Enseigner / apprendre le calcul mental… (1)

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1 Enseigner / apprendre le calcul mental… (1)
Les principes à faire partager (en deux phases) : Distinguer deux aspects complémentaires dans le calcul mental : 1 (essentiel du diaporama [1]) - mémorisation des tables (des faits numériques) – des connaissances (immédiatement disponibles) 2 - (essentiel du diaporama [2]) – enseignement et automatisation des procédures (ce qui suppose qu’elles soient explicitement enseignées) – des capacités à exercer reposant sur les connaissances (des faits numériques et des nombres). le savoir expert (la compétence) : c’est la procédure personnelle que l’élève choisit parmi les procédures expertes qu’il a apprises ; celle-ci est dépendante des relations particulières entre les nombres en présence. Les tables sont enseignées en classe ; l’apprentissage de la mémorisation est conduit par l’enseignant (à la maison on reprend, révise…) Les procédures spécifiques de calcul mental (à distinguer des techniques opératoires : on ne pose jamais une opération « dans sa tête ») sont identifiées et enseignées chacune explicitement, découvertes, identifiées, nommées, institutionnalisées (cahier « outil ») produites enfin. Le passage à l’écrit (calcul en ligne, arbres à calcul, droite graduée) est une étape incontournable de tout début d’apprentissage des procédures (et un support important de l’explicitation de tout élève relatant sa procédure…) Le niveau expert en fin d’école élémentaire (à décliner à chaque niveau de l’école) : c’est la capacité de choix (y compris celui de renoncer à une procédure automatisée…) tenant compte de l’identité et des relations des nombres en présence au regard des techniques apprises et maîtrisées (lien important avec la « numération ») : « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » calcul mental (1)

2 calcul mental Calcul rapide Calcul réfléchi Calcul approché
Calcul automatisé Calcul posé Calcul instrumenté Calcul approché INTRODUCTION POSSIBLE (voir document annexe) Les adjectifs de « calcul » et ce qu’ils recouvrent ! Divers qualificatifs porteurs de représentations et de pratiques très diverses. A entendre. A clarifier. . Rapide : c’est le plus fréquent des qualificatifs (il induit souvent que le calcul s’apparente à la connaissance des tables) - De quand date cette expression ??? . Réfléchi – automatisé : c’est la distinction faite dans les programmes 2002 (« calcul automatisé » s’apparente à la connaissance des tables – « calcul réfléchi » aux procédures… On peut analyser cette dernière expression : pléonasme ? ) . Calcul posé : s’il se distingue clairement du calcul mental pour les enseignants, il est le référent de la plupart des élèves qui « posent les opérations dans leur tête » (les apprentissages spécifiques du calcul mental passe aussi par une déconstruction) . Calcul instrumenté : c’est une forme trop peu enseignée… et dont on peut aussi déconstruire certaines représentations. Des concours de vitesse peuvent montrer que le recours à la calculatrice n’est pas toujours efficace (un élève en calcul mental / un élève avec la calculatrice : qui est le plus rapide pour 5x1000, 25x …) . Calcul approché (estimation) toujours évoqué dans le programmes, très peu enseigné, ce mode devrait précéder tout calcul… Et cela repose sur des procédures de calcul mental expertes.. calcul mental (1)

3 Mathématiques : dispersion CE1/CM2 2011
Quelques informations relatives aux dernières données chiffrées des « évaluations nationales » CE1 / CM2 peuvent concourir à renforcer la nécessité de la formation en mathématiques et plus particulièrement d’un réel investissement du calcul mental : quelques diapositives pour étayer Ce n’est pas la même cohorte, mais on constate une importante érosion, voire un effondrement du taux d’élèves ayant de TB scores et une augmentation très sensible des élèves dont les scores sont fragiles (Ce constat était identique dans les suivis de cohorte entre CE2 et 6ème). Deux hypothèses (non exclusives l’une de l’autre…) : - La qualité de l’enseignement des mathématiques au cycle 3 : des notions qui nécessitent des connaissances mathématiques (et didactiques) – décimaux / fractions – proportionnalité… - Les bases du cycle 2 sont insuffisamment ancrées, maîtrisées. calcul mental (1)

