50 14 : - 28 : - 45 : 1.20 1.15 : 48 15 : 4 29 : - 46 : - 1.20 : 45 30 : 2 47 : - 1.21 : 31 : - 48 : 1.15 1.30 : 40 32 : 49 : - 1.36 : 37.30 50 : 1.12 1.40 : 36 Tablette néo-sumérienne Ist Ni 374 Période Néo-sumérienne ( ) C’est une table d’inverses… Les calculs à Nippur

14 Des calculs pour les scribes
EXPLICATIONS: a=8.00, b=0.20 et on cherche l’inverse de a+b. L’inverse de b est b-1 = = 8.20 x 3 = (a+b) x b-1 Les tables donnent l’inverse de 25 = 2.24 2.24 = ((a+b) x b-1) -1 = (a+b)-1 x b 7.12 = 3 x 2.24 = b-1 x (a+b)-1 x b = (a+b)-1 = On cherche l’inverse de 08.20: On le décompose en une somme a+b où b est dans la table des inverses: a=08.00 et b=00.20 L'inverse de b est b-1 = 3 ( 3 x 20 = 1.00) On effectue le produit 3 x 2.24: 3 x 2.24 = qui est : 8.20 x 7.12 = 1 L’inverse de est 07.12 Tablette (copie Robson) CBS 1215 On recommence la méthode avec 7.12 en l’écrivant Et on trouve que l’inverse de 7.12 est 8.20… On effectue le produit 8.20x3 et on calcule l’inverse: 8.20 x 3 = 25 et 25-1 = 2.24 Des calculs pour les scribes

15 Retrouver l’erreur du scribe…
On cherche l’inverse de 33.20: 33.20 = L'inverse de est 18 4 x 2.15 = 8 L’inverse de 8 est 6.40 ERREUR: 2,15x4 = 9 Et non 8.. 33.20 x 18 = 10 et 10-1 = 6 4 x 6.40 = x 1.15 = L’inverse de 1.48 est 33.20 Où est l’erreur? 18 x 6 = L’inverse de est 1.48 L’inverse de est 1.15 01.15 x 1.48 = = L’inverse de 0,15 est 4 Retrouver l’erreur du scribe…

16 Les calculs à Nippur – calcul d’inverse (façon moderne)
Calcul de l’inverse de 7 (non inversible pour les néo-Sumériens) 7 4 . 00 8 8 . 34 On voit apparaître la période… L’inverse de 7 est : …. On peut faire réaliser cet algorithme (« à la main ») par les élèves. Par exemple l’inverse de 11 en donnant la table de 11… Les calculs à Nippur – calcul d’inverse (façon moderne)

17 Les calculs à Nippur – calcul d’inverse (façon moderne)
Calcul de l’inverse de 11 (non inversible pour les néo-Sumériens) 11 - 55 5 . 00 5 . 27 5 On voit apparaître la période… L’inverse de 11 est : …. Les calculs à Nippur – calcul d’inverse (façon moderne)

18 Intermède : Exercices de calculs à la mode Scribouillard
Traduction: Ecriture décimale  Ecriture sexagésimale  Ecriture cunéiforme En écriture décimale : 3625 = 1 x 60² + 0 x En écriture sexagésimale : En écriture sexagésimale : En écriture cunéiforme :

19 Intermède : Exercices de calculs à la mode Scribouillard
Traduction: Ecriture décimale  Ecriture sexagésimale  Ecriture cunéiforme En écriture décimale : 36,25 36,25 = ,25 = /4 = / 60 En écriture sexagésimale : En écriture sexagésimale : En écriture cunéiforme :

20 Intermède : Exercices de calculs à la mode Scribouillard
Traduction: Ecriture décimale  Ecriture sexagésimale  Ecriture cunéiforme En écriture décimale : 8415 = 2x60² + 20x = = 8415 En écriture sexagésimale : (entier < 603) En écriture cunéiforme :

21 Intermède : Exercices de calculs à la mode Scribouillard
Traduction: Ecriture décimale  Ecriture sexagésimale  Ecriture cunéiforme En écriture décimale : (entre 1 et 60) 22,683… /60 =1361/60  22,683 En écriture sexagésimale : 22.41 En écriture cunéiforme :

22 Calculs en cunéiforme: addition, soustraction
Intermède : Exercices de calculs à la mode Scribouillard Calculs en cunéiforme: addition, soustraction = 41 41+14 = 55 = 3 = 27 Vérification 22.41 = 22 x = = 19 x = 1154 Somme = = 41 x = 41.55 Vérification 22.41 = 22 x = = 19 x = 1154 Différence = = 3 x = 3.27

23 Calculs en cunéiforme: multiplication
Intermède : Exercices de calculs à la mode Scribouillard Calculs en cunéiforme: multiplication 30 x 40 = 1200 = 20x60 = 20.00 = 51 30 x 7 = 210 = 3x60+30 = 3.30 3 x 40 = 120 = 2x60+0 = 2.00 3 x 7 = 21 = 25 On peut vérifier que c’est 47 x 33 = 1551 [25 x = 1551 ]

24 Calculs en cunéiforme: multiplication
Intermède : Exercices de calculs à la mode Scribouillard Calculs en cunéiforme: multiplication ( ) x 60 = 60 x 60 = 60 x 60 = 1 x 60² = 00 et je retiens 1 52 x 19 = 988 = 16 x = 16.28 52 x 2 x 60 = 104 x 60 = 60 x x 60 = 1 x 60² + 44 x 60 = On peut vérifier que c’est 139 x 52 = [ 2 x = 139 et 2 x 60² + 28 = ]

