Diagnostic robuste et contrôle tolérant aux fautes pour systèmes singuliers -approche par factorisation copremière- B. Marx, D. Koenig & D. Georges.

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1 Diagnostic robuste et contrôle tolérant aux fautes pour systèmes singuliers -approche par factorisation copremière- B. Marx, D. Koenig & D. Georges Laboratoire d’Automatique de Grenoble UMR CNRS-UJF-INPG B.P. 46, Saint Martin d’Hères, France 12 fevrier 2004

2 Plan de l'exposé Introduction aux systèmes singuliers
Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Introduction aux systèmes singuliers Factorisation copremière de systèmes singuliers Diagnostic robuste de défauts Commande tolérante aux défauts Conclusion 12 fevrier 2004

3 Définition des Systèmes singuliers
Introduction Définition des Systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des • relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc.) • relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc.) Commande Conclusion On a donc un modèle du type : après linéarisation, le modèle devient : avec on peut supposer 12 fevrier 2004

4 Formes équivalentes pour P et Q non singulières on a :
Introduction Formes équivalentes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic pour P et Q non singulières on a : Commande Conclusion Forme équivalente standard : sous-syst. usuel sous -syst. non propre Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières : dynamique statique 12 fevrier 2004

5 Réponse temporelle Réponse temporelle sous-syst. usuel sous syst.
Introduction Réponse temporelle Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Réponse temporelle Commande sous-syst. usuel sous syst. non propre Conclusion régularité  unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x0 données  det(sE-A) 0 système non impulsif  admet une représentation usuelle  a une fonction de transfert propre  N=0, dans la forme équivalente standard  A22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E 12 fevrier 2004

6 Intérêts des systèmes singuliers
Introduction Intérêts des systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande signification physique des variables combinaison de relations dynamiques et statiques systèmes rectangulaires systèmes interconnectés systèmes impulsifs mauvais conditionnement de E-1A, pour E inversible Conclusion 12 fevrier 2004

7 Commandabilité des syst. singuliers
Introduction Commandabilité des syst. singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande  K tel que les pôles finis de (E,A+BK) soient arbitrairement placés  Conclusion  sous-syst. usuel commandable sous-syst. non propre (E,A,B) commandable (E,A,B) Imp- commandable   K tel que (E,A+BK) soit non impulsif  (E,A,C) observable  sous-syst. usuel sous-syst. non propre  L tel que les pôles finis de (E,A+LC) soient arbitrairement placés  L tel que (E,A+LC) soit non impulsif (E,A,C) Imp-  12 fevrier 2004

8 avec retour d'état observé
Introduction Exemple Syst. Sing. Factorisation v(t) C R L i1(t) i2(t) Diagnostic Commande Circuit RLC parallèle : à t=1, on applique v=1 V Conclusion décrit par la forme singulière de fonction de transfert État du système (E,A,B) R-commandable et Imp-commandable x(t), avec retour d'état normalisant (E,A,C) R-observable et Imp-observable Éstimée de x(t), avec retour d'état observé 12 fevrier 2004

9 Factorisation copremière
Introduction Factorisation copremière Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Objectif : généraliser l'outil de factorisation copremière aux systèmes singuliers Conclusion Définition (fonctions de transfert copremières): Deux fonctions de transfert matricielles M(s) et N(s) de RH sont dites copremières à droites (resp. à gauche) s'il existe deux fonctions de transfert matricielles Xr(s) et Yr(s) (resp. Xl(s) et Yl(s)) telles que 12 fevrier 2004

10 Factorisation copremière
Introduction Factorisation copremière Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Définition (factorisation copremière): Une fonction de transfert matricielle P(s) de RH admet une double factorisation copremière s'il existe une factorisation copremière à droite et une factorisation copremière à gauche où M(s), N(s), , , Xr(s), Yr(s), Xl(s) et Yl(s)de RH vérifient Commande Conclusion 12 fevrier 2004

11 Factorisation copremière de systèmes singuliers
Introduction Factorisation copremière de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Théorème : une fonction de transfert matricielle G(s)=C(sE-A)-1B+D non nécessairement propre admet une double factorisation copremière si G(s) est régulière, Imp-commandable et Imp-observable. On a alors et où L et F sont telles que (E,A+LC) et (E,A+BF) soient non-impulsifs Commande Conclusion 12 fevrier 2004