4 Evaluations nationales 2011
CE -15,7% -4,9% 60,7% -16,8% -8,8% 58,8% Moyenne des réussites de référence : France – écoles publiques « ordinaires » (écoles hors RAR et RRS) Moyennes des réussites en mathématiques CE1 60,7% ; CM2 58,8%. En rouge, les écarts moyens des écoles en zones prioritaires : en moyenne, pour les écoles en éducation prioritaire, on enregistre un décalage entre [-4,9%] et [-15,7%] pour le CE1 avec un recul sensible lorsqu’on relève les écarts au CM2 (de [-8,8%] et [-16,8%] Ce n’est pas la même cohorte d’élèves mais on constate, à la fin du cycle 3, que les écarts se sont creusés et cela touche particulièrement ceux qui avaient un léger écart en fin de CE1 (passage d’un écart de [-4,9%] à [-8,8%] … ) ; les élèves en plus grandes difficultés ne progressent pas, ils stagnent à leur niveau (le passage de [-15,7%] à [-16,8%] est moins significatif : on reste dans la très grande difficulté) Des hypothèses : Des causes mathématiques (bases du cycle 2 insuffisantes / défaillances du cycle 3 – en particulier pour les enseignements nouveaux) Des causes « élèves » (rapport à l’école, rapport au savoir) Des causes « enseignants » (rapport à l’autorité / rapport pédagogie/activité/contrôle… ) CM calcul mental (1)

5 CE1 - 2011 Réussite F 92,2% Réussite F 63,5% 6 + 6 9 + 5 9 + 8 7 + 4
7 x 2 6 x 4 3 x 5 9 x 4 - 4,9 % - 12,8 % - 10,4 % - 12,4 % 22 + 9 7 + 4 34 – 10 55 – 15 44 – 9 L’hypothèses des automatismes en calcul détaillée : Le résultat moyen des élèves français (CE1-2011) est donné dans le cadre noir ; dans les trois cas, le code 1 correspond à la réussite de 3 résultats sur 4. Les écarts négatifs indiquent le différentiel de réussite entre la moyenne obtenue en France et le score obtenu en zones prioritaires. En rouge, les écarts plus importants – en vert l’écart le plus faible. Remarques : Réussite / discrimination On peut observer le score de réussite des tables d’addition (92%), et le fait qu’il soit très peu discriminant (écart très faible entre la moyenne nationale et celle de l’éducation prioritaire. Voir un essai d’explication ci-dessous) Deux exercices (deux exercices en haut de la diapo) sont censés évaluer la mémorisation. 1 – Tables d’addition : La réussite de plus de 9 élèves sur 10 cache une question : sont-ce bien les tables d’addition qui sont évaluées ici ? Le temps imparti, la dextérité de certains élèves à compter sur leurs doigts permettent le dénombrement, le sur-comptage, toutes les pratiques analogiques peuvent conduire à une réussite indépendante de la mémoire. Le savoir évalué, les nombres en présence, relèvent de pratiques débutées en maternelle, des techniques et un savoir « anciens » ; on peut reconstruire facilement le résultat. Dans tous les cas, il est très difficile de faire la distinction entre l'élève pour qui les résultats des tables sont devenus, sont en passe de devenir, des faits numériques évidents et celui qui recourt à des procédures (à différents niveaux d'habileté) pour trouver le résultat dont celle de compter sur les doigts. Est-ce donc bien la compétence attendue qui est évaluée ? 2 - Tables de multiplication : Elles appellent davantage la mémorisation. C’est un nouvel apprentissage en CE1 et les élèves disposent de peu de biais pour accéder rapidement au résultat : l’impact sur la réussite est fort pour les élèves plus fragiles. Deux exercices (deux exercices en bas de la diapo) sont censés évaluer les procédures de calcul (place de 7+4…) Dans le champ additif seulement, les procédures semblent peu automatisées (-10, - 9 et -100) ; les sommes sur les petits nombres résistent également : on peut faire l’hypothèse que le dénombrement prévaut sur le calcul pour beaucoup mais le critère du temps et les techniques d’utilisation des doigts au-delà de 10 limitent les réussites. Combien d’élèves « posent l’opération dans leur tête »? Conclusion : La question de l’apprentissage des tables (mémorisation) et le défaut d’apprentissage programmé des procédures de calcul mental définies, reconnues, apparaissent très nettement dans ces résultats. Réussite F 72,3% Réussite F 55.7% calcul mental (1)

