Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 1 Évaluations des réserves.

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1 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 1 Évaluations des réserves

2 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de Développement Un triangle de développement est une table affichant l’évolution des sinistres à travers le temps. Par exemple, voici un regroupement de sinistres payés (en milliers) d'une compagnie d'assurance par années d’accident vue à différentes dates : Année d’AccidentVu fin 2006Vu fin 2007Vu fin 2008 2006100150170 2007110161 2008115

3 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de Développement Comme on veut analyser le développement d'une année à travers le temps, il sera plus intéressant de regrouper l'information selon l'âge des réclamations : L'âge représente le temps entre le début de la période analysée et le moment où l'information est vue. Par exemple, pour l'année d'accident 2006, les sinistres sont âgés de 24 mois au 31 décembre 2007. Année d’Accident 12 mois24 mois36 mois 2006100150170 2007110161 2008115

4 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de développement Lorsqu'on travaille avec des triangles, on peut analyser l'information selon trois dimensions différentes: Lignes horizontales – Chaque ligne représente généralement une année d’accident différente (ou une année de police, de déclaration...) Colonnes – Chaque colonne représente un âge différent Diagonales — Chaque diagonale représente l'activité d'une année comptable différente.

5 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles incrémentaux Il sera TRÈS important de noter si l'information à l'intérieur d'un triangle est incrémentale ou cumulative, car cela affectera comment les données seront traitées. Par exemple, chaque cellule d'un triangle incrémental contenant des sinistres payés représente les sinistres payés durant cette période : Les sinistres incrémentaux de 2005 âgés de 24 mois représentent les sinistres payés de l'année d’accident 2005 durant l'année comptable 2006. On remarquera que la somme de chacune des diagonales représente les sinistres payés d'une certaine année comptable. Année d’Accident12 mois24 mois36 mois48 mois 2005600620300 2006460 230 2007660 2008700

6 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles cumulatifs Pour un triangle de sinistres payés cumulatifs, chaque cellule du triangle représente le cumulatif des sinistres payés depuis le début de la période. Le triangle de la page précédente affiché de façon cumulative donnerait : Dans cet exemple, la différence entre chaque diagonale représente les sinistres payés d'une certaine année comptable. Par exemple : Sinistres payés durant l'année comptable 2008 = ( 700 + 1,320 + 1,150 + 1,820) – (660+920+1,520) = 1,890 Année d’Accident12 mois24 mois36 mois48 mois 2005600122015201820 20064609201150 20076601320 2008700

7 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangle – Réserver aux dossiers Un triangle peut contenir différents types d'information tel que le total des réserves aux dossiers vu à plusieurs âges : Lorsqu'on travaille avec des réserves aux dossiers, la dernière valeur de chaque ligne représentera l'estimé le plus à jour des réserves aux dossiers. Année d’Accident12 mois24 mois36 mois48 mois 20056001200 2006690920 20079901320 20081040

8 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de développement Exemple #1 : Basé sur les triangles des pages précédentes, construiser un triangle cumulatif de sinistres déclarés : Année d’Accident 12 mois24 mois36 mois48 mois 2005 2006 2007 2008

9 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode de développement classique La méthode de développement classique est une méthode de base pour estimer les réserves actuarielles utilisant des triangles. Elle peut être résumé en 7 étapes : Étape 1 - Compiler l'information à l'intérieur d'un triangle de développement Étape 2 - Calculer les facteurs âge à âge Étape 3 - Calculer des moyennes pour ces facteurs Étape 4 - Sélectionner un facteur de développement pour chaque âge Étape 5 - Sélectionner un «tail factor » Étape 6 - Calculer les facteurs de développement cumulatifs Étape 7 - Projeter les sinistres à l'ultime

10 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 1 - Compiler l'information à l'intérieur d'un triangle de développement La première étape consiste simplement à regrouper l'information à l'intérieur d'un triangle de développement comme nous l’avons vu précédemment. Voici un exemple d’un triangle de développement pour sinistres déclarés cumulatifs :

