Reconstruction de Surfaces

Présentation au sujet: "Reconstruction de Surfaces"— Transcription de la présentation:

1 Reconstruction de Surfaces
Jean-Emmanuel Deschaud Centre de Robotique (CAOR) MINES ParisTech

2 Nuages de points et modélisation 3D Vue d’ensemble
Capteurs & étalonnage Consolidation Recalage Outils Géométrie différentielle Nuage de points Rendu par points Structuration (k-D tree, etc.) Reconstruction de surfaces Modélisation paramétrique Descripteurs 3D Segmentation sans modèle Modèle de surface 3D Rendu polygonal

3 Plan du cours Introduction / Problématique
Représentations d’une surface Méthodes de reconstruction Bilan et comparaisons

4 Pourquoi faire de la reconstruction de surfaces?
Exemple de visualisation d’un nuage de points (CloudCompare)

5 Domaines d’applications
Génie civil / Archéologie Archivages, restitutions Secteur médical Modèle 3D dentaire Industrie Etude de conformité de pièces mécaniques Modèle 3D du Forum Gallo-Romain de Vieux-la-Romaine

6 Projets au CAOR Création de modèles 3D de villes pour des simulateurs de tramway (projet SIMVIR) Réalité Modèle 3D

7 Problématique sur les courbes
Une courbe Ensemble de points échantillons Courbe reconstruite

8 Problématique sur les surfaces
Ensemble de points Surface reconstruite

9 Problèmes pas aussi simples
Densité non homogène Superposition de courbes Bruit de mesure

10 Définition de Reconstruction
C’est l’approximation d’une courbe ou d’une surface par une représentation analytique ou géométrique Données d’entrée : échantillonnage de la courbe ou de la surface sous forme d’ensemble de points Données de sortie : courbe ou surface définie par une représentation analytique ou géométrique

11 Contraintes de la reconstruction
La surface reconstruite peut être : Continue Différentiable Avec ou sans bords

12 Contraintes de la reconstruction
La surface reconstruite peut être : Approximante Interpolante Surface approximante Surface interpolante

13 Plan du cours Introduction / Problématique
Représentations d’une surface Méthodes de reconstruction Bilan et comparaisons

14 Représentations d’une surface
Reconstruction ≠ maillage Reconstruction = retrouver la surface représentée par le nuage Maillage = forme de représentation de cette surface (très utilisée dans les moteurs de rendu actuels)

15 Représentation géométrique
Maillage = ensemble de sommets connectés Maillage polygonal : connexion entre sommets formant des cycles et définissant des polygones Maillage triangulaire : polygone = triangle On parle ici de maillage surfacique

16 Contraintes sur les maillages
Maillage variété (manifold) : Chaque arête doit appartenir à au plus 2 triangles Les triangles de chaque sommet doivent former un cycle ou un demi-cycle (point du bord)

17 Contraintes sur les maillages
Triangles isotropiques ou anisotropiques Maximiser angle minimal du triangle ? Minimiser r ? Triangles plus isotropiques

18 Représentation analytique
Implicite : Exemple : Cas particulier : Explicite

19 Représentation analytique
Paramétrique : Exemples :

20 Représentation implicite discrète
Fonction distance à la surface Structure de données (Voxels, Octree…) Exemple :

21 Changement de représentation
Maillage -> Implicite : Définir une structure de données Définir une distance au maillage Implicite -> Maillage : Méthode classique : Marching cubes

22 Marching Cubes [Lorensen et et, 1987]
Espace découpé en voxels Distance signée calculée en chaque sommet d’un voxel 256 possibilités qui amènent à la création de 0, 1, 2 ou 3 triangles dans chaque voxel

23 Exemple en 2D : Marching Squares

24 3D : Marching Cubes Classification des cellules: – Intérieur
– Extérieur – Intersectant

25 3D : Marching Cubes

26 Plan du cours Introduction / Problématique
Représentations d’une surface Méthodes de reconstruction Bilan et comparaisons

27 Deux types de méthodes pour la reconstruction
Méthode Locale Voisinage local qui définit le nombre de points à prendre en compte Méthode Globale Besoin de tous les points du nuage

28 Critères de bonne méthode de reconstruction
Métrique d’évaluation ? Représentation de l’incertitude des données Preuve de convergence Robustesse au bruit Robustesse aux points aberrants Restriction ou non à un type topologique Rapidité/Mise à l’échelle (taille de l’échantillon) / Parallélisation possible?

