Triangle rectangle Leçon 2 Objectifs :

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1 Triangle rectangle Leçon 2 Objectifs : - Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle. - Caractériser les points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit. - Caractériser le triangle rectangle par le théorème de Pythagore et sa réciproque. Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir des deux autres.

2 I - Cercle circonscrit à un triangle.
a) Définition. Le cercle qui passe par les trois sommets d’un triangle s’appelle : le cercle circonscrit à ce triangle . b) Propriété. Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours de ses médiatrices.

3 II - Cercle circonscrit à un triangle rectangle.
a) Propriété . Si un triangle est rectangle, Alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse (son centre est le milieu de l’hypoténuse) .

4 Exemple : F Données : E G Le triangle EFG est rectangle en F Propriété : Si un triangle est rectangle, Alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse . Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle EFG a : - pour centre le milieu de son hypoténuse [EG], - passe par le point F.

5 b) Réciproque. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un côté du triangle, Alors le triangle est rectangle, et ce diamètre est son hypoténuse.

6 III – Médiane d’un triangle rectangle.
a) Propriété . Si un triangle est rectangle, Alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

7 Exemple : Données : Le triangle EFG est rectangle en F I milieu de [EG], [EG] est l’hypoténuse Propriété : Si un triangle est rectangle, Alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. Conclusion : F E G I

8 b) Réciproque. Si dans un triangle la médiane relative au plus long côté est égale à la moitié de ce côté, Alors ce triangle est un triangle rectangle qui a pour hypoténuse ce côté.

9 IV – Théorème de Pythagore.
a) Propriété . Si un triangle est rectangle, Alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C Le triangle ABC est rectangle en A, [BC] est son hypoténuse. Donc d’après le théorème de Pythagore: BC2 = AB2 + AC2 A B

10 Exemple : K Données : 7 cm Le triangle KLM est rectangle en M [LK] est son hypoténuse. ? cm M Propriété : L 3 cm D’après le théorème de Pythagore : Conclusion : LK2 = MK2 + ML2 LK2 = LK² = LK²= 58 Donc , valeur approchée au dixième près.

11 b) Réciproque. Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le plus grand côté.

12 I Exemple 1 : Données : 4,5 cm 6 cm Soit le triangle IJK tel que : IJ = 6 cm, IK = 4,5 cm et JK = 7,5 cm K J 7,5 cm [JK] est le plus long côté. JK2 = 7,52 = 56,25 IJ2 + IK2 = , = , = 56,25 Propriété : On constate que : JK2 = IJ2 + IK2 Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore : Conclusion : Le triangle IJK est rectangle en I.

13 Exemple 2 : E Données : Soit le triangle EFG tel que : EF = 3 cm, EG = 3,5 cm et FG = 4,5 cm 3,5 cm 3 cm F G 4,5 cm [FG] est le plus long côté. FG2 = 4,52 = 20,25 EF2 + EG2 = , = , = 21,25 Propriété : On constate que : Or, d’après le théorème de Pythagore, si le triangle était rectangle, il y aurait égalité. Conclusion : Comme ce n’est pas le cas, le triangle EFG n’est pas rectangle.

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