Alain Franc(1) & Nathalie Peyrard(2) (1) INRA, UMR BioGEco, Bordeaux

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1 Géométrie des réseaux d’interactions : rôle en écologie et épidémiologie
Alain Franc(1) & Nathalie Peyrard(2) (1) INRA, UMR BioGEco, Bordeaux (2) INRA, Biométrie Avignon, France Avignon, mai 2006

2 Plan I. Contexte Epidémiologie sur un graphe Métapopulations
Espèces invasives II. « Interacting particle models » sur un graphe : vers des modèles simples, et accessibles III. Quelques explorations durant le régime transitoire

3 Contexte : Epidémiologie sur un graphe, Métapopulations, Espèces invasives

4 Principaux types de modèles spatio-temporels

5 Principaux types de modèles spatio-temporels

6 Graphe : un outil mathématique

7 Graphes

8 Exemple

9 Metalife !

10 Trois exemples Métapopulations: Patches Flux de graînes entre patch
Epidémiologie: Hôtes Flux de parasites entre hôtes Espèces invasives Patches de végétation résidente Invasion par des espèces exotiques

11 Cadre géométrique commun
Patches : Dynamique résidente Croissance des plantes Dynamique de la végétation Cycle de vie de l’hôte Flux : Flux d’information Perturbation de la entre patch dynamique résidente

12 Processus de contact

13 Géometrie et processus locaux
Processus de contact Modèles «  interacting particle models » plus généraux

14 Processus de contact sur un graphe

15 Approximation « champ moyen »

16 Métapopulations, Epidémiologie, Modèles « champ moyen »

17 Ecarts au champ moyen

18 Rupture Champ Moyen

19 Quelques caractéristiques d’un graphe
Distribution des degrés Coefficient d’agrégation Diamètre PC sur un graphe Géométrie du graphe Processus

20 Modèles « Interacting particles » vers des modèles moins simples mais tjs accessibles

21 Modèles « SIR »  S I R

22 Interactions entre une plante et un parasite fongique
Connaissances biologiques de ces interactions Une diversité d’interactions et de filtres - gène pour gène : réaction hypersensible - résistance partielle : protège de l’infection en limite les effets - tolérance : réduit ou élimine les effets de l’infection voir Jokela, Schmid-Hempel & Rigby, Oïkos, 2000 Roy & Kirchiner, Evolution, 2000 Segarra, Phytopath., 2005

23 Modèle pour l’hyperparasitisme

24 Communautés de parasites
b c

25 Towards closed forms?

26 Elimination du paramètre à l’équilibre

27 Forme « fermée » à l’équilibre
Champ moyen Approximation par paires

28 Ajustement de la « forme fermée » (k.x avec r)

29 Ajustement de la « forme fermée » (k.x avec r)
Champ moyen Paires Ajustement

30 Question à 1 000 € Est-ce que la forme fermée
fonctionne aussi en régime transitoire ?

31 Question plus générale
Comment fermer le systèmes durant le régime transitoire ? Différentes fermetures type MF, PA, Bethe, etc …. Extrapoler la fermeture empirique à l’équilibre Trajectoire rectiligne dans le plan (ρ,ξ)

32 Fermeture par trajectoire rectiligne
On connaît l’état de départ le paramètre b On calcule (ρ0, ξ0) On calcule l’état d’équilibre (ρ*, ξ*) par la fermeture empirique On « ferme » le régime transitoire par l’hypothèse que la trajectoire dans le plan (ρ,ξ) est une droite

33 En équation …

34 Ligne droite Equilibre

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42 Questions à étudier 1. Mieux comprendre la transition ligne droite → forme fermée 2. Quelle équation de la forme fermée ? ici, polynôme empirique 4ème degré loi allométrique de puissance ? 3. Quel comportement sur un réseau 2D ? sur un graphe non régulier ?

43 Pourquoi ça marche à peu près ?

44 Remerciements Mercedes Pascual Marie-Laure Desprez-Loustau
Cécile Robin