Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 1 Comparaison de deux échantillons Principes.

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1 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 1 Comparaison de deux échantillons Principes de base Comparaison des paramètres de deux populations: moyennes, variances et médianes Tests appariés Analyse de puissance

2 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 2 Comparaison entre deux échantillons Le nombre de groupes comparés = 2 on peut comparer plusieurs statistiques de ces groupes: moyennes, variances, médianes, etc… Fréquence Témoin Traitement s2Cs2C s2Ts2T

3 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 3 Un exemple Deux groupes (1, 2) ayant des moyennes qui diffèrent par . Quelle est la probabilité p d’observer une telle différence si les deux moyennes sont égales (H 0 )? Fréquence Groupe 2 Groupe 1

4 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 4 Un exemple (suite) Si H 0 est vraie, la statistique t sera distribuée comme le t de Student: -3-2 012 3 Probabilité (p) t Fréquence Groupe 2 Groupe 1

5 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 5 Un exemple (suite) Pour les deux groupes, supposons que t = 2.01 Quelle est la probabilité d’obtenir un t d’au moins 2.01 si les deux moyennes sont égales (H 0 )? Comme p est faible, il est improbable que H 0 soit vrai. On rejette donc H 0. -3-2 0123 Probabilité t = 2.01 Fréquence Groupe 2 Groupe 1

6 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 6 Comparaisons de 2 échantillons: échantillons indépendants Lorsqu’il n’y a pas de corrélation ou d’appariement entre les observations (sujets) des deux groupes. Ex: Poids à 6 mois de porcelets engraissés en suivant deux régimes différents. Régime

7 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 7 Comparaisons de deux échantillons: échantillons appariés Dans les échantillons appariés, les observations (sujets) dans un groupes forment des paires avec les observations (sujets) de l’autre groupe. Ex: Le poids à six mois de porcelets ayant la même mais soumis à deux régimes différents. Régime Truies

8 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 8 Comparaison de deux échantillons: le groupe contrôle vs groupe traité Deux champs de maïs, un témoin et un fertilisé avec de l’azote. Prédiction biologique: la fertilisation avec l’azote augmente le rendement H 0 :  T   C (unilatéral) Rendement Frequence Témoin Traitement

9 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 9 Comparaison de moyennes: le test de t Calculer la différence entre les deux moyennes H 0 (unilatéral) Calculer t et le p correspondant: Rendement Fréquence Témoin Traitement

10 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 10 Que sont les degrés de liberté? l Le nombre de degrés de liberté est l’effectif moins le nombre de paramètres.

11 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 11 Pourquoi se soucier du nombre de degrés de liberté? La distribution des statistiques dépend du nombre de degrés de liberté. Donc, selon le nombre de degrés de liberté, la même valeur de la statistique peut sera convertie en probabilités différentes. -5-4-3-2012345 t 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 -5-4-3-2012345 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Probabilité 8 dl 1 dl

12 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 12 Comparaison de deux moyennes: le test U de Mann-Whitney On veut comparer le rendement du groupe témoin et du groupe traitement. Chacun des groupe contient 4 champs (ch.) (réplicats) Calculer la somme des rangs (R C, R T ) pour chacun des groupes. H 0 : R C = R T Calculer U et le p correspondant

13 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 13 Comparaison de moyennes: tests paramétriques (P) vs tests non- paramétriques (NP) *si les conditions d’application sont respectées

14 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 14 Indépendance Observations sont souvent dépendantes lorsque corrélées dans le temps ou l’espace. Ex: mesures des éléments nutritifs en amont et en aval d’une source ponctuelle de pollution sur un cours d’eau. Site amont Site aval

15 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 15 Pourquoi insister sur l’indépendance? Si les observations ne sont pas indépendantes, on surestime le nombre de degrés de … … la conversion de la statistique en valeur de p sera biaisée … … et on sousestimera p.

16 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 16 Procédure générale si N >20 pour chaque échantillon tester la normalité tester l’homoscedasticité si les deux échantillons sont distribués normalement et que les variances sont égales, utiliser le test de t (“variance commune”) si les deux échantillons sont distribués normalement mais que les variances sont inégales, utiliser le test approximatif de Welch (“variance séparées”) si un ou les deux échantillons ne sont pas distribués normalement, essayer de transformer les données ou utiliser le test de U de Mann-Whitney.

17 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 17 Procédures générales N<10 pour chaque groupe Utiliser le test de U de Mann-Whitney 10<N<20 pour chaque groupe utiliser 2 tests: test de t (variance commune ou variances séparées) et test de U Mann-Whitney … et espérer que l’inférence est la même!

18 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 18 Comparaison de la taille moyenne des esturgeons de la rivière Saskatchewan Sortie d’un test de t fait avec S-PLUS: Standard Two-Sample t-Test data: x: FKLNGTH with LOCATION = Cumberland, and y: FKLNGTH with LOCATION = The_Pas t = 2.0685, df = 183, p-value = 0.04 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.0769729 3.2588904 sample estimates: mean of x mean of y 45.03778 43.36984

19 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 19 Comparaison de la taille moyenne des esturgeons de la rivière Saskatchewan Sortie d’un test de Mann-Whitney (S-PLUS = Wilcoxon rank sum test) Wilcoxon rank-sum test data: x: FKLNGTH with LOCATION = Cumberland, and y: FKLNGTH with LOCATION = The_Pas rank-sum normal statistic with correction Z = 1.7776, p-value = 0.0755 alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

20 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 20 Vérification de la normalité Faire un graphique des probabilités normales si, à l’oeil, c’est linéaire, ça va si on est pas certain, faire le test de Kolmogorov-Smirnov (avec correction Lilliefors inclus dans S-PLUS)