11 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 2 - Calculer les facteurs âge à age Un facteur âge à âge fréquemment appelé LDF (i.e. Loss Development Factor) mesure la variation des sinistres d'un âge à l’autre. Par exemple, pour le triangle à l'étape 1, le facteur âge à âge pour la période de 12 mois à 24 mois de l'année d’accident 1998 est : = Sinistres déclarés à 24 mois pour 1998 / Sinistres déclarés à 12 mois pour 1998 = 43,169,009 / 37,017,487 = 1.166 Par convention, nous le l’appelerons le facteur 12-24 mois (LDF 12-24 mois).

12 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 3 – Calculer des moyennes pour les facteurs âge à âge Afin de faciliter la sélection d'un facteur de développement final pour chacun des âges, les actuaires calculent généralement plusieurs moyennes des facteurs âge à âge. Leur sélection est ensuite basée sur une ou plusieurs de ces moyennes : - Moyenne arithmétique simple - Moyenne excluant la valeur la plus haute et la plus basse - Moyenne pondérée - Moyenne géométrique... Exemple 2 : Selon le triangle à l'étape 1, calculer la moyenne arithmétique simple et la moyenne pondérée 3 ans pour chaque facteur âge à âge.

13 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 4 – Sélectionner les facteurs de développement des sinistres Une fois les moyennes calculés, l'actuaire devra maintenant utiliser son jugement pour sélectionner les facteurs de développement finaux. Il devra considérer plusieurs points : Progression continue des facteurs âge à âge à travers les périodes de développement – Normalement le développement devrait être de plus en plus petit à travers le temps Des facteurs âge à âge stables à l'intérieur d'une même période de développement – Si le développement pour une certaine année est drastiquement différent des autres, peut-être qu'il s'agit d'une donnée aberrante à ne pas considérer.

14 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 4 – Sélectionner les facteurs de développement des sinistres (Suite) Crédibilité de l'expérience – La ligne d'affaire doit avoir une expérience suffisante et relativement homogène pour chacune des années analysées. Changement de tendance – S'il semble y avoir une certaine tendance dans les facteurs âge à âge, il sera important de la considérer lors de la sélection Expérience historique utilisée doit être pertinente – L'actuaire devra s'assurer que l'expérience passé utilisée (pour chaque année) soit prédictive du futur. Par exemple :  Est-ce que les réclamations passés proviennent de polices similaires à celles en force?  Est-ce que les réclamations sont arrivées dans un environnement légal similaire à celui présentement?

15 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 5 – Sélectionner un «tail factor » Les données disponibles ne sont pas toujours suffisantes pour estimer le développement des sinistres à l'ultime. Afin de déterminer s'il y a encore du développement suivant la dernière période disponible, il faut tout d’abord regarder le dernier facteur de développement. S'il est encore supérieur à 1, on ne peut certainement pas conclure que les sinistres sont complètement développés et la sélection d'un “tail factor” est nécessaire afin d'estimer le développement futur suivant cette période. S'il est égal à 1, il est probable mais non certain que les périodes de développements soient suffisantes pour développer complètement les sinistres. La sélection d'un « tail factor » sera effectuée selon le jugement de l’actuaire.

16 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 5 – Sélectionner un «tail factor » Il existe plusieurs méthodes pour estimer le « tail factor », par exemple un modèle basé sur une loi mathématique pourrait être utilisé (i.e. Loi Pareto). En pratique (et à travers ce cours), les actuaires utiliseront souvent leur jugement afin de le déterminer comme en essayant de trouver une tendance à travers les facteurs âge-à-âge ou simplement en se basant sur des données de l'industrie pour l'estimer.

