De Markowitz à Monte Carlo

Présentation au sujet: "De Markowitz à Monte Carlo"— Transcription de la présentation:

1 De Markowitz à Monte Carlo
Les problèmes de la Mise en œuvre de la Théorie du portefeuille

2 Agenda Part 1: Le paradoxe de Markowitz Part 2 : Les simulations
Part 3 : Le resampling

3 Le paradoxe de Markowitz
Les difficultés de la théorie du portefeuille

4 La théorie du portefeuille
Une théorie précise, élégante

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6 La théorie du portefeuille
Aux résultats essentiels pour l’industrie : Gestion indicielle Styles d’indices Méthodes d’évaluation des performances …

7 La théorie du portefeuille
Dont la mise en œuvre a toujours rencontré beaucoup de difficultés.

8 Leçons des optimisations sur données historiques :
les portefeuilles sont très concentrés; les allocations sont très sensibles aux prévisions.

9 Un exemple Les données utilisées : Indices MSCI en actions
Avec une périodicité mensuelle De janvier 1988 à juillet 2007 Les pays : USA, UK, Japon, France, Allemagne, Italie, Espagne, Hong-Kong, pays émergents hors Asie, pays émergents d’Asie

10 L’optimisation dans la pratique

11 Un exemple Les paramètres de l’optimisation
pour un niveau d’aversion au risque = 5 Une absence de vente à découvert

12 L’optimisation dans la pratique
Un portefeuille optimal concentré

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14 Un exemple Avec des portefeuilles longs,
Positions sur 25 à 33% des titres Des portefeuilles peu diversifiés Où la sélection doit être TRES judicieuse

15 L’impact des VADE L’impact des ventes à découvert

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17 Un exemple Avec des portefeuilles long/short,
Des positions sur tous les titres Avec des effets de levier Des risques considérables

18 L’impact de la VADE Un effet important sur la performance ex ante

19 L’impact des VAD

20 Les leçons de l’optimisation des portefeuilles
Avec VADE ou sans VADE, Des portefeuilles risqués pour des gérants institutionnels

21 L’impact des erreurs d’estimation
Une pratique courante et intuitive : Pour définir les inputs nécessaires des optimisateurs (rendements espérés, covariances), Recours aux données historiques

22 La sensibilité à l’échantillonnage
Les données historiques : uniquement un échantillon de la « population » Le problème de l’inférence des vraies valeurs à partir de l’échantillon Question : peut-on avoir confiance dans les données historiques

23 Contre-exemple par le resampling
Le comme si : Les statistiques (moyennes, covariances) sont les paramètres définissant la « vraie » loi des rendements Resimulation de 1000 échantillons sur une durée de 20 ans (plus précisément 235 mois) Remarque : 20 ans une durée difficile à étendre

24 Les résultats : les rendements moyens

25 Les résultats : les volatilités

26 Résultats sur les rendements
La lenteur de la convergence des estimations même dans le cas iid normal!

27 Résultats sur les rendements
Conséquence au niveau des portefeuilles : l’éparpillement des performances de l’optimisation

28 La distribution des statistiques des portefeuilles optimaux

29 Le graphique le plus « informatif »

30 Les rendements moyens

31 Les volatilités

32 La VAR paramétrique à 5%

33 Le ratio de Sharpe

34 La sensibilité à l’échantillonnage
Si on relâche les contraintes de financement, les performances sont pires encore!

35 Le paradoxe de Markowitz
Empiriquement il arrive fréquemment que le portefeuille equipondéré fasse mieux même sur 10 ans et plus que les portefeuilles optimisés!!!  « Optimisation du portefeuille ou maximisation des erreurs »

36 Le paradoxe de Markowitz
Explications Mathématiquement : la linéarité des cpo le portefeuille optimal est alors très sensible à des modifications des paramètres …

37 Le paradoxe de Markowitz
Sans prise en compte du risque d’erreurs d’estimation, l’optimisation conduit alors à parier excessivement sur des outliers qui ne sont que des mirages D’où « l’optimisation à la Markowitz = la maximisation des erreurs »

38 Que faire? 4 pistes Ne plus optimiser « Torturer » les modèles
Recourir à la simulation Utiliser d’autres informations

39 Recherche de Barra sur le screening :
Ne plus optimiser Screening Critères de sélection Tri Sélection Recherche de Barra sur le screening : performance inférieure à l’optimisation (« sophistiquée »)

