Stat-infoCM6a : 1 Rappels.

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2 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 2 Rappels 1.Variables nominales : –Oui / Non –Bleu / Brun / Roux / Noir Pour déterminer s’il y a un lien, on utilise le  2 2.Variables quantitatives : –Notes sur 20 –Performances sportives Pour comparer des moyennes, on utilise les intervalles de confiances (loi normale ou T de student, selon les cas)

3 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 3 Covariance

4 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 4 Problème Y a-t-il un lien entre : Note de français et note de math ? Temps de préparation et performance ? Poids et taille ? Taille et note de math ?

5 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 5 Exemple 1 Note de français et note de math : y a-t-il un lien ?

6 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 6 Exemple 1 Note de français et note de math : y a-t-il un lien ?

7 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 7 Exemple 1 Note de français et note de math : y a-t-il un lien ?

8 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 8 Exemple 1 Note de français et note de math : y a-t-il un lien ?

9 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 9 Exemple 1 Note de français et note de math : y a-t-il un lien ?

10 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 10 Exemple 2 Taille et note de math : y a-t-il un lien ? TailleMath 17111 18011 1757 1598 19015 18616 1839 17510 1904 1615 1748 1688 1859 17516 18612 16813 1855 1626 10 16310 16514 16115 17610 1716

11 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 11 Exemple 3 Note de techno et note de français : y a-t-il un lien ? TechnoFrançais 119 7 712 810 152 163 914 10 415 514 813 812 911 97 126 138 516 615 108 12 144 153 1011 614

12 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 12 Lien ou pas ? Oui, lien positif bonne note de math = bonne note de français Oui, lien négatif bonne note de math = mauvaise note de techno Non : Taille et note sont indépendants

13 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 13 Intuitivement Lien positif Lien négatif Positif Négatif

14 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 14 Intuitivement Pour chaque point, on va calculer un indice qui –sera positif si le point est dans un quartier positif –sera négatif si le point est dans un quartier positif Ensuite, on fera la moyenne des indices Indice positif Indice négatif

15 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 15 Intuitivement Beaucoup d’indices positifs La moyenne sera positive Beaucoup d’indices négatif La moyenne sera négative

16 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 16 En pratique Moyenne des X Moyenne des Y

17 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 17 En pratique Donc est négatif Donc est positif Donc est négatif Donc est positif

18 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 18 Exemple MathFrançais 45 15 812 13 87 8

19 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 19 Exemple MathFrançais 45 15 812 13 87 8 -2; +2 +5; +5 +2; +3 +3; -2 -2; -3 -6; -5

20 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 20 Exemple MathFrançais 45 15 812 13 87 8 - 2 x 2 = - 4 → ↑ 3 x - 2 = - 6 ← 2 x 3 = 6 - 2 x - 3 = 6 → ↑ - 6 x - 5 = 30 5 x 5 = 25 ↓

21 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 21 Définition La covariance est la moyenne des indices : Cov(X,Y)= Note : la covariance étant un estimateur biaisé, on divise par n-1 et non par n

22 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 22 Exemple MathFrançais 45 15 812 13 87 8 - 2 x 2 = - 4 → ↑ 3 x - 2 = - 6 ← 2 x 3 = 6 - 2 x - 3 = 6 → ↑ - 6 x - 5 = 30 5 x 5 = 25 ↓ 30+6+6+25-4-6=57 Cov(X,Y) = 11,4

23 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 23 En pratique La covariance précise le lien : –Si Cov(X,Y) est grand (en valeur absolu), il y a un lien –Si Cov(X,Y) est négative, le lien est négatif –Si Cov(X,Y) est positif, le lien est positif

24 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 24 Exemple Cov = 18 Cov = -14

25 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 25 Coefficient de corrélation

26 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 26 Problème La covariance dépend de la taille des données : MathFrançais 2025 75 4060 65 4035 6540 MathFrançais 45 15 812 13 87 8 Contrôle noté sur 20 Même contrôle, noté sur 100 Cov = 11,5Cov=285 … Elle dépend aussi de l’unité : poids vs taille ↔ Kg vs cm

27 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 27 Solution Coefficient de corrélation : –C’est une covariance « normé » –Varie entre -1 et 1 –Pas d’unité (ni Kg, ni note sur 20,…)

28 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 28 Propriétés r varie entre -1 et 1 Si |r|=1, le lien entre les variables est parfait Si r>0, le lien est positif Si r<0, le lien est négatif Si r=0, on ne peut rien dire. Exemple :

29 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 29 Exemple MathFrançais 2025 75 4060 65 4035 6540 MathFrançais 45 15 812 13 87 8 Note sur 20 Note sur 100 Cov = 11,4Cov=285  X =4,05  Y =3,90  X =20,25  Y =19,49 r XY =0,72

30 http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM6a : 30 r est-il significatif ? Pour le savoir, on pose Puis on fait un test de Student classique avec N-2 DDL : –Si T Obs > T Th, le r est significativement différent de zéro  Il y a un lien entre les variables –Si T Obs < T Th, le r n’est pas significativement différent de zéro  On ne peut rien conclure