6 PISA ~ 2003 Lors d’une émission télévisée, un journaliste montre ce graphique et dit : « Ce graphique montre qu’il y a eu une très forte augmentation du nombre de cambriolages entre 1998 et » Cette diapo permet de cibler le lien complexe et étroit entre connaissances et capacités, entre automatisme et sens ! Proposer cette réflexion aux stagiaires et analyser avec eux leur activité puis les connaissances mises implicitement en jeu dans leur démarche : 1 - Connaissances implicites (mathématiques) en jeu pour LIRE ce graphe Lecture de graphique (abscisses, ordonnées – repérer que ce n’est pas à l’origine) Estimation (valeur de chaque histogramme) Soustraction (calcul mental – écart entre 517 et 508) Pourcentage - Approximation - Egalité de fractions (8 sur 517 c’est environ 8/500 = 16/1000 = 1,6%) 2 – Capacités à modéliser, raisonner, pratiquer la déduction (le modèle sur une seule année, permet-il d’envisager une étude longitudinale?) à effectuer des calculs (calcul mental, opérations…), à utiliser des outils de saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématique, l’analyser en posant les données puis en émettant des hypothèses 3 – Attitudes Les attitudes de rigueur, de précision Les attitudes de respect de la vérité Goût du raisonnement sur des arguments dont la validité est à prouver Il faut interpréter 1,6%... Est-ce beaucoup ? Par rapport à quoi??? Une conjecture impossible en l’absence de référence Ce problème semble assez représentatif à la fois de la place du calcul dans la « formation du citoyen », dans la culture mathématique et des anticipations que les relations aisées avec nombres et calculs permettent. Derrière cette courte mise en situation, peuvent transparaître les priorités des pratiques d’enseignement, les difficultés de nos élèves relevées par les enquêtes internationales (initiative, transposition des connaissances dans un champ différent) - et la réflexion préparatoire à la lecture des objectifs du « socle » (très liés à PISA…). Considérez-vous que l’affirmation du journaliste est une interprétation correcte? Justifiez votre réponse par une explication. calcul mental (1)

7 Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2
« L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » Les travaux conduits dans le domaine « Nombres et calcul » concourent dans leur diversité à construire la notion de nombre : par la construction de la numération par le calcul qui s’opère dans cette structure (la décomposition d’un nombre, le passage à la dizaine supérieure… ne peuvent être envisagés séparément, indépendamment) par la capacité à estimer des ordres de grandeurs, à arrondir (l’estimation des grandeurs est un puissant facteur des connaissances numériques). - par les problèmes de la vie courante : le calcul mental y étant permanent, mais pas toujours explicite, ni conscient… Malgré la technologie qui ne dispense pas d’un contrôle ou d’une anticipation ! Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2 calcul mental (1)

8 45 + 17 Faire du calcul mental… Ex. Calculer mentalement :
Un exemple : ce calcul proposé aux stagiaires (sans papier ni crayon!) permet de les solliciter directement. Comment chacun résout-il mentalement ce calcul ? L’accompagnateur prend note des propositions (diapo suivante) calcul mental (1)