25 L’algorithme de Babylone: calcul d’une racine carrée
Calcul de racine de 2: On part d’un rectangle (21), on cherche la moyenne des longueurs des côtés: (2+1)/2 = 3/2 = 1.30 qui sera notre nouvelle longueur. On cherche la nouvelle largeur de sorte que l’aire du nouveau rectangle soit toujours 2. 2/1.30 = On obtient notre nouveau rectangle (1.30 1.20). On réitère: (1.25  …) qu’on arrondit à (1.25  ) Et encore: (  ): c’est la valeur de la tablette: L’algorithme pour calculer la racine de A est donc: (x,y)( (x+y)/2 , 2A/(x+y) ) en initialisant à (1,A) La suite des couples donne des encadrements de plus en plus fins de la racine carrée 25

26 L’algorithme de Babylone: retour sur les calculs – une activité
Nous sommes apprenti scribe (Padawan-scribe) à l’école de Nippur en l’an et Maître Iodabulu nous demande le calcul de racine de 2 en partant de la largeur 2 et hauteur 1… On part de ( a , b ) = (2 , 1) et il faut trouver le couple suivant ( (a+b)/2 , 4/(a+b) ) … (a+b)/2 = 3/2. L’inverse de 2 est 30, donc (a+b)/2 = 3 x 30 = (car 90=1x60+30). Il faut trouver maintenant 2 / 1.30, ou encore l’inverse de La table des inverses dit que l’inverse de 1.30 est … L’inverse de est 40. Donc 2 / 1.30 = 2 x 40 = (car 80=1x60+20). On a : ( 2 , 1 )  (1.30 , 1.20) Cherchons le couple suivant: (a+b)/2 = 2.50 / 2 = 2.50 x 30 = (0.50x30 = 1500 = 25x60 = et 30x2.00 = 60 = 1x60+00 = soit ) Il faut trouver maintenant 2 / 1.25, ou encore l’inverse de Mais la table des inverses ne donne pas l’inverse de 1.25… Il faut se coltiner la division avec la table des 1.25

27 Algorithme de Babylone - Calcul de 2 / 1.25
La division ne se finit pas. On garde juste l’arrondi 1.25 1 . 24 1 25

28 Algorithme de Babylone - Calcul des approximation de racine de 2
On avait : ( 2 , 1 )  (1.30 , 1.20) (a+b)/2 = 2.50 / 2 = 2.50 x 30 = et 2 / 1.25 arrondit à Donc ( 2 , 1 )  (1.30 , 1.20)  (1.25 , ) Couple suivant: (a+b)/2 = ( )/2 = / 2  qu’on arrondit à Il faut calculer 2 / car on ne connaît pas l’inverse de et donc construire la table de …

29 Algorithme de Babylone - Calcul de 2 / 1.24.51.10
1 . 24 1 La division ne se finit pas. On garde juste l’arrondi

30 Algorithme de Babylone - Calcul des approximation de racine de 2
( 2 , 1 )  (1.30 , 1.20)  (1.25 , ) (a+b)/2 est arrondi à / est arrondi à ( 2 , 1 )  (1.30 , 1.20)  (1.25 , )  ( , ) On peut prendre comme approximation de la racine carrée de 2. La tablette utilisait justement

31 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – Ecriture moderne
( x ; y )  ( (x+y)/2 , 2A/(x+y) ) Initialisation: ( 1 ; A ) Arrêt quand Abs(y-x) < epsilon Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme

32 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme

33 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme

34 donc on entre dans la boucle
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme ABS(y-x) = 1 > e donc on entre dans la boucle

35 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 3/2 (x+y) / 2 = 3/2 → x

36 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 3/2 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 4/3 A / x = 2/(3/2) = 4/3 → y

37 donc on entre dans la boucle
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3/2 8/3 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme ABS(y-x) = 1/6  0,16 > e donc on entre dans la boucle

38 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 3/2 4/3 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 17/12 (x+y) / 2 = 17/12 → x

39 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 3/2 4/3 17/12 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 24/17 A / x = 2/(17/12) = 24/17 → y

40 donc on entre dans la boucle
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3/2 4/3 17/12 24/17 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme ABS(y-x) = 1/204  0,005 > e donc on entre dans la boucle

41 (x+y) / 2 = (17²+12*24)/(2*12*17) = 577 / 408 → x
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 17/12 24/17 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 577 / 408 (x+y) / 2 = (17²+12*24)/(2*12*17) = 577 / 408 → x

42 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner
x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 577 / 408 24/17 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme 816 / 577 A / x = 2 / (577 / 408) = 816 / 577 → y

43 donc on sort de la boucle
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 577 / 408 816 / 577 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme ABS(y-x) = 1/  < e donc on sort de la boucle

44 La racine carrée de 2 est entre:
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 577 / 408 816 / 577 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme La racine carrée de 2 est entre: 816 / 577 ( 1, ) et / 408 ( 1, )

45 La racine carrée de 2 est entre:
Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – On le fait fonctionner e A x y 0,001 2 1 3 / 2 4 / 3 17 / 12 24 / 17 577 / 408 816 / 577 Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme La racine carrée de 2 est entre: 816 / 577 ( 1, ) et / 408 ( 1, ) Racine de 2  1,414213

46 Algorithme de Babylone – Calcul d’un encadrement de la racine carrée de A – Réalisation sur Algobox
Variables : x est un nombre réel y est un nombre réel A est un nombre réel e est un nombre réel Début algorithme Lire A Lire e 1 → x A → y Tant que Abs(y-x) > e (x+y) / 2 → x A / x → y Fin de Tant que Afficher x et y Fin algorithme

47 Fin de la 1ère partie