Combinatoire, Informatique et Physique des liens anciens et étroits Quels langages communs ? Gérard H. E. Duchamp Séminaire du Laboratoire de Mathématiques.

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1 Combinatoire, Informatique et Physique des liens anciens et étroits Quels langages communs ? Gérard H. E. Duchamp Séminaire du Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre Jeudi neuf Mars 2006

2 Mathematics AbstractApplied Physics Computer Science Electronics Mechatronics Adaptronics Artificial Intelligence Chaos Theory Continuous & Discrete Modelisation Business Banking Decision Making Complex Systems Complexity Computation Techniques Image Processing

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6 Mathématiques InformatiquePhysique Non commutatif Mots Produits d’opérateurs Représentations Automates Structures de Transition Champs, Flots, Systèmes Dynamiques Formules, Algèbre Universelle Arbres avec Opérateurs Diagrammes Déformations q-analogues Groupes quantiques C o m b i n a t o i r e

7 Langages Théorie des codes Automates Structures de transition Grammaires Transducteurs Expressions rationnelles et algébriques … Polyominos Chemins (Dycks,…) Configurations q-grammaires Séries génératrices Fractions continues multivariées Polynômes orthogonaux … C o m b i n a t o i r e … des mots algébrique énumérative analytique Fractions continues non commutatives Représentations des groupes et déformations Groupes quantiques Foncteurs combinatoires Caractères Fonctions spéciales … Et, depuis peu

8 L a C o m b i n a t o i r e D y n a m i q u e Voir à la fin

9 20 villes. À chaque carrefour le voyageur peut tourner à droite (D) ou à gauche (G)

10 D 5 = G 5 = 1DG 3 D = G 2 de même … GD 3 G = D 2 DG 2 D = GDG de même … GD 2 G = DGD

11 D 5 = G 5 = 1 DG 3 D = G 2 GD 3 G = D 2 DG 2 D = GDG GD 2 G = DGD Trois questions importantes : Q1) Cette liste est-elle suffisante ? (Expérience de pensée des deux pièces) Q2) Peut-on la réduire ? (relations déduites) (voir diapo suivante) Q3) Peut-on décider de l’égalité de deux chemins ?

12 Exemple de déduction à l’aide des relations données : le voyage équatorial DG DG DG DG DG = 1

13 Ici le nombre de mots par longueur est Long. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ac=ca 3 8 21 55 144 377 987 2584 6765 17711 ac  ca 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

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15 e

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17 Exemple avec  = a + a a + a a + où a a + = a + a + 1 a + a a + a a +

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20 a + aa + aa + = 1 a + a + a + aa + 3 a + a + a + 1 a +

21 Chemins de Dyck (parenthésages, arbres, physique, …) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) )

22 Equation : D = vide + (D) D … on compte les «mots» avec un « x » par parenthèse et on trouve T(x)=x 0 + x 2 T 2 (x) ce qui se résout par la méthode usuelle … x 2 T 2 –T+1=0 Variable : T Paramètre : x

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24 Changement de niveau en physique Positifs = D(aD) * 2 0 1

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26 Automates et rationalité

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28 New ! C o m b i n a t o i r e D y n a m i q u e Automates (à multiplicités et systèmes complexes) GIS : triangulations de Delaunay et cohérence Graphe de Young et probabilités Structures complémentaires (monoïde, Hopf)

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32 Weight 4

33 Diagrams of (total) weight 5 Weight=number of lines

34 Mathématiques Informatique Physique Non commutatif Mots Produits d’opérateurs Représentations Automates Structures de Transition Champs, Flots, Systèmes Dynamiques Formules, Algèbre Universelle Arbres avec Opérateurs Diagrammes Déformations q-analogues Groupes quantiques C o m b i n a t o i r e Conclusion