Géométrie et communication graphique

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1 Géométrie et communication graphique
Cours 2: Morphologie de courbes planes Edouard Rivière-Lorphèvre

2 Morphologie des courbes planes
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Morphologie des courbes planes Etude des points singuliers Points où la morphologie locale de la courbe présente des particularités Points multiples Discontinuité de tangentes rebroussement Asymptotes de courbes

3 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Fonction vectorielle Application d’un domaine de ℝ dans ℝ 2 qui associe à toute réel du domaine un point de ℝ 2 y x ℜ domaine E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

4 Lien avec la forme paramétrique
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Lien avec la forme paramétrique 𝑥= 𝑓 1 (𝑝) 𝑦= 𝑓 2 (𝑝)  𝑉 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑓 1 (𝑝) . 𝑢 𝑥 + 𝑓 2 (𝑝) . 𝑢 𝑦 Cette constatation permet de régler un grand nombre de questions préliminaires: 𝑉 𝑝 est continue sur un domaine si 𝑓 1 (𝑝) et 𝑓 2 (𝑝) le sont 𝑉 𝑝 est dérivable sur un domaine si 𝑓 1 (𝑝) et 𝑓 2 (𝑝) le sont 𝑉′ 𝑝 = 𝑓′ 1 (𝑝) . 𝑢 𝑥 + 𝑓 ′ 2 (𝑝) . 𝑢 𝑦 𝑉 𝑛 𝑝 = 𝑓 𝑛 1 (𝑝) . 𝑢 𝑥 + 𝑓 𝑛 2 (𝑝) . 𝑢 𝑦 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

5 Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle On peut démontrer que dans l’approche d’une fonction vectorielle, le développement de Taylor est valide E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

6 Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle sécante E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

7 Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle En faisant tendre t vers t0, on fait tendre M vers M0 La sécante tend vers la tangente E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

8 Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Après passage à la limite (tt0), on peut déduire que si 𝑉′ 𝑡 0 existe et est différent du vecteur nul, il définit un vecteur tangent à la courbe définie par la fonction vectorielle 𝑉 𝑡 en t=t0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

9 Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Si 𝑉′ 𝑡 0 est un vecteur nul, le développement peut s’écrire E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

10 Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Tangente à une courbe donnée par sa fonction vectorielle Si 𝑉′ 𝑡 0 = 0 on peut généraliser le vecteur tangent au graphique de la fonction vectorielle est le premier vecteur dérivé d’ordre k non nul de cette fonction vectorielle. On parle de point régulier si 𝑉′ 𝑡 0 ≠ 0 On parle de point singulier de première espèce si 𝑉′ 𝑡 0 = 0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

11 Points singuliers de première espèce
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Points singuliers de première espèce Comment les identifier ? E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

12 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

13 Classification point singulier
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Classification point singulier Définir un repère local permettant de décrire le type de point singulier Rechercher les deux premiers termes non nuls et non colinéaires dans le développement de Taylor 𝐾 1 𝐾 2 P pair  𝑡− 𝑡 0 𝑝 𝑝! ne change pas de signe de part et d’autre de t0 P impair  𝑡− 𝑡 0 𝑝 𝑝! change de signe de part et d’autre de t0 Idem pour q E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

14 Classification point singulier
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Classification point singulier E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

15 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple 𝑉 𝑡 = 1+ 𝑡 2 + 𝑡 3 𝑢 𝑥 + 1+ 𝑡 4 𝑢 𝑦 Points singuliers ? 𝑉′ 𝑡 = 2𝑡+3 𝑡 2 𝑢 𝑥 + 4𝑡 3 𝑢 𝑦 Point singulier de première espèce en t=0 (point (1,1)) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

16 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple Différentes dérivées jusqu’à en obtenir deux non nulles 𝑉′′ 𝑡 = 2+6𝑡 𝑢 𝑥 𝑡 2 𝑢 𝑦 → 𝑉′′ 0 =2 𝑢 𝑥 (p=2) 𝑉′′′ 𝑡 =6 𝑢 𝑥 + 24𝑡 𝑢 𝑦 → 𝑉′′′ 0 =6 𝑢 𝑥 colinéaire 𝑉′′′′ 𝑡 =0 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 → 𝑉′′′′ 0 =24 𝑢 𝑦 (q=4) P et q pairs  rebroussement de 2e espèce E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

17 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Graphique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

18 Classification point régulier
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Classification point régulier Pour un point régulier on a nécessairement p=1 Seulement deux possibilités selon la parité de q E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

19 Autres types de singularités
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Autres types de singularités On parle de point singulier de première espèce si 𝑉′ 𝑡 0 = 0 D’autres singularités peuvent exister Discontinuité de tangence (point anguleux): dérivée à gauche et à droite différentes Point multiple (la fonction passe plusieurs fois par le même point Point isolé E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

20 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Pour identifier les autres types de points singuliers, il est plus simple de passer par la fonction implicite Les points singuliers sont ceux pour lesquels la pente de la tangente à la courbe présente une indétermination (0/0 par exemple) indéterminé E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

