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(Grenoble 98) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J). L’unité est le centimètre. On considère les points : A(4 ; 4) B(7 ; 5) C(8 ; 2) 1. Placer les points A, B, C sur une figure. 2. Calculer les longueurs AB, AC et BC (on donnera les valeurs exactes). 3. Démontrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle. 4. Placer, sur la figure, le point D tel que 5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. DC AB =
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AB = (XB - XA)² + (YB - YA)²
1 -1 5 -5 B A A(4; 4) B(7; 5) C(8; 2) C A(4; 4) B(7; 5) AB = (XB - XA)² + (YB - YA)² AB = (7 - 4)² (5 - 4)² AB = (3)² + (1)² = = 10 A(4; 4) C(8; 2) B(7; 5) C(8; 2) AC = (XC - XA)² + (YC - YA)² BC = (XC - XB)² + (YC - YB)² AC = (8 - 4)² (2 - 4)² BC = (8 - 7)² (2 - 5)² AC = (4)² + (-2)² BC = (1)² + (-3)² = = 20 = = 10
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De plus AB=AC donc ABC est rectangle isocèle en B.
1 -1 5 -5 B AB² + BC² = = 20 AC² = 20 AB² + BC² = AC² donc d ’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B. D De plus AB=AC donc ABC est rectangle isocèle en B. DC AB = Donc ABCD est un parallèlogramme. De plus il a un angle droit et 2 côtés consécutifs égaux (car ABC est rectangle isocèle en B) donc c ’est un carré.
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