12 Factorisation copremière de systèmes singuliers
Introduction Factorisation copremière de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Intérets : Les cofacteurs N(s), M(s), et sont propres, y compris pour G(s) non propre. Les matrices L et F peuvent être déterminées par résolution LMI pour placer les pôles finis de (E,A+LC) et (E,A+BF) dans une région LMI donnée, caractérisée par les matrices = T et  et 12 fevrier 2004

13 Caractérisation du placement des pôles finis de systèmes singuliers
Introduction Caractérisation du placement des pôles finis de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Théorème. Pour une région LMI D le système (E,A) a ses pôles finis dans D et est admissible, si et seulement s'il existe P=PT>0 et S vérifiant la condition LMI suivante EPET+APE T+TEPAT+1mm(AVSUT+USTVTAT) < 0 avec V=Ker E et U=Ker ET, et où 1ij désigne la matrice (ij) de composantes égales à 1 12 fevrier 2004

14 Placement des pôles finis de systèmes singuliers
Introduction Placement des pôles finis de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Théorème. Pour une région LMI D il existe une matrice F telle que (E,A+BF) ait ses pôles finis dans D et soit admissible, si et seulement s'il existe P=PT>0, S, H et L vérifiant la condition LMI suivante EPET+(APE T+BHET )+T(EPAT+EHTBT) mm(AVSUT+BLUT+USTVTAT+ULTBT) < 0 avec V=Ker E et U=Ker ET, et où 1ij désigne la matrice (ij) de composantes égales à 1 F est donnée par F=(HET+LUT)(PET+VSUT)-1 12 fevrier 2004

15 Diagnostic par factorisation copremière
Introduction Diagnostic par factorisation copremière Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Système : Conclusion Objectifs :  génération de résidus par des filtres propres  modeler la réponse fréquentielle aux défauts  imposer un gabarit de robustesse aux perturbations Hypothèses :  faisceau (E,A) régulier  système (E,A,C) Imp-observable et détectable Méthode :  factorisation copremière du système  formulation H des objectifs 12 fevrier 2004

16 Génération de résidus G(s) ~ -Nu(s) M(s) Le système peut s'écrire :
Introduction Génération de résidus Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Le système peut s'écrire : Conclusion et se factoriser sous la forme : Génération de résidus par factorisation : avec G(s) ~ -Nu(s) M(s) y(s) d(s) f(s) u(s) r(s)  générateur de résidus propre (choix de L) 12 fevrier 2004

17 Génération de résidus G(s) ~ -Nu(s) M(s) Q(s)
Introduction Génération de résidus Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Le résidu est obtenu en 2 étapes : Conclusion G(s) ~ -Nu(s) M(s) y(s) d(s) f(s) u(s) r(s) factorisation de G(s) (paramètre : L ) r(s) Q(s) filtrage : r(s)=Q(s)r(s) (paramètre : Q(s) de RH) Paramétrisation de tous les générateurs de résidus : Théorème. Sous la condition que (E,A+L0C) soit admissible, tous les générateurs de résidus sont paramétrés par Q(s) de RH avec  1 seul paramètre : Q(s) 12 fevrier 2004

18 Synthèse du module de diagnostic
Introduction Synthèse du module de diagnostic Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Principe : se ramener à un problème de contrôle standard H où Q(s) est solution de Conclusion Objectifs de synthèse du module de diagnostic 1. Modeler la réponse du résidu aux fautes. Gu(s) ~ -Nu(s) M(s) Q(s) + u y Gf(s) Wf(s) f - z Gd(s) d r 2. Imposer un gabarit de robustesse face aux perturbations d Wd(s) 3. Module de diagnostic propre : Q(s)  RH 12 fevrier 2004

19 Synthèse du module de diagnostic
Introduction Synthèse du module de diagnostic Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Q(s) est solution du problème de pousuite de modèle suivant : Commande Conclusion Les fonctions de transfert Wf(s), Wd(s), et sont propres Solution : résoudre le problème H standard pour le système non singulier : où  Q(s) w(s) r(s) z(s)  Solution à base de LMI (P. Gahinet & P. Apkarian, 1994) 12 fevrier 2004

20 Diagnostic par factorisation copremière.
Introduction Diagnostic par factorisation copremière. Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Algorithme de diagnostic robuste : 1. factoriser la fonction de transfert matricielle Gu(s)  déterminer L, tel que (E,A+LC) soit admissible (LMI) 2. filtrer le pré-résidu r(s)=Q(s)r(s)  fixer les fonctions de pondérations Wf(s) et Wd(s)  déterminer Q(s) : contrôle-H pour système usuel (LMI) 12 fevrier 2004