21 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Règle de l’hospital Sous des conditions d’existence et de continuité satisfaites ici, l’indétermination peut être levée par: Puis en augmentant ensuite l’ordre de dérivation si l’expression conduit encore à une indétermination E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

22 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Pente de la tangente Pente E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

23 Équation de deuxième degré en p
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Équation de deuxième degré en p D>0: deux pentes distinctes  point double D=0: une seule tangente  point singulier de 1e espèce D<0: pas de tangente  point isolé E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

24 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Type de point D>0 D=0 D<0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

25 Exemple: lemniscate de Bernoulli
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Exemple: lemniscate de Bernoulli Courbe définie par l’équation implicite 𝐹 𝑥,𝑦 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 2 −2 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑦 2 =0 Points singuliers ? 𝜕𝐹 𝜕𝑥 =2.2𝑥. 𝑥 2 + 𝑦 2 −2. 𝑎 2 .2𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =2.2𝑦. 𝑥 2 + 𝑦 𝑎 2 .2𝑥 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

26 Lemniscate de Bernoulli
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Lemniscate de Bernoulli Points singuliers si les deux dérivées s’annulent Dérivée selon x s’annule si x=0 ou x²+y²=a² 𝜕𝐹 𝜕𝑥 =4𝑥. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑎 2 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =4𝑦. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎 2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

27 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
X=0 S’annule si y=0  (0,0) point singulier ? 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =4𝑦. 𝑦 2 + 𝑎 2 𝐹 𝑥,𝑦 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 −2 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑦 2 =0 𝐹 0,0 ≡ −2 𝑎 − 0 2 =0 OK E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

28 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
x²+y²=a² S’annule si y=0  (a,0) et (-a,0) points singuliers ? 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =4𝑦. 𝑎 2 + 𝑎 2 𝐹 𝑥,𝑦 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 −2 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑦 2 =0 𝐹 ±𝑎,0 ≡ 𝑎 −2 𝑎 2 𝑎 2 − 0 2 =−4 𝑎 4 NOK E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

29 Type de point singulier ?
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Type de point singulier ? 𝜕 2 𝐹 𝜕 𝑥 2 =12 𝑥 2 +4 𝑦 2 −4 𝑎 2 𝜕𝐹 𝜕𝑥 =4𝑥. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑎 2 𝜕 2 𝐹 𝜕 𝑦 2 =4 𝑥 𝑦 2 +4 𝑎 2 𝜕𝐹 𝜕𝑦 =4𝑦. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎 2 𝜕 2 𝐹 𝜕𝑥𝜕𝑦 =8𝑥𝑦 𝑒𝑛 0,0 → 4 𝑎 2 𝑝 2 −4 𝑎 2 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

30 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Pente des tangentes En (0,0) point double, pente des tangentes = ± 1 (tangentes à 45°) 4 𝑎 2 𝑝 2 −4 𝑎 2 =0 4 𝑎 2 𝑝−1 𝑝+1 =0 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

31 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Graphique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

32 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Etude limitée à la forme explicite Asymptote: à l’infini, la fonction rejoint une droite 3 types selon la pente: Verticale Horizontale Oblique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

33 Asymptote horizontale
Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes Asymptote horizontale Si avec a fini, la courbe présente une asymptote horizontale d’équation y=a De même, si avec b fini, la courbe présente une asymptote horizontale d’équation y=b Une fonction présente au plus deux asymptote horizontales Ex: f(x)=arctan(x) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

34 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Asymptote verticale Si avec a fini, la courbe présente une asymptote verticale d’équation x=a Une fonction peut présenter une infinité d’asymptotes verticales Exemple: f(x)=1/x E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

35 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Asymptote oblique Si avec m fini, la courbe présente une branche asymptotique (mais pas forcément une asymptote oblique) On défini p fini  la droite y=mx+p est asymptote oblique de la fonction P infini  la courbe admet une branche parabolique sans asymptote (‘parabolique’ ne veut pas dire qu’elle se comporte comme une parabole à l’infini) E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

36 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Asymptote oblique Exemple: f(x)=x+1/x lim 𝑥→+∞ 𝑥+ 1 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→+∞ 𝑥² =1 lim 𝑥→+∞ 𝑥+ 1 𝑥 −1.𝑥 = lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 =0  y=x est asymptote oblique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

37 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Asymptote oblique Exemple: f(x)=x+√x lim 𝑥→+∞ 𝑥+ 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→+∞ 𝑥 =1 lim 𝑥→+∞ 𝑥+ 𝑥 −1.𝑥 = lim 𝑥→+∞ 𝑥 =+∞  y=x est une direction asymptotique sans asymptote E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

38 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

39 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple Asymptote vertical X tend vers 1, y tend vers l’infini E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

40 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple Asymptote horizontal en -∞ ? 𝑦=2 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

41 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple Asymptote horizontal en +∞ ?  Pas d’asymptote horizontal en +∞ E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

42 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple Asymptote oblique E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

43 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

44 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple 𝑦=2𝑥+4 E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique

45 Introduction | points singuliers | morphologie| asymptotes
Exemple A.V. A.O. A.H. E. Rivière | FPMs | Service de Génie Mécanique