Annexe Concepts mathématiques utilisés dans le cours.

Présentation au sujet: "Annexe Concepts mathématiques utilisés dans le cours."— Transcription de la présentation:

1 Annexe Concepts mathématiques utilisés dans le cours

2 Les pré-requis en mathématiques -le calcul différentiel, -les fonctions logarithmique et exponentielle, -les intérêts composés -l’optimisation.

3 Le calcul différentiel : La dérivée d’une fonction f(x) par rapport à x montre comment f(.) varie lorsque x se modifie de façon infinitésimale. Si f(.) augmente lorsque x s’accroît, la dérivée est positive : Si f(.) diminue lorsque x s’accroît, la dérivée est négative :

4 Notations pour les variables temporelles En mathématiques, la dérivée par rapport à la variable temps est notée de plusieurs façons :

5 Quelques précisions ! Attention : Pourquoi ?Parce que DK est une variation instantanée plutôt qu’une variation sur un an. Plus la durée de la période se réduit, plus l’expression K[t]-K[t-1] tend vers la variation instantanée.

6 Interprétation graphique : 1 f’(x) x f(x)

7 La fonction logarithmique simple : 1 x Ln(x) x 1/x

8 La fonction logarithmique composée : Imaginez que U est une fonction du temps U[t] alors si on écrit : Ln[U[t]] la dérivée par rapport au temps est : Donc, en prenant le logarithme d’une fonction qui dépend du temps puis en dérivant par rapport au temps on obtient (miracle) le taux de croissance de la variable.

9 Résultat important pour la croissance : A chaque fois que vous rencontrez une expression du type DX/X dites vous bien qu’il s’agit d’un pourcentage de variation donc d’un taux de croissance. Si par exemple DK/K = 0.05, le taux de croissance du capital est de 5%.

10 Rappels de calcul logarithmique : Exemple : Donc :

11 La fonction exponentielle simple : 1 x Exp(x)

12 La fonction exponentielle composée :

13 Les intérêts composés en temps discret : Si une somme S(0) croît à un taux annuel de i% alors au bout de t périodes cette somme sera : On peut également écrire : S(0) est la valeur actualisée à la date 0 d’une somme S(t) à la date t.

14 Les intérêts composés en temps continu : Si une somme S(0) croît à un taux de i% alors au bout de t périodes cette somme sera : On peut également écrire :

15 Principes d’optimisation 1 Si problème est : La solution consiste à trouver x tel que : Mais attention il peut s’agir d’un minimum ou d’un maximum local :

16 Principes d’optimisation 2 Si problème est : La solution consiste à trouver x et y tels que : Mais attention, là aussi il peut s’agir d’un minimum ou d’un maximum local.

17 Principes d’optimisation 3 Si problème est : La solution consiste à trouver x et y et solutions du problème équivalent : Mais attention, là aussi il peut s’agir d’un minimum ou d’un maximum local.

18 Principes d’optimisation 4 Il existe des problèmes d’optimisation dynamique. La résolution est complexe, nous en verrons le principe le moment venu !

19 Bibliographie Gaffard, J.-L. (1997), Croissance et fluctuations économiques, Montchrestien, Paris. Jones, C. I. (1998), Introduction to Economic Growth, W.W. Norton, New York. Gellec & Ralle (1995), Les nouvelles théories de la croissance, édition la découverte

20 Maintenant on peut étudier la croissance économique