Géométrie et communication graphique

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1 Géométrie et communication graphique
Cours 3: Courbes enveloppes Edouard Rivière-Lorphèvre

2 Famille de courbes à un paramètre
Ajout d’un paramètre (avec domaine de variation) à une des représentations de courbes L’ensemble des courbes pour les différentes valeurs du paramètre s’appelle une famille de courbes 𝐹 𝑥,𝑦,𝑚 ≡𝑦−𝑚𝑥−2=0 𝐹 𝑥,𝑦,𝑝 ≡𝑦−𝑥−𝑝=0

3 Exemple d’application
Soit une bielle dont les extrémités glissent sur deux glissières E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

4 Exemple y m=tan(-q) p=L.sin q L q x y=mx+p
On va tenter de rechercher l’enveloppe des différentes positions de la bielle dans son mouvement Éviter les interférences avec d’autres pièces On est en présence d’une famille de courbes (droite) à un paramètre y=mx+p y m=tan(-q) p=L.sin q 𝑦=− tan 𝜃 .𝑥+𝐿. sin 𝜃 L q 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 ≡ 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃 −𝐿=0 x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

5 Approche graphique Première approche de l’enveloppe: construction de droites de la famille E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

6 Points de l’enveloppe 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃+∆𝜃 =0
Les points de la frontière sont ceux pour lesquels deux courbes successives (infiniment proches) se coupent L’intersection est obtenue en résolvant le système formé par Quand Dq tend vers 0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃+∆𝜃 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

7 Enveloppe de famille de courbes
Le système peut également s’écrire À la limite quand q tend vers zéro, ce système est équivalent à 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃+∆𝜃 −𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 ∆𝜃 =0 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝜕𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 𝜕𝜃 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

8 Exemple Si on reprend notre exemple, on obtient En éliminant le paramètre entre les deux équations, on peut obtenir l’équation implicite de l’enveloppe E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

9 Exemple 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃= 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 1+ 1 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃
𝑠𝑖𝑛 2 𝜃= 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃= 𝑦/𝑥 2/3 = 𝑥 2/3 𝑦 2/3 = 𝑦 2/3 𝑦 2/3 + 𝑥 2/3 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

10 Exemple De même E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

11 Exemple 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 ≡ 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃 −𝐿=0
E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

12 Au final … Courbe enveloppe (astroïde)
E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

13 Forme paramétrique de l’enveloppe
Obtention de la forme implicite de l’enveloppe pas toujours réalisable Par contre, la forme paramétrique est toujours disponible E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

14 Forme paramétrique de l’enveloppe
Équation paramétrique de l’enveloppe E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

15 Forme paramétrique de l’enveloppe
Equivalence entre les deux approches E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

16 Propriété des points de la courbe enveloppe
Les points de la courbe enveloppe sont appelés points caractéristiques Les points de la courbe enveloppe appartiennent aux courbes de la famille Au point de contact courbe – enveloppe, les tangentes sont communes (si le point est un point régulier) 2 types de solution au système d’équation Courbe enveloppe Lieu des points singuliers des courbes 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝜕𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 𝜕𝜃 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

17 Exemple Rechercher l’enveloppe d’une famille de paraboles semi-cubiques E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

18 Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

19 Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

20 Première solution  y=5x
E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

21 Deuxième solution E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

22 graphique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

23 Droite 1 (0,0) racine double (point singulier) (5;11,18)
𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 𝜕𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 = 3 𝑥 2 2𝑦 = 0 0 (0,0) racine double (point singulier) (5;11,18)  La droite 1 est le lieu des points singuliers E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

24 Droite 2 (11,11;37,04) racine double (2,77;-4,62)
 La droite 2 est une courbe enveloppe à proprement parler E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

25 Droite 3 (11,11;-37,04)  La droite 3 est donc à rejeter
E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

26 Propriété des points de la courbe enveloppe
Les points de la courbe enveloppe sont appelés points caractéristiques Les points de la courbe enveloppe appartiennent aux courbes de la famille Au point de contact courbe – enveloppe, les tangentes sont communes (si le point est un point régulier) 2 types de solution au système d’équation Courbe enveloppe Lieu des points singuliers des courbes 𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 =0 𝜕𝐹 𝑥,𝑦,𝜃 𝜕𝜃 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

27 Famille de courbe avec plusieurs paramètres
Exemple: famille d’ellipses dont les mesures des axes sont les projections du rayon d’un cercle E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

28 Enveloppe ? Deux possibilités:
Éliminer un des paramètres entre les relations Analyse de la dérivée composée E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

