Exemples = 15+6 = 21 Soit = 21 / gcd(14,21) = 3. Exemples = 5+6 = 11 Soit = 11 / gcd(11,11) = 1.

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1 Exemples = 15+6 = 21 Soit = 21 / gcd(14,21) = 3

2 Exemples = 5+6 = 11 Soit = 11 / gcd(11,11) = 1

3 Applications Quasi-Affines Definition : Un pavé dordre 2 est lensemble des points dont limage par lAQA appartient au pavé dordre 1 pour lindice i,j Il y a 2 pavés distincts à lordre 2

4 Exemples = 1+1 = 2 Soit = 2 / gcd(2,3) = 2 4 paves à lordre 2

5 Exemples = 1+1 = 2 Soit = 2 / gcd(2,3) = 2 8 pavés différents à lordre 3

6 Exemples Ordre 1 Ordre 2 Ordre 3 Ordre 4 Ordre 5 Ordre 7

7 Applications Quasi-Affines Definition : application contractante Une application affine est dite contractante pour une constante de Lipschitz s<1 pour tout vecteur x,y nous avons ||f(x)-f(y)|| <s||x-y|| avec ||.|| la norme Euclidienne. Théorème: une application affine f qui est contractante a un unique point fixe tel que f( )=

8 Applications Quasi-Affines Propriété : AQA contractante Si lapplication affine associée à une AQA F est strictement contractante alors F est aussi contractante en-dehors de la boule de rayon

9 Dynamique Trajectoire du point (10,0) La dynamique de lAQA est définie par la suite X n = F(X n-1 )

10 Dynamique Bassin attracteur : un bassin attracteur dun cycle limite est la réunion de tous les arbres attachés au cycle. Z 2 est décomposée en bassin dattracteur

11 Dynamique Cycle Limite : une suite {P n } de longeur n telle que F(P i )=P i+1 pour i<n, et F(P n )=P 1 Racine : un point dun cycle limite. Une racine non triviale est reliée à un arbre non limitée à sa racine. Arbre : Pour une racine R appartenant à un cycle limite C, un arbre est lensemble des points P pour lequel il exist n>0 tel que F n (P)=R et F n-1 (P) C.

12 Dynamique Point fixe : Un point fixe pour une AQA P est un 1-cycle Arbre isolé : Arbre dun point fixe Cycle isolé : Un cycle limite avec des racines toutes triviales. Feuille : point P tel que F -1 (P) =

13 Dynamique a 1 unique point fixe : (0,0) Pas dautres cycle limite. a 2 points fixes : (0,0) et (0,-1) Pas dautres cycles limites. a 5 points fixes : (0,0);(-1,-1);(0,-1);(1,-1);(0,-2)

14 Dynamique a 32768 points fixes. a 1043 3-cycles et lorigine comme point fixe

15 Dynamique

16 Autour de lorigine il y a un 3-cycle, 5-cycle, 7-cycle, 11 –cycle, 15-cycle, …

17 Dynamique Seulement 1 seul bassin attracteur infini. La couleur représente la distance à lorigine qui est lunique point fixe.

18 Dynamique Quatre bassins attracteurs infinis

19 Dynamique La couleur donne la distance au point fixe

20 A propos des Aqas - Les AQAs donnent une idée de la dynamique de certains calculs en informatique. - Les AQAs permettent de construire des transformations avec certaines propriétés (rotations bijectives par exemple). - Les AQAs sont liées aux systèmes de numérations. - Les AQAs permettent de construire des pavages. - Les AQAs sont liées aux intersections de droites discrètes.

21 Exemples d AQA : Rotations discrètes bijectives

22 Rotation discrète classique Rot( ) Problème : perte dinformation

23 Perte dinformation Rotation discrète classique

24 Rotation pythagoricienne with a 2 + b 2 = (b+1) 2 Andres (1992)

25 Rotation pythagoricienne Théorème La rotation pythagoricienne est une transformation discrète bijective Evaluation de la qualité de la rotation : Distance max et min entre un point tourné par les rotations discrètes et continues : Max = 0.707 average = 0.3