GEOMETRIE VECTORIELLE

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1 GEOMETRIE VECTORIELLE
INTRODUCTION CINEMATIQUE GEOMETRIE VECTORIELLE

2 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié
2) Norme d’un vecteur 3) Opérations sur les vecteurs 4) Système de référence 5) Solide indéformable 6) Paramétrage d’un point 7) Angles d’Euler 8) Exemples

3 1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié
Un vecteur (libre ou lié) est un élément de l’espace vectoriel R3 il peut être défini de manière unique par 3 grandeurs (composantes) dans une base donnée de cet espace vectoriel R3 un vecteur libre n’est attaché à aucun point de l’espace. un vecteur lié est attaché à un point de l’espace. Exemple : soit la base Autre notation : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

4 2) Norme d’un vecteur Dans une base orthonormée on définit la norme
d’un vecteur la grandeur positive : Le résultat est indépendant de la base d’écriture (identique aux deux vecteurs) Une base est dite orthonormée quand : les vecteurs la composant sont orthogonaux entre eux la norme de chacun de ses vecteurs vaut 1 (vecteurs unitaires) Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

5 Soient deux vecteurs exprimés dans la même base B0 :
3) Opérations sur les vecteurs Somme de vecteurs : Soient deux vecteurs exprimés dans la même base B0 : Nota : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

6 uniquement si  est positif ou nul
Multiplication par un scalaire : = Nota : uniquement si  est positif ou nul Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

7 Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs vaut :
Le résultat d’un produit scalaire est un réel. Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base : Le résultat est indépendant de la base d’écriture (identique aux deux vecteurs) Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

8 Propriétés du produit scalaire :
Distributivité par rapport à l’addition : Symétrie : Nullité : le résultat d’un produit scalaire est un nul si : l’un des deux vecteurs est nul ou s’ils sont orthogonaux. si Signe du produit scalaire : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

9 Cas d’un vecteur de norme unitaire :
Si alors correspond à la projection sur en valeur algébrique de Cas d’une base orthonormée directe : Si est une base orthonormée directe alors : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

10 avec le vecteur unitaire orthogonal au plan formé par et
Produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur et vaut : avec le vecteur unitaire orthogonal au plan formé par et Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

11 Propriétés du produit vectoriel :
Distributivité par rapport à l’addition : Antisymétrie : Nullité : le résultat d’un produit vectoriel est nul si l’un des deux vecteurs est nul ou s’ils sont colinéaires. Si est une base orthonormée directe alors : Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

12 Double produit vectoriel :
Le résultat est un vecteur. Produit mixte : Invariance par permutation circulaire. Le résultat est un scalaire. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

13 FIN DE LA PREMIERE PARTIE

14 On parle d’espace-temps, de référentiel, d’observateur ou de repère.
4) Système de référence En mécanique on se place dans un système constitué du temps et d’un espace physique : le temps (noté t) permet de repérer tout instant par sa date l’espace physique est associé à un repère O0 Ce repère est défini par : un point d’origine (centre du repère) une base orthonormée directe On parle d’espace-temps, de référentiel, d’observateur ou de repère. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

15 5) Solide indéformable On considèrera toujours que les pièces mécaniques étudiées sont toutes indéformables. Un solide est dit indéformable si quels que soient deux points A et B de ce solide La distance AB reste constante au cours du mouvement ( ) A B Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

16 6) Paramétrage d’un point dans un repère
Pour définir la position d’un solide (S) dans un repère il faut d’abord commencer par lier à ce solide un repère et ensuite définir la position de RS par rapport à R : définir la position de l’origine OS définir l’orientation de la base Nota : comme le solide est supposé indéformable il y a équivalence entre le solide et son repère associé. Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

17 coordonnées cartésiennes
Paramétrage dans le plan coordonnées cartésiennes Le problème se situe dans le plan est un repère orthonormé direct de ce plan. La position d’un point M est définie par ses deux projections orthogonales sur chacun des axes. O M x y Vecteur position OM = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

18 Le problème se situe dans le plan
Paramétrage dans le plan coordonnées polaires Le problème se situe dans le plan sont deux repères orthonormés directs. et La position d’un point M est définie par le rayon r et l’angle  O M x y  r OM Vecteur position = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

19 Coordonnées cartésiennes (dans l’espace) :
est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par ses trois projections orthogonales sur chacun des axes. O M y z x OM Vecteur position Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

20 Coordonnées cylindriques :
est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon r l’angle  et la hauteur z Vecteur position O M z  r OM = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

21 Coordonnées sphériques (dans l’espace):
est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon  l’angle  et l’angle  Vecteur position O M z    OM Dans la base Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

22 Coordonnées sphériques (dans l’espace):
est un repère orthonormé direct. La position d’un point M est définie par le rayon  l’angle  et l’angle  O M z    OM Dans la base = Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

23 = Dans la base    M O z Système de référence Solide indéformable
Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

24 7) Angles d’Euler Toutes les bases sont orthonormées et directes.
Rotation de  autour de précession    2 1 3 Rotation de  autour de nutation Rotation de  autour de rotation propre Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

25    2 1 3  rotation propre  précession  nutation

26 8) Exemples Ecrire les vecteurs de la base dans la base
 Ecrire le vecteur dans la base Système de référence Solide indéformable Angles d’Euler Vecteur Norme Opérations Exemple Paramétrage Exemples

27 FIN