9 Quelques procédures… 45+17 = = 55+7 = 62 45+17 = = = 62 45+17 = = 60+2 = 62 45+17 = = 2+60 = 62 45+17 = = = 62 Les propositions les plus probables sont relevées ici. (lors de la seconde phase en présentiel, elles feront l’objet d’une analyse systématique) On peut faire observer qu’à la base, chez l’expert, de nombreuses propriétés sont utilisées implicitement… Cela va de soit, ce sont des pratiques automatisées : Décomposition Commutativité Associativité (la distributivité également si on avait demandé 45x7) Les connaissances sont immédiatement disponibles La remémoration des faits numériques est automatisée (cela va de soi : le savoir est immédiatement DISPONIBLE) - l’absence de ces capacité (ou le fait qu’il faille les rappeler par des cheminements plus ou moins lourds) est un obstacle majeur (c’est encore plus explicite dans des situations de multiplication… l’obstacle des tables est quasi insurmontable pour 37 x 7 – impossible, très lourd pour le moins, pour les tables de multiplication… alors qu’on peut reconstruire les sommes). ATTENTION : les écriture mathématiques rendent très mal la logique et la chronologie des calculs mentaux. Il faut le mettre en évidence : Sur le premier exemple on pense : «  45 plus 17, c’est 45 et 10… 55 (on doit avoir mémoriser le 7 sans le penser, le formuler explicitement…) puis 55 et 7… 52 » Si on demande aux élèves d’écrire, on aura donc ce type : 45+17= = 55+7 = 62 On observe très fréquemment ce type d’écriture : le signe [=] est apparenté à une touche « d’exécution » d’un calcul ; l’écriture est la narration chronologique d’une suite « d’opérations ». Penser et dire le calcul sont des passages ORAUX très importants ; l’écriture des calculs sous la forme mathématiquement correcte nécessite une maturation symbolique qui doit être accompagnée. On peut évoquer le « paradoxe de l’automatisme » (Denis Butlen – « le nombre au cycle 2 ») La majorité des élèves interrogés répondent qu’ils « ont posé l’opération dans leur tête » : « … lorsque les connaissances de l’élève sont plus limitées, il va se réfugier dans les procédures apparemment plus sûres, mais beaucoup plus coûteuses et conduisant souvent à l’échec. » Le paradoxe de l’automatisme (transposition des techniques opératoires au calcul mental) doit être déconstruit et doit conduire à un enseignement de procédures spécifiques au calcul mental. 45+17 = = 65-3 = 62 calcul mental (1)

10 Automatisation des procédures
« Notion » de nombre : - Habileté dans la décomposition - Estimation Mémorisation des faits numériques Doubles Compléments à 10 Tables add. et mult. 25 (x2, 3 et 4) 50 (x2) Passage à la dizaine supérieure Distributivité … La maîtrise du calcul mental repose sur trois piliers : La mémorisation des faits numériques (l’exemple des précédentes évaluations nationales – réussir 8 réponses sur 10 pour avoir le code « 1 » - montre le niveau d’appropriation attendu : c’est une compétence qui ne se satisfait pas de quelques réponses « justes » – par exemple, la « traditionnelle » notation de 6/10 dans une interrogation n’est pas une évaluation de cette compétence. L’automatisation des procédures : elles doivent avoir été identifiées par l’enseignant puis enseignées afin que l’élève acquiert un répertoire de procédures disponibles, connues. La prise en compte des nombres en présence : les habiletés dans le domaine des nombres et de la numération (décompositions – relations entre les nombres…) sont indispensables car elles déterminent le choix d’une ou de la procédure la plus adaptée choisie à bon escient dans un contexte numérique donné. Remarque : L’estimation nécessite une attention soutenue dans la logique de l’anticipation qu’elle permet. Elle relève d’une fonction spécifique qui n’est pas suffisamment entraînée à l’école, issue d’une intuition qu’il faut davantage solliciter (ex plus près de 50 ou de 100… sans passer par le calcul exact!) - cf. Stanislas DEHAENE – « la bosse des maths 15 ans après » – vidéo Ifé – La distinction entre la mémorisation des faits numériques et l’automatisation de procédures précises doit organiser une logique d’enseignement qui n’est pas toujours très clairement identifiée et conforter l’étroite liaison que les programmes ont établi entre nombre et calcul. L’apprentissage des tables ne ressemble pas à l’apprentissage des procédures (voir plus loin). La mémoire des faits numériques ne doit engendrer aucun calcul ! C’est à l’école qu’elles s’apprennent (et se révisent à la maison). L’interrogation sur les tables (réponses rapides) l’interrogations sur les procédures ne résument pas le calcul mental à l’école ; des séances d’enseignement sont à concevoir. La progressivité des apprentissages pose la question des étapes intermédiaires : Exemple au CP : la réponse à 8 + 7 Surcomptage (procédure de maternelle) Complément à 10 : 8 et 2 (décomposition de 7 en 2 + 5) Double : de 8 (moins 1) – de 7 (plus 1) Le passage de la procédure à la mémorisation des faits demande un enseignement précis et progressif. REMARQUE: Le travail du CP doit rapidement mettre à distance le surcomptage pour faire entrer les élèves dans le registre du calcul. 12 = 12 = 2 x 6 12 = 2 x 2 x 3 9 = 10 – 1 25 = 100 / 4 …