21 Exemple de diagnostic par factorisation coprime
Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion On considère le système défini par avec On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations : 12 fevrier 2004

22 Exemple de diagnostic par factorisation coprime
Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Résultats obtenus : Fautes (pointillés noirs) et résidus (traits rouge) Valeurs singulières de la sensibilité à d (bleu), et gabarit (vert) 12 fevrier 2004

23 Commande tolérante aux fautes
Introduction Commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Système : Conclusion Objectifs :  performances nominales  tolérance aux fautes et aux perturbations  mise en œuvre de filtres propres Hypothèses :  (E, A) régulier  (E, A,B) Imp-commandable et stabilisable  (E, A,C) Imp-observable et détectable Méthode :  factorisation copremière  formalisme H standard pour systèmes usuels 12 fevrier 2004

24 Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes
Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Lemme. (Takaba et al., 1994) Tous les correcteurs stabilisants de Gu(s) sont paramétrés par où Q(s)  RH G(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref G(s) Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref ~ -Nu(s) M(s) Structure du correcteur proposé (Youla) commande : sortie en boucle fermée : réponse nominale écart dû aux signaux exogènes 12 fevrier 2004

25 Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes
Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande G(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref Réponse nominale  retour d'état observé L et F déterminés afin de placer les pôles  résolution de LMI strictes Conclusion G(s) Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref ~ -Nu(s) M(s) Tolérance aux fautes  poursuite de modèle Qc(s) déterminé par synthèse d'un correcteur H pour système non singulier  résolution par LMI 12 fevrier 2004

26 Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes
Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Algorithme de contrôle tolérant aux fautes 1. Déterminer F et L, afin de satisfaire les objectifs de contrôle nominal. 2. Déterminer Qc(s), afin de minimiser la déviation de sortie due à d(s) et f(s) G(s) Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref ~ -Nu(s) M(s) Intérêts de cette approche 1.Séparer performances nominales // tolérance aux fautes 2.Implémentation de filtres propres 3.Eviter de masquer d(s) et f(s) par la commande. 12 fevrier 2004

27 Commande tolérante aux fautes adaptative
Introduction Commande tolérante aux fautes adaptative Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion mais... Commande tolérante à TOUS les signaux exogènes  pessimisme ...amélioration proposée 1. Introduire un module de diagnostic Qd(s)  localisation des défauts occurents 2. Choisir en ligne un filtre de contrôle parmi un banc  correcteur adapté au(x) défaut(s) survenu(s) 12 fevrier 2004

28 Commande tolérante aux fautes adaptative
Introduction Commande tolérante aux fautes adaptative Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Algorithme de contrôle tolérant aux fautes adaptatif. G(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref 1 Déterminer F et L tels que (E,A+BF) et (E,A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal 3 Déterminer nf filtres Qci(s) dédiés à une faute fi, et un filtre Qc0(s) pour le cas "sans faute", par minimisation de G(s) Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref ~ -Nu(s) M(s) Qd(s) r G(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref ~ -Nu(s) M(s) Qd(s) r 2 Déterminer le filtre de diagnostic robuste Qd(s) qui minimise G(s) Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + u d f y ref ~ -Nu(s) M(s) Qd(s) r 4 Implémenter le contrôleur ci-contre, avec G(s) u d f y 12 fevrier 2004

29 Application de la commande tolérante aux fautes
Introduction Application de la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande On considère le système défini par avec Conclusion Résidus fournis par le module de diagnostic Sorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par retour d'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait). 12 fevrier 2004

30 Conclusion On a proposé une méthode pour traiter les problèmes de
Introduction Conclusion Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande On a proposé une méthode pour traiter les problèmes de 1/ diagnostic robuste 2/ commande tolérante aux fautes Conclusion problème de contrôle standard H de systèmes usuels Solution à base de LMI (boîtes à outils Matlab ou Scilab) Implémentation simple (filtres propres) 12 fevrier 2004

31 Publications diagnostic robuste
Introduction Publications Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion diagnostic robuste  B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Robust fault diagnosis for descriptor systems – a coprime factorization approach, Proc of the IFAC SAFEPROCESS’03, Washington, USA, 2003.  B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, Proc of the European Control Conference, Cambridge, UK, 2003.  B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Fault Diagnosis and Robust Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003) placement de pôles contrôle tolérant aux fautes 12 fevrier 2004