29 Critères de bonne reconstruction
Distance à une vérité terrain Vérité Terrain (VT) obtenue par une technologie plus avancée / plus cher Distance entre maillages Mesures relatives sur la surface réelle Comparaison avec la surface reconstruite

30 Plan du cours Introduction / Problématique
Représentations d’une surface Méthodes locales de reconstruction Par propagation Par projection Méthodes globales : de Crust à Poisson Bilan et comparaisons

31 Ball Pivoting Algorithm (BPA)
Principe [Bernardini et al, 1999]

32 Ball Pivoting Algorithm (BPA)
Résultat

33 Ball Pivoting Algorithm (BPA)
Limitation

34 Démonstration sous Meshlab
Logiciel Meshlab Nuage de points Bunny de Stanford : Histoire du Bunny :

35 Plan du cours Introduction / Problématique
Représentations d’une surface Méthodes locales de reconstruction Par propagation Par projection Méthodes globales : de Crust à Poisson Bilan et comparaisons

36 Plan du cours Méthodes locales par projection [Hoppe et al, 1992]
Ajustement par moindres carrés glissants (fonctions réelles) Adaptation aux surfaces : MLS explicite

37 [Hoppe et al, 1992] Article qui a popularisé la recherche sur la reconstruction de surface Pour un point de l’espace Prendre le point le plus proche La surface est définie par :

38 [Hoppe et al, 1992] Principe

39 [Hoppe et al, 1992] Approximation linéaire par morceaux non continue

40 [Hoppe et al, 1992] Résultat Nuage de 4102 points venant d’un modèle CAO Maillage obtenu par marching cubes

41 Plan du cours Méthodes locales par projection [Hoppe et al, 1992]
Ajustement par moindres carrés glissants (fonctions réelles) Adaptation aux surfaces : MLS explicite

42 Limitation de la résolution par moindre carré
Ajustement de quadriques par moindre carré non continue

43 Moindre carrés glissants
Ajustement par MLS (Moving Least Squares) [Levin, 1998]

44 Plan du cours Méthodes locales par projection [Hoppe et al, 1992]
Ajustement par moindres carrés glissants (fonctions réelles) Adaptation aux surfaces : MLS explicite

45 Surface MLS explicite, étape 1
Calcul d’un plan tangent de référence

46 Surface MLS explicite, étape 2
Polynôme à deux variables sur ajusté aux points

47 Surface MLS explicite On projette sur la surface polynomiale :

48 Surface MLS explicite Résultat [Alexa et al, 2001]

49 Exemple de surface IMLS
Surface IMLS rendue par raytracing : [Adamson et al, 2003]

50 Démonstration avec Meshlab
Logiciel Meshlab Reconstruction par RIMLS [Oztireli et al, 2009] Variante plus récente de IMLS

51 Intérêts de MLS Reconstruction de courbes/surfaces
Détection et suppression de points aberrants et d’artefacts Débruitage de nuages de points Rééchantillonage du nuage de points

52 Plan du cours Introduction / Problématique
Représentations d’une surface Méthodes locales de reconstruction Méthodes globales : Reconstruction interpolante : Crust Reconstruction approximante : Poisson Bilan et comparaisons

53 Diagramme de Voronoi Cellule de Voronoï Diagramme de Voronoï
Une cellule est l’ensemble des points les plus proches d’un échantillon que de tous les autres échantillons Diagramme de Voronoï L’espace partitionné en cellules de Voronoï Sommet de Voronoï Un sommet est équidistant à d+1 échantillons dans Rd Equidistant à 3 échantillons dans R2 Equidistant à 4 échantillons dans R3

