Traité du triangle arithmétique (1665) 1 1 1 2 1 1 ?

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2 Traité du triangle arithmétique (1665)

3 1 1 1 2 1 1 ?

4 1 1 1 2 1 1 +

5 1 1 1 2 1 1 3 ?

6 1 1 1 2 1 1 3 +

7 1 1 1 2 1 1 33 1

8 1 1 1 2 1 1 33 1 1 +

9 1 1 1 2 1 1 33 1 1 4 +

10 1 1 1 2 1 1 33 1 1 46 +

11 1 1 1 2 1 1 33 1 1 4641

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13

14

15 120

16

17 1140

18 2 4 8 16

19 La somme des entrées de la n - ième ligne est 2 n.

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22 n! = n(n  1) (n  2) … 2.1 0! = 1

23 C = p-ième entrée de la n-ième ligne p n

24 p C n = n! p! (n  p)!

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26 Formule du binôme Exemple : (1 + x) 2 = 1 + 2 x + x 2

27 Niccolò Tartaglia (1499-1557)

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29 « Avertissement On peut tirer de là d’autres proportions que je supprime, parce chacun les peut facilement conclure, et que ceux qui s’y voudront attacher en trouveront peut-être de plus belles que celles que je pourrais donner. »

30 La somme des carrés des entrées de la n-ième ligne est égale à la n-ième entrée de la ligne 2n.

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32 Preuve

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41 Fractal de Sierpinski

42 Théorème (A. Granville, O. Ramaré) Si n ≥ 5 le nombre C n est divisible par un carré. 2n

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45 Problème : Montrer que b(n) est petit

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47 Un nombre entier est dit premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.

48 Exemples : 4, 6, 8, 10, 12 ne sont pas premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13 sont des nombres premiers

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50 Théorème (A. Granville) : b(n) = 1 si et seulement si n est une puissance d’un nombre premier : n = p k.

51 b(n)  1 est le plus petit entier de la forme n  p x p x p x … x p, où p est un nombre premier (A. Granville)

52 Théorème (R. Barker, G. Harman, J. Pintz) Il existe une constante C > 0 telle que, quel que soit x > 1, il existe un nombre premier entre x et x  C x 0,525.

53 Corollaire :

54 Fonction zêta de Riemann

55 Hypothèse de Riemann

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57 Si l’hypothèse de Riemann est vraie :

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59 (Erdös)