Théorie de lagrégation Principaux résultats. Plan Contexte Définitions Résultats (+ exemples) Possibilités et limites Perspectives Discussion.

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1 Théorie de lagrégation Principaux résultats

2 Plan Contexte Définitions Résultats (+ exemples) Possibilités et limites Perspectives Discussion

3 I. Contexte

4 Historique Economie (Ijiri, 1971) Conservation des flux (ONeill & Rust, 79) Ecologie (Luckyanov, 81) Contrôle optimal (Sinha & Kuszta, 83)

5 Quelques exemples Echelles spatiales différentes Echelles temporelles différentes Sous-groupes écosystème ~découplés

6 Exemple x1x1 x2x2 a I1I1 I2I2 d x 1 +x 2 I 1 +I 2 k Conditions dagrégation parfaite : - a = d - x 1 (0)=x 1 ( ) ou x 2 (0)=x 2 ( )

7 II. Définitions

8 Agrégation X = (X 1, …,X n ) Y = (Y 1, …, Y m ) =(g 1 (X 1,…,X n ),…,g m (X 1,…X n )) m<n X Y f(X) F(Y) f F g g ? ~

9 Exemples Système différentiel : f(X)=dX/dt F(Y)=dY/dt Système dynamique : f(X(0))=X(t) F(Y(0))=Y(t)

10 Agrégation parfaite, F(Y)=F(g(X)) = (f(X)) ?

11 III. Résultats

12 Cas linéaire Modèle linéaire : –Y=g(X) =BX ; –X=f(X)=AX ; –Y= F(Y)= DY = BAX ?

13 Théorème A M n P m (A T ), B={P m (i), i I} M m,n transformation linéaire agrégative (système ordre n système ordre m)

14 Séparabilité linéaire Définition : (x 1,..,x p )->y 1 Théorème : possible sil existe des colonnes linéairement dépendants, de A.

15 Algor. de séparabilité linéaire Trouver la matrice la plus proche qui permette lagrégation parfaite Calcul itératif

16 Cas non linéaire f, g quelconques (non linéaires) dérivables Même principe Théorème –B jk = g j / X k ; A jk = [ l B jl f l ] / x k –C jl= F j / Y l ; – agrégation parfaite ssi AB + B=A X –Si (deg(B)=m) ! C=AB +

17 Agrégation approchée h j (X)= i ( g j / X i )f i (X) U ={X, ||g(X)-Y||< } = ||F(g(X))-F m || 2 w(X)dX / ||h(X)-h m || 2 w(X)dX F(Y) = lim 0 U h(X)w(X)dX / U w(X)dX

18 Schéma x1x1 x2x2 h(X) F(Y) Y=g(X) X0X0 F(g(X 0 ))

19 Agrégation approchée : erreur = || dY/dt(X) agreg -dY/dt(X) micro || 2 w(X)dX = || Y (t) agreg -Y (t) micro || 2 w(X 0 )dX 0 = || agreg - micro || 2 w(X 0 )dX 0 = || Y (t) agreg -Y (t) micro || 2 p(t)dt w(X 0 ) dX 0

20 Espace des phases V 1 ( 0) =(X(0),X(0)) 1 V 2 (0) V 3 (0) V 4 (0) V 5 (0) V 1 (10) V 2 (10) V 3 (10) V 4 (10) V 5 (10) V 1 (15)

21 Agrégation Approchée : limites ~Valable pour le voisinage défini par la fonction de pondération Peut modifier : –les points déquilibre –la stabilité des points déquilibre

22 Ajout dun paramètre dY/dt=F(Y(t),a) But : –imposer les points déquilibre –leur stabilité

23 Systèmes stochastiques dXi=fi(X)dt+ k=1..p g ik (X)dW k A (k) B + B= A (k) C (k) =A (k) B +

24 IV. Perspectives

25 Avantages Cadre rigoureux Minimisation de lerreur suivant un critère choisi

26 Limites Dans quel cadre peut-il sappliquer ? Contraintes (limites de loutil mathématique)

27 Prolongements possibles Développer la partie mathématique Autres domaines ? Approche algorithmique ?

28 Références bibliographiques LUCKYANOV, N.K. (1984). Linear aggregation and separability of models in ecology. Ecological Modelling, 21(1-2):1-12. ONEILL, R.V. & RUST, B. (1979). Aggregation error in ecological models. Ecological Modelling, 7(2):91-105. IWASA, Y., ANDREASEN, V. & LEVIN, S. A. (1987) Aggregation in model ecosystems :I.Perfect aggregation. Ecological Modelling, 37(3-4):287-302. IWASA, Y., LEVIN S. A. & ANDREASEN, V. (1989). Aggregation in model ecosystems : II. Approximate aggregation. IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology, 6:1-23. GARD, T.C. (1988). Aggregation in stochastic ecosystem models. Ecological Modelling, 44(1-2):153-164. N. Picard, Passage dun modèle individuel à un modèle de distribution de la dynamique forestière. Application à une forêt dense tropicale humide de Guyane française. Mémoire de thèse, 1999.

29 V. Discussion