54 Voronoï : exemple en 2D

55 Quelques cellules de Voronoï
Voronoï : exemple en 3D Quelques cellules de Voronoï Diagramme de Voronoï Frontière Points

56 Triangulation de Delaunay
Définition : Les cercles/sphères circonscrits de chaque triangle/tétraèdre ne contiennent pas d’autres points Propriétés : Dual du diagramme de Voronoï : deux sommets sont connectés s’ils partagent une frontière de Voronoï Les sommets de Voronoï sont les centres des cercles/sphères circonscrits

57 Triangulation de Delaunay
Exemple en 2D

58 Triangulation de Delaunay 3D
Démonstration sous Meshlab Attention, la triangulation de Delaunay en 3D est constitué de tétraèdres

59 Axe médian Définition :
Lieu des centres des boules tangentes à la courbe/surface en deux points ou plus

60 Axe médian Pas forcément un axe Peut être dégénéré : Généralement :
Point pour un cercle Droite pour un cylindre Généralement : Courbe en 2D Surface en 3D Touche la courbe/surface aux points de discontinuité de la normale

61 Exemples d’axe médian en 3D

62 Propriété du Diagramme de Voronoï
Le diagramme de Voronoï peut être vu comme une forme discrète de l’axe médian

63 Crust en 2D [Amenta et al, 1998]
Reconstruction d’une courbe à l’aide du diagramme de Voronoï : On veut sélectionner les arêtes de Delaunay qui relient des points « adjacents » Les arêtes de Delaunay des points « adjacents » ont un cercle qui ne contient aucun autre échantillon et aucun point de l’axe médian

64 Résultats Exemples de reconstruction Crust 3D

65 Démonstration Démonstration sous Meshlab

66 Avantages Garantie théorique d’approximation de la surface pour un échantillonage suffisamment dense Pas besoin de paramètres experimentaux dans l’algorithme Pas besoin de normales ni d’orientation des points Pas sensible à la distribution des points Approximation de l’axe médian

67 Inconvénients Echantillonage des points doit être dense sur les détails Sous-échantillonage cause des trous Ne gère pas les arêtes vives L’ensemble des points où les normales sont discontinues Les bords cause des problèmes Très lent car calcul de diagrammes de Voronoï en 3D sur l’ensemble des points Surface non homéomorphe à la surface d’origine Besoin d’orienter l’ensemble des triangles extraits de manière consistente et rendre le maillage 2-variété

68 Plan du cours Introduction / Problématique
Représentations d’une surface Méthodes locales de reconstruction Méthodes globales : Reconstruction interpolante : Crust Reconstruction approximante : Poisson Bilan et comparaisons

69 Approche par fonction implicite
Définir une fonction dont les valeurs inférieures à zéro sont à l’extérieur et les valeurs supérieures à zéro à l’intérieur Extraire l’iso-surface zéro < 0 > 0

70 Le schéma de Poisson [Kazhdan et al, 2006]
Formulation globale pour la robustesse Système linéaire creux pour la rapidité

71 Poisson surface reconstruction
S Points orientés 1 1 1 1 1 1 2-variété inconnue Fonction indicatrice Gradient de l’indicatrice M M M

72 Approche de Poisson Trouver la fonction  qui approxime le gradient en minimisant E: i.e. résoudre l’équation de Poisson : Extraire l’isosurface -1(0.5)

73 Discrétisation Définir un espace de fonctions pour  et V:
On veut résoudre : Cela revient à résoudre : avec

74 Discrétisation Besoin d’une solution précise seulement près de la surface  Octree (arrêt : 1 point par cellule)

75 Implémentation En partant des échantillons: Calculer l’octree
Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Extraire l’isosurface

76 Implémentation: octree
En partant des échantillons : Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Extraire l’isosurface

77 Implémentation: champs de vecteur
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Extraire l’isosurface

78 Implémentation: fonction indicatrice
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Calculer la divergence Résoudre l’équation de Poisson Extraire l’isosurface

79 Implémentation: fonction indicatrice
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Calculer la divergence Résoudre l’équation de Poisson Extraire l’isosurface