29 Dérivée composée E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

30 Au final Soit une famille de courbe à deux paramètres et une relation entre les deux paramètres La courbe enveloppe est obtenue par l’élimination des paramètres dans le système: 𝐹 𝑥,𝑦,𝛼,𝛽 =0 𝜙 𝛼,𝛽 =0 𝐽= 𝜕𝐹 𝜕𝛼 𝜕𝐹 𝜕𝛽 𝜕𝜙 𝜕𝛼 𝜕𝜙 𝜕𝛽 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

31 Retour à l’exemple Dans (1)  y²=µ² 1
E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

32 Enveloppe E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

33 Courbe donnée par ses équations paramétriques
Le principe de calcul est le même: emploi du Jacobien E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

34 Exemple d’application
Zone de sécurité dans une carrière: Explosion en un point donné au sol Projection de fragments dans l’espace avec une vitesse initiale de 20 m/s Accélération de la pesanteur 9,81 m/s² Quelle est la forme de l’enveloppe de toutes les trajectoires ? Quelle est la distance de sécurité (pas de rebond) ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

35 Zone de sécurité y 20 m/s x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

36 Introduction | représentation courbe |Tangente
1e possibilité y=f(x)  𝑥= 𝑓 1 (𝑝) 𝑦= 𝑓 2 (𝑝) Éliminer le paramètre 𝑥=𝑉0. cos 𝜃 .𝑡 𝑦=ℎ0+𝑉0 sin 𝜃.𝑡−𝑔 𝑡 2 2 𝑡= 𝑥 𝑉0. cos 𝜃 𝑦=ℎ0+𝑉0 sin 𝜃. 𝑥 𝑉0. cos 𝜃 −𝑔 𝑥 𝑉0. cos 𝜃 𝑦=ℎ0+ tan 𝜃.𝑥− 𝑔 2 𝑉0. cos 𝜃 𝑥 2 Parabole E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

37 2e possibilité 𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑡 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑡−𝑔 𝑡 2 2 Paramètre
𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑡 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑡−𝑔 𝑡 2 2 Paramètre (au sens de la famille paramétrique) Paramètre (au sens de l’équation paramétrique)

38 𝑥= 𝑉 0. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑡 𝑦= 𝑉 0. 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑡−𝑔 𝑡 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝜃 =− 𝑉 0 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑡 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑡−𝑔 𝑡 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝜃 =− 𝑉 0 𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 = 𝑉 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜃 = 𝑉 0 𝑐𝑜𝑠𝜃.𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 = 𝑉 0 𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑔𝑡

39 𝐽= 𝜕𝑥 𝜕𝑡. 𝜕𝑦 𝜕𝜃 − 𝜕𝑦 𝜕𝑡. 𝜕𝑥 𝜕𝜃 = 𝑉 0 𝑡 𝑉 0 −𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑔
𝐽= 𝜕𝑥 𝜕𝑡 . 𝜕𝑦 𝜕𝜃 − 𝜕𝑦 𝜕𝑡 . 𝜕𝑥 𝜕𝜃 = 𝑉 0 𝑡 𝑉 0 −𝑠𝑖𝑛𝜃.𝑔.𝑡 =0 𝑡=0 𝑜𝑢 𝑡= 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑔 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃

40 𝑥= 𝑉 0 .𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦= 𝑉 0 .𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑔 𝑉 0 𝑔.𝑠𝑖𝑛𝜃 2 2
𝑥= 𝑉 0 ² 𝑔.𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑦= 𝑉 0 ² 𝑔 1− 1 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃 1− 1 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃 = 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃−1 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃 = 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃− 𝑐𝑜𝑠²𝜃+𝑠𝑖𝑛²𝜃 2.𝑠𝑖𝑛²𝜃 = − 1 𝑡𝑎𝑛²𝜃

41 𝑦= 𝑉 0² 2𝑔 1− 𝑔 2 𝑉 0 4 𝑥²  parabole 𝑍𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑠é𝑐𝑢𝑟𝑖𝑡é:𝑦=0
𝑥= 𝑉 0 ² 𝑔.𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑦= 𝑉 0 ² 2𝑔 1− 1 𝑡𝑎𝑛²𝜃 𝑦= 𝑉 0² 2𝑔 1− 𝑔 2 𝑉 𝑥²  parabole 𝑍𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑠é𝑐𝑢𝑟𝑖𝑡é:𝑦=0 𝑥= 𝑉 0 ² 𝑔 = 400 9,81 =40,774 𝑚

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