11 Dans un contexte numérique donné…
Mémoire des faits numériques - tables - doubles - compléments à 10 - … Répertoire de de procédures automatisées - ajout de 10, 100 - calcul par la gauche Mémoriser les faits numériques / Automatiser les procédures Il n’y a pas symétrie de ces deux champs mais complémentarité : on ne peut identifier, reconnaître, ni produire une procédure sans la fonder sur des « faits numériques » établis. La mémorisation doit avoir pour objectif de rendre les faits numériques disponibles : les associations (un couple de nombres : sa somme, son produit) produisent immédiatement un résultat. A une étape antérieure, ils ne sont que mobilisables : un retour explicite est nécessaire (reconstruction, recours, pour les tables d’addition à une petite décomposition – 9 et 9 devient 9 et 1 et 8 ; c’est plus difficile pour les tables de multiplication – l’élève alors reprend la récitation de la table concernée pour trouver le résultat) ; c’est une difficulté très sensible qui fait obstacle à la mise en œuvre des procédures.

12 Mémoriser les FAITS NUMeRIQUES
Les principes à faire partager : Distinguer deux aspects complémentaires dans le calcul mental : mémorisation des tables (des faits numériques) – des connaissances (immédiatement disponibles) automatisation des procédures (ce qui suppose quelles soient explicitement enseignées) – des capacités à exercer reposant sur les connaissances (des faits numériques et des nombres). le savoir expert (la compétence) : c’est la procédure personnelle que l’élève choisit parmi les procédures expertes qu’il a apprises ; celle-ci est dépendante des relations particulières entre les nombres en présence. Les tables sont enseignées en classe ; l’apprentissage de la mémorisation est conduit par l’enseignant (à la maison on reprend, révise…) Les procédures spécifiques de calcul mental (à distinguer des techniques opératoires : on ne pose jamais une opération « dans sa tête ») sont identifiées et enseignées chacune explicitement, découvertes, identifiées, nommées, institutionnalisées (cahier « outil ») produites enfin. Le passage à l’écrit (calcul en ligne, arbres à calcul, droite graduée) est une étape incontournable de tout début d’apprentissage des procédures (et un support important de l’explicitation de tout élève relatant sa procédure…) Le niveau expert en fin d’école élémentaire (à décliner à chaque niveau de l’école) : c’est la capacité de choix (y compris celui de renoncer à une procédure automatisée…) tenant compte de l’identité et des relations des nombres en présence au regard des techniques apprises et maîtrisées (lien important avec la « numération ») : « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » calcul mental (1)

