La dynamique locale des écoulements fluides parfaits

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1 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits

2 Définition : Un fluide parfait est un modèle dans lequel le fluide ne subit pas de force de cisaillement ou de force de viscosité

3 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
I) L’équation d’Euler 1) Expression de l’équation

4 Photo à l’instant t P O x y z (R) rM M dm = (M,t).d A l’instant t, les points M et P coïncident : a(M,t) = aP(t)

5 L’équation d’Euler En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

6 L’équation d’Euler En M, à la date t, dans le référentiel R’ non galiléen :

7 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
I) L’équation d’Euler 1) Expression de l’équation 2) Conséquences a) Le champ du vecteur tourbillon

8 Théorème de Lagrange Dans un champ de forces volumiques conservatif, comme le champ de pesanteur, un écoulement parfait, incompressible et homogène, qui est irrotationnel à un instant t0 reste irrotationnel ultérieurement, t > t0.

9 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
I) L’équation d’Euler 1) Expression de l’équation 2) Conséquences a) Le champ du vecteur tourbillon b) Écoulement horizontal

10 Le long de l’axe z, la pression suit la loi de la statique
v(M,t) = v(x,t).ux g v1 v2 O x z (R) Le long de l’axe z, la pression suit la loi de la statique

11 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
I) L’équation d’Euler 1) Expression de l’équation 2) Conséquences 3) Solution d’un problème

12 Fluide en mouvement O v, P v0 P0

13 vt,fluide est quelconque
Conditions aux limites au niveau d’une paroi Obstacle Fluide ambiant n t  M Fluide parfait : n.vfluide = n.vparoi ; vt,fluide est quelconque Fluide réel : vfluide = vparoi

14 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait

15 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait 1) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel

16 Théorème de Bernoulli En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

17 Théorème de Bernoulli L’écoulement est stationnaire : Dans le champ de pesanteur uniforme, la densité massique de force s’écrit : g = – grad(g.z) L’écoulement est incompressible et homogène :  est constant et uniforme

18 Théorème de Bernoulli Pour deux points A et B quelconques appartenant à la même ligne de courant d’un écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel :

19 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait 1) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel 2) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et irrotationnel

20 Théorème de Bernoulli En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

21 Théorème de Bernoulli L’écoulement est stationnaire : Dans le champ de pesanteur uniforme, la densité massique de force s’écrit : g = – grad(g.z) L’écoulement est incompressible et homogène :  est constant et uniforme L’écoulement est irrotationnel : rotv = 0

22 Théorème de Bernoulli L’équation d’Euler devient : En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

23 Théorème de Bernoulli Pour un écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et irrotationnel en tout point M du fluide

24 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli

25 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi a) Le phénomène Venturi

26 S1 > S2 ; v1 < v2 ; P1 > P2
Le phénomène Venturi S1 1 P1 A1 v1 S2 2 P2 A2 v2 ux S1 > S2 ; v1 < v2 ; P1 > P2

27 Le phénomène Venturi L’effet Venturi est l’apparition d’une dépression dans une région où les lignes de courant se resserrent

28 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi a) Le phénomène Venturi b) Mise en évidence et applications

29 La balle de ping – pong Aspiration de la balle P2 < P1
F P1 P2 Resserrement des lignes de courant P2 < P1  Aspiration de la balle

30 Le brumisateur P1 P2 P2 < P1  Aspiration du liquide

31 L’aile d’avion P2 < P1  Extrados Intrados P1 P2 Portance

32 Resserrement au niveau du toit
La toiture Maison P1 P2 F F’ P2 < P1 Resserrement au niveau du toit

33 La pompe à vide Aspiration P1 P2 Tube B P1 > P2
le rétrécissement donne naissance à une dépression qui permet l’aspiration du fluide dans le tube B

34 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi 2) Le tube de Pitot

35 Le tube de Pitot A B Ecoulement h

36 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi 2) Le tube de Pitot 3) Vidange d’un réservoir a) Vitesse d’éjection

37 Vidange d’un réservoir
Liquide O x z h zA B A S g s P0 zB

38 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi 2) Le tube de Pitot 3) Vidange d’un réservoir a) Vitesse d’éjection b) Temps de vidange

39 Vidange d’un réservoir
Liquide O x z h zA B A S g s P0 zB

40 La dynamique locale des écoulements fluides parfaits
III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi 2) Le tube de Pitot 3) Vidange d’un réservoir 4) L’effet Magnus

41 v0 Obstacle Portance Traînée

42  A B C O F V0 Fluide en mouvement Cylindre en rotation

43 L’effet Magnus Si  > 0, la balle est coupée, la portance est augmentée ; si  < 0, la balle est liftée, la portance est réduite.

44 Fluide en mouvement V0 F  Balle coupée F  Balle liftée