40 « Torturer les modèles »
Introduire des contraintes de financement L’impact positif de l’interdiction des VAD Et d’autres contraintes quantivatives L’explication : la pénalisation des rendements extrêmes

41 Utiliser la simulations des rendements pour
Le resampling Utiliser la simulations des rendements pour Évaluer ex-ante la distribution des performances Construire des portefeuilles alternatifs

42 Le resampling Resampling À la Jorion A la Michaud

43 Les méthodes de Simulation

44 Simulation d’une loi normale
univariée multivariée

45 prob F rend

46 Loi normale multivariée
Le problème supplémentaire La corrélation des variables Exemple : N titres dont on simule les rendements sur T périodes

47 Loi normale multivariée
Les inputs Le vecteur des N rendements espérés Le vecteur des N volatilités La matrice des NxN corrélations

48 Loi normale multivariée
La démarche (1) Simulations de N séries indépendantes de variables aléatoires (v.a.) centrées réduites suivant la loi normale (2) La corrélation avec la matrice de Cholesky (3) L’ajustement des moments

49 La technique du resampling
Jorion (1992, Financial Analyst Journal) “Portfolio Optimization in Practice”. Richard Michaud (1998) R. Michaud a aussi déposé un brevet pour cette méthode U.S. Patent #6,003,018 by Michaud et al., December 19, 1999. Ibbotson Associates utilise aussi une technique de resampling notamment dans leur logiciel EnCorr

50 Le resampling Une technique Monte Carlo pour estimer les inputs de l’optimisation moyenne variance et éventuellement la frontière. … conduisant à des portefeuilles diversifiés. une technique brevetée par Richard Michaud depuis 1999.

51 La procédure Estimation du rendement, des écart-types et des corrélations. Nouvelles simulations calibrées sur les statistiques précédentes conduisant à de nouvelles estimations. Estimations des portefeuilles efficients correspondants à ces nouvelles estimations et pour différents niveaux de volatilité.

52 La procédure (suite) Répétition de 2 et 3 (>1000 simulations)
Calcul de l’allocation moyenne ainsi obtenu et estimation du rendement moyen pour chaque niveau de volatilité. Détermination de la « frontière rééchantillonnée » à l’aide du portefeuille moyen et des statistiques initiales.

53 Historique 1 « vrai » historique Historique 2 Historique N

54 La distribution des statistiques des portefeuilles optimaux

55 Le graphique le plus « informatif »

56 Les rendements moyens

57 Les volatilités

58 La VAR paramétrique à 5%

59 Le ratio de Sharpe

60 Remarque Les portefeuilles sont optimisés sur les données simulées,
Mais évalués avec les moments de l’historique initial (considérés comme les vrais moments).

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62 Les efficient resampled portfolios
L’efficient resampled portfolio = moyenne des portefeuilles simulés correspondant soit au même niveau de volatilité exigé, soit au même niveau d’aversion Avantage : par construction, un portefeuille beaucoup plus diversifié Et donc susceptible de limiter des paris intempestifs

63 Exemple Données de 1993 à 2007

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66 La zone d’acceptation des portefeuilles
Les portefeuilles appartenant à la même classe (même volatilité recherché ou même aversion) sont ensuite classés. Pour un seuil , on détermine la distance minimale pour laquelle à ce seuil le portefeuille p est statistiquement différent du portefeuille le plus efficient.

67 La zone d’acceptation des portefeuilles
Avantage : Une approche statistique Aboutissant souvent à minimiser les rebalancements de portefeuille et donc les coûts de transaction. Limite : Test assez faible sur de nombreuses données.

68 Critique du resampling
Critiques de Scherer (2002): les portefeuilles obtenus subissent les erreurs d’estimation initiales. L’absence de théorie – pourquoi choisir les « portefeuilles rééchantillonnées ». la frontière obtenue peut comporter des parties croissantes.

69 Une surestimation de la méthode
Aversion de 5 procédure de double simulation (100 x 100) Simulation de 100 historiques observés par le gérant Et pour chaque historique observé, le gérant simule 100 historiques pour détermine l’efficient resampled portfolio…

70 Une surestimation de la méthode

71 Une surestimation de la méthode

72 Une surestimation de la méthode

73 Une surestimation de la méthode

74 Le resampling peut conduire à de fortes variations au
cours du temps.