80 Implémentation: fonction indicatrice
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Calculer la divergence Résoudre l’équation de Poisson Extraire l’isosurface

81 Implémentation: fonction indicatrice
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Calculer la divergence Résoudre l’équation de Poisson Extraire l’isosurface

82 Implémentation: fonction indicatrice
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Calculer la divergence Résoudre l’équation de Poisson Extraire l’isosurface

83 Implémentation: fonction indicatrice
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Calculer la divergence Résoudre l’équation de Poisson Extraire l’isosurface

84 Implémentation: fonction indicatrice
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Calculer la divergence Résoudre l’équation de Poisson Extraire l’isosurface

85 Implémentation: fonction indicatrice
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Calculer la divergence Résoudre l’équation de Poisson Extraire l’isosurface

86 Implémentation: extraction de la surface
En partant des échantillons: Calculer l’octree Calculer le champs de vecteur Calculer la fonction indicatrice Extraire l’isosurface

87 Démonstration Démonstration sous Meshlab

88 Comparaison avec le Power Crust
Poisson

89 Résultat : David de Michelangelo
215 millions de points provenant de 1000 scans 22 millions de triangles après la reconstruction Temps de calcul : 2.1 heures Pic d’usage mémoire: 6600MB

90 David – coups de burin

91 Reconstruction de Poisson
Contributions théoriques : Points orientés  Gradient d’une indicatrice Reconstruction comme problème global de Poisson Résolution reste un système linéaire creux

92 Reconstruction de Poisson
Avantages empiriques: Robuste au bruit S’adapte à la densité d’échantillonage Inconvénients : Nécessite normales et orientations Effectue un filtrage passe-bas dépendant de la profondeur de l’octree

93 Plan du cours Introduction / Problématique
Représentations d’une surface Méthodes de reconstruction Bilan et comparaisons

94 Bilan Bilan sur les méthodes vues : Local interpolant par propagation
BPA Local approximant par définition implicite MLS Global interpolant basé sur Voronoï Crust Global approximant sur définition implicite Poisson

95 Comparaisons Avantages et inconvénients des différentes techniques
Local + Considère seulement le voisinage -> très rapide - Peu robuste aux différences de densité Global + Des garanties d’approximation - Implique de grands systèmes à résoudre -> lent

96 Comparaisons Avantages et inconvénients des différentes techniques
Local BPA : erreurs dans la reconstruction MLS : laisse des trous qui dépend de la densité Global Voronoï : lent et non robuste au bruit Poisson : nécessite toutes les données en mémoire

97 Références Ouvrages : Polygon Mesh Processing, Mario Botsch, Leif Kobbelt, Mark Pauly, Pierre Alliez, Bruno Lévy, 2010 Curve and Surface Reconstruction, Tamal K. Dey, 2007 Point based Graphics, M. Gross, H. Pfister, 2007 Articles : [Boissonnat, 1984] Geometric structures for three-dimensional shape representation [Hoppe et al , 1992], Surface reconstruction from unorganized points [Levin, 1998] The approximation power of moving least-squares [Bernardini et al, 1999] The Ball-Pivoting Algorithm for Surface Reconstruction [Gopi et al, 2000] Surface reconstruction based on lower dimensional localized delaunay triangulation [Alexa et al, 2001] Point set surfaces [Levin, 2003] Mesh-independent surface interpolation [Adamson et al, 2003] Approximating and intersecting surfaces from points [Adamson et al, 2004] On normals and projection operators for surfaces defined by point sets [Kolluri, 2005] Provably good moving least squares [Oztireli et al, 2009] Feature preserving point set surfaces based on non-linear kernel regression

98 Références Articles : [Lorensen et al, 1987] Marching cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm [Amenta et al, 1998] A New Voronoi-Based Surface Reconstruction Algorithm [Amenta et al, 2000] A Simple Algorithm for Homeomorphic Surface Reconstruction [Amenta et al, 2001] The Power Crust [Schaefer et al, 2002] Dual Marching Cubes: Primal Contouring of Dual Grids [Kazhdan et al, 2006] Poisson Surface Reconstruction