17 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 6 – Calculer les facteurs de développements cumulatifs Les facteurs de développements cumulatifs (CDF) sont calculés en multipliant le « tail factor » avec les facteurs de développements âge à âge suivant l’âge analysé. Par exemple, pour les sélections de facteurs ci-dessous : CDF à 120 mois = 1.000 car le “tail factor” (to Ult) est de 1.000 CDF à 108 mois = 1.000 *1.000 = 1.000 CDF à 96 mois = 1.002 *1.000 = 1.002 CDF à 84 mois = 1.003 *1.002 = 1.005... CDF à 12 mois = 1.164 *1.110 = 1.292

18 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 7 – Projeter les sinistres à l'ultime Une fois les facteurs de développements cumulatifs calculés, on peut maintenant projeter les sinistres à leur niveau ultime. Cette valeur représentera l'estimé de la valeur finale que prendra les sinistres. Comme les CDF représentent le développement cumulatifs des sinistres d'une période d'un âge à l'ultime, la méthode de développement classique suggère de simplement multiplier le niveau actuel des sinistres par le CDF correspondant à l'âge de ces sinistres. Par exemple, si l'année 2008 est vu à fin 2010, donc âgé de 36 mois, les sinistres ultimes de 2008 = (Sinistres déclarés 2008 vu à fin 2010) * (CDF à 36 mois)

19 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Étape 7 – Projeter les sinistres à l'ultime (Suite) Exemple 3 : Selon le triangle ci-dessous, développer les sinistres à l'ultime pour chacune des années. À noter : La méthode de développement classique peut être autant appliquée sur des sinistres payés que déclarés, tant que les CDF ont été calculés sur la même base.

20 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Déclaration des sinistres À l'aide des CDF, il sera possible de déterminer le montant espéré du % de sinistres déclarés à différentes âges (ou entre différents âges). Pour chaque âge : % de sinistres déclarés espérés = Sinistres déclarés / Sinistres ultimes = Sinistres déclarés / (Sinistres déclarés * CDF) = 1/CDF

21 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Distribution des paiements De la même façon, il sera aussi possible de déterminer une distribution espéré des paiements futurs à l'aide des CDF pour sinistres payés. Pour chaque âge : % de sinistres payés = Sinistres payés / Sinistres ultimes = Sinistres payés / (Sinistres payés * CDF) = 1/CDF La distribution de la déclaration des sinistres ou des paiements sera utilisée plus tard dans le cours pour certaines méthodes actuarielles servant à estimer les sinistres non-payés ainsi que pour suivre le développement des sinistres à travers les années. Exemple 4 : À partir des facteurs âges à âges de l’exemple 3, déterminer les sinistres déclarés espérés de l’année comptable 2008 pour chaque année d’accident.

22 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Désavantages de la méthode classique de développement des sinistres La méthode de développement classique des sinistres suppose que la déclaration des sinistres passés sera similaire à celle du futur. Cependant, ce ne sera pas toujours le cas : Changement du niveau de suffisance des réserves aux dossiers – Si les ajusteurs augmentent/diminuent les montants alloués en réserve aux dossiers en moyenne à un certain point, le développement des sinistres déclarés passés ne représentera plus le futur. Changement de la distribution des risques – Si les nouveaux risques assurés ne sont plus comparables aux risques passés, l'expérience passé sera moins prédictive des sinistres futurs. Changement de l'environnement légal – Si les sinistres passés sont arrivés dans un environnement légal différent, l'expérience passé risque encore une fois d’être moins prédictive des sinistres futurs.

23 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Calcul des Réserves Maintenant qu'on sait comment projeter les sinistres à l’ultime. Il ne reste qu'à déterminer les réserves actuarielles nécessaires (= IBNR + IBNER) pour être certain de couvrir les sinistres non-payés de la compagnie. Réserves actuarielles par année = Sinistres Ultimes – Sinistres Déclarés = Sinistres déclarés * CDF - Sinistres déclarés = Sinistres déclarés (CDF-1) Réserves totales pour sinistres non-payés par année = Réserves actuarielles + Réserves aux dossiers = Sinistres Ultimes – Sinistres Déclarés + Réserves aux dossiers = Sinistres Ultimes – Sinistres payés Notes : Dans l'équation ci-dessus, on assume que les facteurs de développement ont été déterminés à partir de triangles de sinistres déclarés

