Les fonctions Les propriétés. Chaque fonction possède ses propres caractéristiques: Ainsi l’analyse de ces propriétés permet de mieux cerner chaque type.

Présentation au sujet: "Les fonctions Les propriétés. Chaque fonction possède ses propres caractéristiques: Ainsi l’analyse de ces propriétés permet de mieux cerner chaque type."— Transcription de la présentation:

1 Les fonctions Les propriétés

2 Chaque fonction possède ses propres caractéristiques: Ainsi l’analyse de ces propriétés permet de mieux cerner chaque type de fonctions. - domaine - codomaine ( ou image ) - variation - signes - coordonnées à l’origine - extrémums

3 Il est plus facile de décrire les caractéristiques d’une fonction à partir de sa représentation graphique. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

4 Le domaine d’une fonction.

5 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Le domaine d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que prend la variable indépendante de la fonction. Ceci veut dire qu’on s’intéresse aux valeurs que prend x ( la variable indépendante ) dans la fonction. Il faut donc lire sur l’axe des x. Ici, dom f :[ -6, 8 ] signifie le domaine de la fonction. Utilisons quelques couples pour bien comprendre. ( -1, ) ( -3, ) ( -5, ) ( -6, ) 2 4 6 7 ( 3, ) ( 4, ) ( 6, ) ( 8, ) -2 -3 -5 -7

6 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Donne le domaine des fonctions suivantes: dom f : [ -5, 8 ]

7 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 dom f : [ -9, 3 ]

8 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 dom f : [ -5, 5 ]

9 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 dom f :[ -7, 7 ]

10 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 dom f :[ -7, 9 ]

11 Le codomaine d’une fonction. ou l’image d’une fonction.

12 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Le codomaine ou l’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que prend la variable dépendante de la fonction. Ceci veut dire qu’on s’intéresse aux valeurs que prend f(x) ( la variable dépendante ) dans la fonction. Il faut donc lire sur l’axe des y. Ici, ima f : On pourrait aussi écrire: codom f : [ -7, 7 ] [ -7, 7 ] signifie l’image de la fonction. ( -1, ) ( -3, ) ( -5, ) ( -6, ) 2 4 6 7 ( 3, ) ( 4, ) ( 6, ) ( 8, ) -2 -3 -5 -7 Utilisons quelques couples pour bien comprendre.

13 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ima f : [ -8, 8 ] Donne le codomaine des fonctions suivantes:

14 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ima f : [ -3, 4 ]

15 Remarque:Lorsque l’on donne un intervalle, il faut toujours le faire de la plus petite valeur à la plus grande. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 correctincorrect ima f : [ -3, 4 ]ima f : [ 4, -3 ]

16 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ima f : [ 0, 7 ]

17 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ima f : [ 1, 8 ]

18 Le domaine et le codomaine (l’image) sont les deux caractéristiques les plus importantes. Elles permettent de décrire les autres propriétés. - variation - signes - coordonnées à l’origine - extrémums

19 Donne le domaine et le codomaine des fonctions suivantes. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 dom f : [ -5, 8 ]ima f : [ -8, 8 ]

20 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 dom f : [ -9, 3 ]ima f : [ -3, 4 ]

21 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 dom f : [ -7, 9 ]ima f : [ -4, 3 ]

22 Variation d’une fonction: - croissance - décroissance - constance

23 Une fonction est dite croissante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) augmentent: la courbe monte 123456789100 La croissance s’analyse par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ). Ici, la fonction est croissante sur [ 0, 10 ]

24 Une fonction est dite décroissante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) diminuent: la courbe descend 123456789100 La décroissance s’analyse par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ). Ici, la fonction est décroissante sur [ 0, 10 ]

25 Exemple: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Lorsque l’on se déplace sur l’axe des x, de -6 à -1, les valeurs de f(x) augmentent. Nous dirons que la fonction est croissante sur l’intervalle [ -6, -1]

26 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Exemple: Lorsque l’on se déplace sur l’axe des x, de -1 à 4, les valeurs de f(x) diminuent. Nous dirons que la fonction est décroissante sur l’intervalle [ -1, 4 ] Les valeurs de y augmentent ou diminuent mais l’analyse se fait par rapport à l’axe des x. Remarque:

27 Une fonction est dite constante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) ne changent pas. la courbe est horizontale 123456789100 Ici, la fonction est constante sur [ 0, 10 ] La constance s’analyse par rapport à l’axe des abscisses ( l’axe des x ).

28 Exemple: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Lorsque l’on se déplace sur l’axe des x, les valeurs de f(x) ne changent pas. Nous dirons que la fonction est constante sur l’intervalle Attention: La croissance, la décroissance et la constance d’une fonction s’analysent toujours par rapport au domaine donc par rapport à l’axe des x. [ -6, 5 ]

29 Exemple: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Ici, l’intervalle de croissance est: [ -8, -5 ] L’intervalle de décroissance est: L’intervalle de constance est [ -5, 2 ] [ 2, 9]

30 Étudie la variation des fonctions suivantes. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Fonction croissante sur : [ 0, 4 ]

31 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Fonction croissante sur : [ -5, 8 ]

32 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Fonction décroissante sur : [ -9, 3 ]

33 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Fonction décroissante sur : Fonction croissante sur : [ -7, 0 ] [ 0, 7 ]

34 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Fonction décroissante sur : Fonction croissante sur : [ -7, 1 ] [ 1, 9 ]

35 Les signes d’une fonction.

36 Une fonction est positive lorsque les valeurs de f(x) ( les valeurs de y ) sont positives. Une fonction est négative lorsque les valeurs de f(x) ( les valeurs de y ) sont négatives.

37 Explication: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Au-dessus de l’axe des x, les valeurs de y sont toutes positives. donc les signes de la fonction sont positifs. ( -1, ) ( -3, ) ( -5, ) ( -6, ) 2 4 6 7 ( 3, ) ( 4, ) ( 6, ) ( 8, ) -2 -3 -5 -7 Au-dessous de l’axe des x, les valeurs de y sont toutes négatives. donc les signes de la fonction sont négatifs. Attention: Les signes d’une fonction ( les valeurs de y ) s’analysent toujours par rapport au domaine donc par rapport à l’axe des x.

38 Exemple: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 lorsqu’on se déplace sur l’axe des x de -5 jusqu’à 2, les valeurs de f(x) sont négatives. donc les signes de la fonction sont négatifs sur : [ -5, 2 ] lorsqu’on se déplace sur l’axe des x de 2 jusqu’à 8, les valeurs de f(x) sont positives. donc les signes de la fonction sont positifs sur : [ 2, 8 ] Dans cette fonction:

39 Étudie les signes des fonctions suivantes: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 négatifs sur : positifs sur : Remarque:0 étant considéré à la fois positif et négatif, cette valeur particulière de f(x) doit être considérée sur les deux intervalles. Les intervalles sont donc fermés. [ -9, -2 ] [ -2, 3 ]

40 signes positifs sur : 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 [ -5, 5 ]

41 signes positifs sur : 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 signes négatifs sur : [ -7, -4 ] [ 6, 9 ]  [ -4, 6 ]

42 Les coordonnées à l’origine d’une fonction: - l’abscisse à l’origine ou zéro(s) de fonction. - l’ordonnée à l’origine ou valeur initiale;

43 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. L’ordonnée à l’origine: Ici, l’ordonnée à l’origine est 3. Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées ( axe des y ).

44 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. L’ordonnée à l’origine: L’ordonnée à l’origine est aussi appelée la valeur initiale car souvent elle correspond à la première valeur de la fonction. Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées ( axe des y ).

45 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. 0 L’ordonnée à l’origine: Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées ( axe des y ). À cet endroit, x = 0. algébriquement, l’ordonnée à l’origine est la valeur de f(x) quand x = 0; Donc, Les coordonnées de ce point sont : ( 0, 3) x = 0 f(0) = 3 c’est-à-dire f(0 )

46 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. L’abscisse à l’origine: Ici, l’abscisse à l’origine est -6. Graphiquement, l’abscisse à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses ( axe des x ).

47 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. 0 L’abscisse à l’origine: Graphiquement, l’abscisse à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses ( axe des x ). À cet endroit, f(x) = 0. algébriquement, l’abscisse à l’origine est la valeur de x quand f(x) = 0. Donc, Les coordonnées de ce point sont : ( -6, 0) x = -6 f(x) = 0 c’est-à-dire f(x ) = 0

48 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Remarque: L’abscisse à l’origine est la valeur de x quand la fonction est égale à zéro. car à ce point précis, f(x) = 0. C’est pourquoi, on appelle aussi l’abscisse à l’origine, le zéro de fonction, Attention: abscisse à l’origine=zéro de fonction

49 Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine : Symbole f(0) f(x) = 0

50 Donne l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine des fonctions suivantes. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Ordonnée à l’origine: Abscisse à l’origine: 4 2

51 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Ordonnée à l’origine:Abscisse à l’origine:-4-3

52 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Remarque:Une fonction peut avoir plus qu’une abscisse à l’origine. Ordonnée à l’origine:Abscisse à l’origine:-6 et 43

53 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Remarque: Une fonction peut ne pas avoir d’abscisse à l’origine. Ordonnée à l’origine:Abscisse à l’origine:aucune5

54 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Ordonnée à l’origine:Abscisse à l’origine:00

55 Les extrémums d’une fonction. - maximum - minimum

56 Le maximum d’une fonction est la plus grande valeur de f(x). Exemple: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Maximum: 4 Remarque: Les extrémums se lisent sur l’axe des ordonnées.

57 Le minimum d’une fonction est la plus petite valeur de f(x). Exemple: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Minimum -9

58 Détermine les extrémums des fonctions suivantes: 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Minimum : Maximum : 70

59 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Minimum : Maximum : 92

60 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Minimum : Maximum : 3- 4

61 1 1 Minimum : Maximum : 1- 1

62 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Minimum : Maximum : 4- 8

63 Remarque: L’axe des abscisses sert de référence pour analyser: - le domaine - la variation : croissance, décroissance et constance - les signes: signes positifs ou négatifs - le(s) abscisse(s) à l’origine ou zéro(s) de fonction L’axe des ordonnées sert de référence pour analyser: - le codomaine ou l’image - les extrémums - l’ordonnée à l’origine

64 Analyse les propriétés de la fonction suivante: dom f : ima f : fonction croissante sur : signes positifs sur : Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine (zéro de fonction ) : Extrémum: signes négatifs sur : fonction décroissante sur : 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 123456789 [ 0, 9 ] [ 100, 1 100 ] [ 0, 1 ] [ 3, 4 ] [ 8, 9 ][ 1, 3 ] [ 6, 8 ] [ 0, 9 ] aucun intervalle 400 aucune maximum :1 100 minimum :100 fonction constante sur : [ 4, 6 ]

65 dom f : ima f : fonction croissante sur : signes positifs sur : Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine : Extrémum: signes négatifs sur : fonction décroissante sur : [ 0, 30 ] jours [ - 200, 700 ] dollars [ 0, 5 ] [ 25, 30 ] jours [ 10, 25 ] jours [ 0, 20 ] et 30 e jours 200,00 $ 20 e et 30 e jours maximum : 700,00 $ minimum : - 200,00 $ Solde($) Nb de jours - 200 - 100 100 0 200 300 400 500 600 700 Montant dans mon compte pour le mois de novembre 51015202530 fonction constante sur : [ 5, 10 ] jours [ 20, 30 ] jours Analyse cette situation.

66 Analyse les propriétés de la fonction suivante: f( x ) = 2 x – 6 sur le domaine [ 0, 6 ] Pour t’aider à analyser une fonction à partir de sa règle, remplis une table de valeurs et trace son graphique. x 0 1 2 3 4 5 6 y= 2 x - 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 Ici, on ne s’intéresse qu’aux valeurs de x compris entre 0 et 6 car le domaine demandé est [ 0, 6 ]. Donc 3 2 1 4 3 5 6 -5 -6 -3 -4 -2 2 1456 0

67 f( x ) = 2 x – 6 sur le domaine [ 0, 6 ] dom f : ima f : fonction croissante sur : signes positifs sur : Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine : Extrémum: signes négatifs sur : fonction décroissante sur : [ 0, 6 ] [ - 6, 6 ] aucun intervalle [ 3, 6 ] -6 3 maximum : 6 minimum : - 6 fonction constante sur : aucun intervalle [ 0, 3 ] [ 0, 6 ] 3 2 1 4 3 5 6 -5 -6 -3 -4 -2 2 1456 0

68 Aujourd’hui, au Québec, l’unité de mesure utilisée pour calculer la vitesse automobile est le kilomètre/heure ( km/h ). Anciennement, ( et encore aujourd’hui aux USA ) le système était le mille/heure ( MPH ). Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures.

69 La règle permettant de passer des km/h aux MPH est: f( x ) = 0,625 x dans laquelle: x représente la variable indépendante: km/h et f( x ) représente la variable dépendante: MPH On voudrait convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160. Détermine le domaine et le codomaine de cette situation.

70 Le domaine est relié à la variable indépendante donc dom f : [ 0, 160 ] km Le codomaine est relié à la variable dépendante. Pour calculer ce codomaine, il existe une règle : f( x ) = 0,625 x Le codomaine étant en relation avec le domaine: on calcule la première valeur de f( x ) en remplaçant x par la première valeur du domaine soit 0. f( x ) = 0,625 x f(0) = 0,625 X 0 = 0 x représente la variable indépendante: km/h f( x ) représente la variable dépendante: MPH

71 Puis, on calcule la dernière valeur du codomaine en remplaçant x par 160. f( x ) = 0,625 x f(160) = 0,625 X 160 = 100 codom f : [ 0, 100 ] MPH Convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160. Règle : f( x ) = 0,625 x dom f : [ 0, 160 ] km codom f : [ 0, 100 ] MPH dom f : [ 0, 160 ] km