21 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 21 La distribution cumulative normale L’aire sous les courbes des fonctions de densité des probabilités normales et distribution cumulative normale 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0  2.28% 50.00% 68.27% F Distribution normale Didtribution cumulative normale

22 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 22 Valeurs Z Valeurs Z Transformation des pourcentages cumulés en valeurs Z -1.64 -0.52 0.52 1.64 -1.28 0 1.28 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 1.00 Normal equivalent deviates Cumulative percent

23 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 23 Courbes des probabilités normales Exemples de distributions de fréquences et leurs distributions cumulées A: Normale; B: mélange égal des deux distributions normales; C: Étirée vers la gauche; D: Étirée vers la droitet; E: Platykurtique; F: Leptokurtique. NED 3.72 -3.72 0 3.72 -3.72 0 3.72 -3.72 0 A B CD EF

24 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 24 Exemple: Taille des esturgeons des sites The Pas et Cumberland Diagrammes de probabilités normales pour les longueurs à la fourche à The Pas et Cumberland sont:

25 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 25 Exemple: Taille des esturgeons (suite) Sortie S-PLUS d’un test Kolmogorov- Smirnov: normalité des longueurs à The Pas One sample Kolmogorov-Smirnov Test of Composite Normality data: FKLNGTH in SturgPas ks = 0.0781, p-value = 0.5 alternative hypothesis: True cdf is not the normal distn. with estimated parameters sample estimates: mean of x standard deviation of x 43.36984 6.435456

26 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 26 Égalité des variances (homoscédasticité): le test de F Si les variances sont égales, alors s 2 C = s 2 T H 0 (ratio F): Ce test est très sensible à une déviation de la normalité Rendement Fréquence Témoin Traitement s2Cs2C s2Ts2T

27 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 27 Égalité des variances (homoscédasticité), utilisation du test de Levene Si les variances sont égales, alors: s 2 C = s 2 T H 0 (Levene): Ce test est plus robuste à une déviation de la normalité Rendement Fréquence Témoin Traitement s2Cs2C s2Ts2T

28 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 28 Comparaison de médianes: le test des médianes Calculer la médiane M pour les deux échantillons Classer chaque observation (plus grande ou plus petite que M) afin de créer un tableau 2X2 Faire un  2 ou un test de G, pour tester l’indépendance Rendement Fréquence Témoin Traitement M

29 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 29 Tests sur des échantillons appariés Utilisés quand il y a corrélation entre les observations des deux échantillons. Par exemple, le poids de rats avant et après un traitement H 0 (unilatéral): utiliser un test de t pour échantillons appariés

30 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 30 Test de t pour échantillons appariés vs test de t pour échantillons indépendants En présence de corrélation, un test de t pour échantillons appariés est beaucoup plus puissant. L’erreur-type des différences moyennes entre les paires est habituellement plus petite que l’erreur-type de la différence entre les deux moyennes S’il n’y a pas de corrélation, un test de t pour échantillons appariés est moins puissant (N représente le nombre de paires et non le nombre d’observations). S 2 b = 8.67, S 2 a = 21.58, S 2  W = 2.81

31 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 31 Test de t pour échantillons appariés vs test de t pour échantillons indépendants: effet de l’âge sur la largeur du visage Standard Two-Sample t-Test data: x: WIDTH with AGE = 5, and y: WIDTH with AGE = 6 t = -1.7812, df = 28, p-value = 0.0857 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.43000032 0.03000032 sample estimates: mean of x mean of y 7.461333 7.661333 Paired t-Test data: x: WIDTH5 in Skulldat, and y: WIDTH6 in Skulldat t = -19.5411, df = 14, p-value = 0 alternative hypothesis: true mean of differences is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.224171 -0.179829 sample estimates: mean of x - y -0.202

32 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 32 Puissance: calcul de l’effectif requis À partir de , d ’un estimé de la variance commune s p 2 et de la différence  qu’on veut détecter, on peut calculer n min, l’effectif minimal requis Fréquence Éch. 1 Éch. 2

33 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 33 Indice de la taille de l’effet Formule t-Test on Means d Analyse de puissance avec G*Power

34 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 34 Comparaison de la taille des estrgeons à The Pas et Cumberland House S-PLUS output from Summary statistics: LOCATION:Cumberland FKLNGTH Min: 37.000000 1st Qu.: 42.000000 Mean: 45.037777 Median: 44.586614 3rd Qu.: 48.000000 Max: 55.000000 Total N: 85.000000 NA's : 1.000000 Std Dev.: 3.980821 LOCATION:The_Pas FKLNGTH Min: 24.960630 1st Qu.: 38.976378 Mean: 43.369845 Median: 43.543307 3rd Qu.: 47.716535 Max: 66.850394 Total N: 101.000000 NA's : 0.000000 Std Dev.: 6.435456

35 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 35 Inice de la taille de l’effet Formule Test de td Analyse de puissance avec G*Power

36 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 36 Effectif minimum

37 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 37 Puissance: calcul de la différence minimale détectable À partir de , d’un estimé de la variance commune s p 2 et de l’effectif n, on peut calculer  min, la différence minimale détectable Fréquence Éch. 1 Éch. 2

38 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 38 Différence minimale détectable

39 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 39

40 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 40 Exemple: Puissance d’une comparaison de 2 moyennes Quelle est la probabilité de détecter une différence de 1.01 si  (2)=.05? … et... Quelle est la probabilité de détecter une différence de 1.01 si  (2)=.05? … et...

41 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 41 Calcul de puissance

42 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 42 Calcul de puissance

43 Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2015-07-20 19:47 43 Quizz Dans quelles conditions utiliseriez vous un test de t pour échantillons appariés au lieu d’un test de t pour échantillons indépendants? Dans quelles conditions utiliseriez vous un test de t à variances séparées vs à variance commune?