24 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Triangles de développement - Diagnostic Afin de valider si la méthode de développement classique est optimale ou si certaines années devraient être exclues de l'analyse, on devra analyser divers ratios : Ratio de sinistres payés / sinistres déclarés Ratio du # total de réclamations fermées / # total de réclamations Ratio du # total de réclamations fermées avec (ou sans) paiement / # total de réclamations fermées Montant moyen de la réserve au dossier Sinistre payé moyen pour réclamations fermées Sinistre payé moyen Sinistre déclaré moyen Chacun de ces ratios apportent de l'information intéressante sur l’évolution de nos sinistres à travers les périodes.

25 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Test 1 : Ratio de sinistres payés / sinistres déclarés Le ratio de sinistres payés / sinistres déclarés est facile à calculer et permet à l'actuaire d'évaluer la stabilité des réserves aux dossiers. Par exemple, pour ces deux triangles de développement :

26 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Test 1 : Ratio de sinistres payés / sinistres déclarés On obtient ce triangle de ratio de sinistres payés / sinistres déclarés : Idéalement, ce ratio devrait être relativement constant pour chaque âge. Cependant, un changement de la suffisance des réserves aux dossiers ou un changement dans le type de réclamations déclarées pourraient expliquer certains comportements aberrants. Pour ce triangle, on remarque que les ratios des années 2004-2006 sont particulièrement bas pour les âges 12 et 24. Cela pourrait être expliqué par un niveau élevé de réserves aux dossiers ou un faible niveau de paiement de sinistres. Il faudra effectuer d’autres tests pour en être certain.

27 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Test 2 : Sinistres payés et réserves aux dossiers moyens En examinant l’évolution de sinistres payés moyens et réserves aux dossier moyennes à travers les années, on peut évaluer si le type de réclamation ou la suffisance des réserves aux dossiers change à travers les périodes : Note Sinistres payés moyens = Sinistres payés / # de réclamations fermées Réserves aux dossiers moyennes = Réserves aux dossiers / # de réclamations ouvertes

28 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Test 2 : Sinistres payés et réserves aux dossiers moyens On remarque : Les sinistres payés moyens changent à peine à travers le temps, il y a une certaine tendance à la hausse, mais une inflation annuelle est normale. À première vue, le type de réclamations ne semble pas avoir changé. Contrairement aux sinistres payés, les réserves aux dossiers moyenne s augmentent drastiquement sur la diagonale des années 2005-2006. Ceci est un indicateur que la suffisance des réserves aux dossiers à augmenté durant ces années comptables.

29 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Test 3 : Ratio # sinistres fermés / # sinistres déclarés En analysant le ratio du nombre de sinistres fermés divisé par le nombre de sinistres déclarés, on peut voir si la vitesse de règlement des réclamations change à travers le temps. Un changement de la vitesse de règlement aurait un impact sur le développement des sinistres, car les sinistres seraient payés plus rapidement d’année en année diminuant ainsi leur développement futur. Dans le triangle ci-dessus, on remarque que les sinistres commencent à être réglés en moyenne beaucoup plus tôt à partir de l’année comptable 2006. Ceci indiquerait que le développement des années suivant 2006 serait surestimé.

30 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Exercices Voici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS pertinents à la matière de cette section : Exam 5 – Spring 2012 : #17, #22a), #30 Exam 5 – Spring 2011 : #22, #23, #24, #30a)-b) Exam 6 - Fall 2010 : #13, #15 Exam 6 - Fall 2009 : #8, #12, #16a) Exam 6 - Fall 2008 : #2b), #6, #9a), #27 chain ladder ou link ratio = méthode de développement classique Note Les exercices sont disponibles sur le site de la CAS aux adresses suivantes : http://www.casact.org/admissions/studytools/exam6/ et http://www.casact.org/admissions/studytools/exam5/