13 Progressivité de la maternelle au CP
Reconnaître trois Dénombrer six Reconnaître six Associer deux nombres pour faire six… Ecrire : 5+1=6 Progressivité de la maternelle au CP (sujet sensible que le formateur ne devrait pas négliger, particulièrement avec des enseignants de cycle 2 : le passage du dénombrement au calcul n’est pas « naturel » ! A la base du calcul, il y a la perception et la RECONNAISSANCE des petites quantités : 3 (c’est toujours 2 et 1) doit être perçu (jamais dénombré). «  Jouer » avec les petites quantités (inférieures à 5 - en référence aux doigts et dés, donc 6 a une place spécifique – dans notre société) est à la base du calcul dans un mode travail analogique : c’est d’abord un travail sur les quantités ; la transcription écrite (nombres, signes mathématiques) n’intervient que plus tard, pas en maternelle évidemment, et donc progressivement au CP. C’est un saut considérable ! Pour un élève, mettre trois jetons et encore deux permet d’imaginer « facilement » cinq, alors qu’écrire = 5 est d’un tout autre niveau. Cela s’enseigne. Cela s’apprend. Reconnaître : D’abord, certaines constellations sont reconnues : on voit 4 dans les doigts, sur le dé, dans des objets non organisés ; Avec les dés, les aspects spatiaux, la disposition des quantités prévaut. On les RECONNAÎT! Comparer : C’est sans doute une des bases du calcul : la comparaison de petites quantités (un ou deux dés : « Qui ira le plus loin ? Combien manque-t-il/en trop pour faire autant que l’autre… jeu de paris doigts d’un côté / dé de l’autre…) Associer : Progressivement les premières associations sont mémorisées : on voit sept dans une main et deux doigts levés… on voit sept dans le 6 et le 1 du dé. L’élève accède à des connaissances langagières : « deux et deux… quatre » « trois et trois…six ». Avec trois, affichage analogique avec les doigts d’une main) je montre qu’il m’en manque 2 (les doigts repliés) pour faire 5 (une connaissance : les 5 doigts de la main). Ces connaissances reposent sur des combinaisons courantes, qui, sous réserve qu’elles soient sollicitées, s’apprennent progressivement (fréquence des jeux de dé) La mémorisation doit avoir pour objectif de rendre les faits numériques disponibles : les associations (un couple de nombres : sa somme, son produit) produisent immédiatement un résultat. A une étape antérieure, ils ne sont que mobilisables : un retour explicite est nécessaire (reconstruction, recours, pour les tables d’addition à une petite décomposition – 9 et 9 devient 9 et 1 et 8 ; c’est plus difficile pour les tables de multiplication – l’élève alors reprend la récitation de la table concernée pour trouver le résultat) ; c’est une difficulté très sensible qui fait obstacle à la mise en œuvre des procédures. calcul mental (1)

14 Enseigner les faits numériques :
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 1 + 9 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 3 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 4 + 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 5 4 + 6 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5 + 5 6 + 1 6 + 2 6 + 3 6 + 4 Rappel (repères pour la progressivité des apprentissages) : Progressivement, au CP, on collectionnera le répertoire additif relatif aux premiers nombres (et particulièrement les compositions/décompositions de 10 et les doubles) CP : -Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (“table d’addition”). - Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à Connaître la table de multiplication par 2. Le constat de l’ambition de ces premiers repères justifie de penser les étapes de la progressivité : comment passer du dénombrement, du surcomptage (efficaces dans le champ des nombres jusque 20) à la mémorisation ? Comment en montrer l’intérêt aux élèves ? La question de la « table de 10 » pour la multiplication est latente dès lors qu’on aborde la numération décimale ex. 58 = 5x10 + 8 Elle n’est explicite ni au CP, ni au CE1… CE1 : - Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. CE2 : Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication. CM1 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. CM2 - … et décimaux. Au CM la formule générique « consolider… » s’applique à la fois aux faits numériques et aux procédures. Elle reste bien générale ! Michel FAYOL : « L’acquisition du nombre » - Que sais-je ? « La résolution répétée des mêmes opérations est postulée conduire à la mémorisation » : Ex 4+3 ? Du surcomptage « 4…5, 6,7 » à la restitution « 4 et 3 ->7 » ; le passage n’est pas « naturel » seul un enseignement peut assurer le saut qui s’impose. « La mémorisation nécessite que les 3 composantes (les deux opérandes et le résultat) puissent être présents simultanément dans la mémoire temporaire malgré le traitement. Or, plus le second opérande est grand, plus les calculs sont difficiles et la probabilité faible de le mémoriser (en particulier lorsque le second opérande est grand » Quelques exemples d’outils supports de mémorisation… CP : Les « maisons de nombres » construites au CP permettent de repérer les décompositions des premiers nombres, jusque 20. Ici une première forme (jusque 10) où on met en valeur les décompositions à mémoriser après avoir effacé celles qui relèvent de la numération (on connaît le successeur) et celles qui sont redondantes (commutativité) en veillant à mettre en valeur la priorité des compléments à 5 et surtout à 10.

