Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale

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1 Cours 7 Problèmes d’ordre 2 en temps : Analyse modale
Domaines d’application Calcul des modes propres et fréquences propres Application Décomposition modale Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

2 Intérêts « industriels »
Vibration - acoustique Protection séisme Ouvrage génie civil «Tacoma narrows bridge  » Couplage fluide-structure … Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

3 Deux approches possibles …
Approche modale : domaine fréquentiel Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés Acoustique Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel Crash-tests Dynamiques rapides (choc …) Analyse de transitoire (démarrage moteur …) Propagations d’ondes (airbag …) Approche qualitative ! Approche quantitative ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

4 Problèmes de dynamiques
La forme générale d’un système d’équations au 2ème ordre en temps s’écrit : Avec : [M ] : matrice globale de masse [C ] : matrice globale d’amortissement ( =[0] en NF04 !) [K ] : matrice globale de rigidité (voir précédents cours de NF04) {F } : vecteur global des sollicitations (idem) Particularités de l’analyse modale : On considère toujours {F } = {0} ! Analyse modale = approche qualitative : conditions aux limites inutiles ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

5 Application : système à 2 masses et 2 ressorts
Modèle physique : Equations du mouvement : Modèle discret : X (m) U1(t) U2(t) k1 k2 m2 m1 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

6 Application : cas d’une barre élastique
Maillage : deux éléments finis linéaires Forme forte : Forme faible : X (m) 1 2 3 F(t) E : module de Young [N/m2] r : masse volumique [kg/m3] A : section [m2] u(x,t) : déplacement [m] Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

7 Modèle éléments finis Matrices élémentaires : telles que : avec :
Assemblage : (L(1) = L(2) = Le) Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes . Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

8 Analyse modale Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés Méthode : calcul de valeurs et de vecteurs propres associés « Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K] Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

9 Ecriture d’un problème aux valeurs propres
Forme générale « temporelle » : On pose une solution de la forme : Ce qui conduit à : Ecriture générale d’un problème au valeur propre ! (au sens mécanique du terme) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

10 Calcul des valeurs propres
Le calcul des valeurs propres s’obtient par la recherche des solutions non triviales de : soit à vérifier : Sur le plan pratique (Matlab) : >> [V, D]=eig(vkg,vmg) Matrice de rigidité Matrice de masse Matrice diagonale des valeurs propre Matrice des vecteurs propre Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

11 Application : système 2 masses et 2 ressorts
Simplifications : m1=m2=m, k1=k2=k Soient : Equation caractéristique : Calcul des racines : Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

12 Interprétations graphiques
VALEURS PROPRES : VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE 1 1.62 -0.62 Mode 1 Mode 2 Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

13 Propriétés d’orthogonalisation des vecteurs
Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de : Cette condition stipule que l’inverse de la matrice n’est pas unique ! Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions d’orthogonalisation : Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils … M-orthonormalisation K-orthogonalisation Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

14 Application : décomposition modale (1)
Idée : utiliser les propriétés d’orthogonalisation des vecteurs propres pour diagonaliser le système couplé : Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme. On note la base des vecteurs propres : On applique le changement de variables : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

15 Application : décomposition modale (2)
Injection des formes dans le système d’équations : Multiplication « par la gauche » par [X ]T : Pour aboutir à N équation différentielles « scalaires découplées » : Résolution classique ! Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que : Coefficients de participation modale des efforts Quels modes sont sollicités ? Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC