La loi des sinus A B C c b a a sin A b sin B c sin C = Remarque :

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1 La loi des sinus A B C c b a a sin A b sin B c sin C = Remarque :
Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

2 A B C Construisons un triangle quelconque et nommons-le ABC. h D Dans le triangle ABC : c a - posons b pour représenter le côté en face de l’angle B; - posons c pour représenter le côté en face de l’angle C; - posons a pour représenter le côté en face de l’angle A. b Traçons la hauteur BD (h). Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle BDA et le triangle BDC. sin A = h c Dans le triangle BDA, on a : Isolons h : c sin A = h sin C = h a Dans le triangle BDC, on a : Isolons h : a sin C = h En utilisant le méthode de comparaison, on obtient : a sin C = c sin A Divisons les deux membres de l'équation par sin A sin C et simplifions. a sin C sin A sin C c sin A sin A sin C = a sin A c sin C =

3 a A B C c b Maintenant, traçons la hauteur AE (k). k E Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle AEB et le triangle AEC. sin B = k c Dans le triangle AEB, on a : Isolons k : c sin B = k sin C = k b Dans le triangle AEC, on a : Isolons k : b sin C = k En utilisant le méthode de comparaison, on obtient : b sin C = c sin B Divisons les deux membres de l'équation par sin B sin C et simplifions. b sin C = sin B sin C c sin B b sin B c sin C = Si a sin A c sin C = et que b sin B c sin C = a sin A c sin C = b sin B alors

4 La loi des sinus s'utilise quand les trois conditions ci-dessous sont réunies :
- la mesure d’un angle; - la mesure du côté opposé à cet angle; - la mesure d’un autre élément du triangle. A B C a Remarque Pour établir la proportion, on associe l’angle avec le côté qui lui fait face.

5 Détermine la mesure de l’angle B. x
Exemples A B C 5 m 4 m 760 Détermine la mesure de l’angle B. x Remarque On utilise seulement une partie de la relation en fonction de l’information fournie; ainsi, la proportion sélectionnée sert d’outil de travail. b sin B c sin C = 4 sin B 5 sin 760 = 5 0,9702 ≈ 4 sin B sin B  0,7762 alors sin-1 0,7762  50,90 4 X 0,9702 ≈ 5 X sin B m  B  510 sin B 5 4 X 0,9702 ≈

6 On pourrait aussi procéder ainsi :
B C 5 m 4 m 760 x On pourrait aussi procéder ainsi : 2 ) sin B sin C = m AC m AB m AB = m AC X sin C sin B = 4 X sin 760 5 sin B Avec la calculatrice : 4 sin760 ÷ 5  0,7762 Alors, sin-1 0,7762  50,90 m  B  510

7  4,1 = 510 A B C 5 m 4 m 760 Détermine la mesure du coté BC.
1 ) m  A = 530 La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800. 530 2 ) sin A sin B = m BC m AC sin 530 4 sin 510 = m BC 0,7986 4 X 0,7771 = m BC 0,7986 4  0,7771 m BC  4,1 X 0,7771  4 X 0,7986 m BC m BC  4,1 m

8  4,1 Détermine la mesure du coté BC. 510 A B C 5 m 4 m 760
1 ) m  A = 530 La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = On pourrait aussi procéder ainsi : 530 2 ) sin A sin B = m BC m AC m BC = m AC X sin A sin B m BC = 4 X sin 530 sin 510 Avec la calculatrice : 4 sin 530 ÷ sin 510  4,1 m BC  4,1 m

9 400 D F E 85,5 125 Détermine la mesure de l’angle F. 85,5 sin 400 125 sin F = m FE sin D m DE sin F = ? 125 sin 400 85,5 = 125 X 0,6428 85,5 ≈ sin F = 0, 9398 sin F = 0,9398 sin-1 0,9398 ≈ 700 m F ≈ 700 L’angle F ne peut pas mesurer 700, car l’angle F est un angle obtus. Il faut prendre son supplément soit 1100. La calculatrice répond à la règle suivante : sin θ = sin (1800 – θ) Alors, regarde attentivement la sorte de triangle avant de répondre.