15 Enseigner les faits numériques :
+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 L’exemple de la « table » d’addition est transposable à la multiplication. (évoquer les traces écrites supports de mémoire des élèves dont on attend qu’ils mémorisent ces tables) Le tableau est économique pour récapituler toutes les informations sur une surface minimale. Il faut également rappeler que ce n’est pas le support à privilégier pour les premiers apprentissages (on préfèrera les présentations traditionnelles des tables en particulier pour les tables de multiplication). Les deux formes sont complémentaires. Ici, le tableau va orienter vers une autre fonction. Il est recommandé d’éviter la charge inutile des [+0] ou [+1] : le 0, élément neutre de la somme, est un fait à reconnaître ; le [+1] doit être assimilé à la recherche du successeur : ce n’est pas du calcul mais de la numération. Inutile d’encombrer la mémoire ! Il est judicieux de procéder à des repérages… dans cette grille (voir plus loin). calcul mental (1)

16 Enseigner les faits numériques :
+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A repérer - La commutativité (on réduit de moitié les faits à mémoriser) Les doubles Les décompositions de 10 Les calculs sans passage à la dizaine supérieure Les sommes avec passage à la dizaine (le mot « retenue » a trait au calcul posé) calcul mental (1)

17 Enseigner les faits numériques :
+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A repérer avec les élèves la commutativité (il ne reste que la moitié –environ- des cas à mémoriser !) A enseigner : La transposition… Le cas « 3 + 4 = 7 » peut-il être reconnu par un élève débutant dans… « soixante-quatorze plus treize » ? « trente plus quarante » ? Cela s’enseigne, s’accompagne : « Où est caché 3+4 dans le calcul de ? » calcul mental (1)

18 Enseigner les faits numériques :
Exemple d’un outil d’élève : table en cours d’apprentissage au CP ou CE1 (seul les résultats « résistants » apparaissent) + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Un outil individualisé : Une grille lacunaire peut donner à chaque élève le panorama de ses connaissances à un moment donné. Sur ce type de support, chaque élève ne laisse apparaître que les résultats qu’il ignore (au fur et à mesure des interrogations, l’élève gomme les résultats qu’il connaît, réécrit ceux qu’il a oubliés). C’est bien entendu la partie en bas à droite qui regroupe les résultats les plus incertains. calcul mental (1)

19 Enseigner les faits numériques :
2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 Doubles : 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 8 x 3 = 24 2x30 = 60 4x30 = 120 Triples : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 6 x 3 = 18 20x3= 60 … Enseigner les tables de multiplication relève d’un fin travail d’OBSERVATION et d’EXPLORATION : Quelques exemples : - Pairs / impairs Doubles (4x3 est le double de 2x3) et triples Les transpositions 2 x 3 / 2 x 30 / 20 x 3 … doivent s’enseigner ! REMARQUE : On peut recommander de présenter séparément la « table des carrés » On doit éviter la « table » de 0 et de 1 calcul mental (1)

20 Interroger sur les tables (addition) :
Alterner : Oral (sans écrit) Ecrit (sans oral) 6 + 7 ? + 7 = 13 et ? + 6 = 13 et 13 - ? = 7 et 13 - ? = 6 Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13… Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13… Remarques applicables aux deux diapositives suivantes… La récitation des tables ne doit pas faire l’objet d’un travail trop systématique : il favorise la mémorisation d’un bloc (qu’il faudra alors réciter, en entier, pour retrouver un résultat). Les interrogations doivent être variées, diverses (formes) et fréquentes (quotidiennes – des temps courts). Le seul écrit autorisé est le résultat du calcul. Une variable des interrogations est essentielle : Oral / Ecrit Les mécanismes en jeu, l’organisation en mémoire de travail y sont très différentes : ces deux types d’entraînement sont très complémentaires. Exemple d’interrogations : dix calculs écrits au tableau – SILENCE TOTAL (pas de lecture, pas de murmures) dix calculs dits (aucun support visuel) Réponse des élèves : Ardoise (La Martinière - gros succès d’école…) vitesse, visibilité directe du maître. On doit interroger l’efficacité de cette méthode… Cahier : les résultats écrits sur le « cahier du jour » (cahier de l’entraînement des élèves) permettent la concentration (pas d’arrêt entre les calculs, pas de déperdition d’attention). La liste des calculs et des réponses est fournie et permet à l’élève de connaître son taux de réussite (d’intervenir au niveau de sa table « lacunaire » personnelle) La présence sur le cahier permet le suivi du travail quotidien dans ce domaine (l’enseignant, l’élève, les parents). Remarque sur la « correction » : On sait que beaucoup de temps est consacré à la « correction ». Est-il utile, nécessaire, de corriger chaque cas ? L’objectif étant la mémorisation, on peut douter qu’un travail ponctuel lié aux aléas des interrogations participe à cet ancrage qui relève d’un travail spécifique et structuré. Cet avis n’englobe pas la mise en commun dans les séances où les procédures sont en jeu. On y revient un peu plus loin. Enseigner les analogies : 6 + 7… … 6 + 7… 6 + 7… … calcul mental (1)

21 En 14 combien de fois 2 (de fois 7) 20 x 7 2 x 70 140 : 2
Interroger sur les tables (multiplication) : Oral (sans écrit) Ecrit (sans oral) Alterner : 2 x 7 ? x 7 = 14 et 2 x ? = 14 14 : 2 (dès le CE1) et 14 : 7 En 14 combien de fois 2 (de fois 7) 20 x x 70 140 : 2 (voir commentaires de la diapositive précédente) Une remarque (Stanislas DEHEANE – « La bosse des maths – 15 ans après » Pour l’expert, les QCM associant les résultats de la somme et du produit des deux nombres présentent une difficulté sensible dans les choix (il y a une grande proximité de ces deux connaissances). Remarque annexe : il en est de même lorsque l’on propose des résultats successifs des tables (par exemple, pour 6x7, 42 – 49 – 56 ou 36 – 42 – 48 …) Suite des nombres de … en … (croissante, décroissante) QCM 2 x 7 = ? 14 ? calcul mental (1)

22 La mémorisation des faits numériques relève d’un enseignement !
On observe que les interrogations en calcul mental sont quotidiennes, dans beaucoup de classes. Mais l’enseignement qui participe à la construction de ces apprentissages est quasi absent. L’école interroge-t-elle, évalue-t-elle des connaissances qu’elle n’a pas enseignées ??? calcul mental (1)

23 Procédures : repères pour le calcul mental – « Le nombre au cycle 2 »
Compléter à 10 à la dizaine supérieure Compléter à 100 à la centaine supérieure Trouver le complément quand il s’agit de 10, multiples de 10, 100… Ajouter, retirer 10, 100 Calculer des additions en ligne Décomposition additive d’un nombre Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine ou centaine supérieure Compléter des égalités de type : = 47 + … A enseigner : 123 – 56 = Extrait de « Le nombre au cycle 2 » Dans l’article qui a été lu, les stagiaires ont pu lister les repères suivants. Ils ne sont pas exhaustifs. Y en a-t-il d’autres (les doubles, les moitiés…) ? On peut proposer que chaque stagiaire investisse l’une ou l’autre de ces procédures pendant l’intervalle entre les deux présentiels. QUELLES TRACES ECRITES SUR LES « CAHIERS MÉMOIRE » ??? calcul mental (1)