© Fujitsu Canada Distributions de données discrètes et continues Formation Black Belt Lean Six Sigma.

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1 © Fujitsu Canada Distributions de données discrètes et continues Formation Black Belt Lean Six Sigma

2 © Fujitsu Canada 2 Objectifs Connaître les principales distributions de données discrètes et continues Reconnaître quand une distribution doit être utilisée plutôt qu’une autre Approximer des distributions discrètes à l’aide de la distribution normale Savoir utiliser Minitab pour calculer des probabilités d’événements en fonction d’une distribution de probabilité donnée

3 © Fujitsu Canada 3 Distributions de probabilité Les distributions montrent comment les probabilités sont associées à un ensemble de mesures qui proviennent d’un phénomène étudié À partir de ces distributions, il est possible de répondre aux questions suivantes : Quelle est la probabilité que x soit égale à une certaine valeur ? Quelle est la probabilité d’obtenir une valeur inférieure à x ? Quelle est la probabilité d’obtenir une valeur supérieure à x ? Quelle est la probabilité que x se retrouve entre deux valeurs v1 et v2 ? La distribution de probabilité permet d’identifier les représentants de la population étudiée à l’aide de seulement quelques paramètres (ex : moyenne, variance, etc.)

4 © Fujitsu Canada 4 Distributions de probabilité (suite) Voici la liste des distributions les plus utilisées Données discrètes Distribution binomiale Distribution de Poisson Distribution hypergéométrique Données continues Distribution normale Distribution exponentielle Distribution de Student Distribution de Fisher Distribution de Weibull Distribution de Chi-carré

5 © Fujitsu Canada 5 Distribution binomiale Soit une variable aléatoire B qui peut prendre seulement deux valeurs (distribution de Bernoulli) Exemple : B = « unité conforme » ou « unité non-conforme » Soit le paramètre p qui est la proportion d’unités non- conformes dans la population des unités produites : Pour calculer la probabilité d’obtenir x unités non-conformes dans un échantillon de taille n, il faut utiliser la distribution binomiale :

6 © Fujitsu Canada 6 Distribution binomiale – Exemple Minitab Un processus fabrique des bouteilles de vitre de façon continue et il est connu que 1% des bouteilles sont non- conformes dans la population Si 10 bouteilles sont échantillonnées, quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucun défaut ? p = 0,01 n = 10 bouteilles x = 0 défaut Minitab peut calculer cette probabilité (voir page suivante)

7 © Fujitsu Canada 7 Distribution binomiale – Exemple Minitab (suite) Calc < Probability Distributions < Binomial

8 © Fujitsu Canada 8 Distribution binomiale – Exemple Minitab (suite)

9 © Fujitsu Canada 9 Distribution binomiale – Exemple Minitab (suite) À partir de l’équation P(x), la probabilité d’obtenir aucun défaut P(0) dans l’échantillon de 10 bouteilles est :

10 © Fujitsu Canada 10 Distribution binomiale – À considérer La distribution binomiale considère que les n unités sont échantillonnées d’une façon indépendante La variable aléatoire concernée a seulement deux valeurs possibles Ex : « Oui » ou « Non », « Succès » ou « Échec », etc. Si n est suffisamment grand et si p n’est pas trop près de 0% ou de 100%, alors elle peut convenablement s’approximer par la distribution normale Règle du pouce pour utiliser l’approximation : np et n(1-p) > 5 Pour une meilleure approximation, il est recommandé d’inclure une correction pour la continuité

11 © Fujitsu Canada 11 Distribution binomiale – À considérer (suite) L’unité sélectionnée est considérée remise dans la population de façon à garder constante la proportion p En pratique, l’unité sélectionnée n’est habituellement pas remise dans la population à l’étude Si le rapport n/N > 0,10 et que l’unité échantillonnée n’est pas remise dans la population, il est préférable d’utiliser la distribution hypergéométrique Sinon, ne pas remettre l’unité échantillonnée dans la population a un impact négligeable

12 © Fujitsu Canada 12 Distribution de Poisson Soit une variable aléatoire C qui est le comptage du nombre de défauts sur une aire d’opportunités de défauts Il peut y avoir plusieurs défauts sur la même unité produite. Exemple : Aire d’opportunités de défauts = Capot d’une voiture C = 4 défauts de peinture sur le capot En rappel, dans le cas d’une distribution binomiale, dès qu’une unité contient un défaut, l’unité entière devient non-conforme (défectueuse). Exemple : Unité = Capot d’une voiture Dès que C > 0, le capot est non-conforme (défectueux)

13 © Fujitsu Canada 13 Distribution de Poisson (suite) Pour calculer la probabilité que l’aire d’opportunité contienne x défauts, il faut utiliser la distribution de Poisson où λ : le nombre moyen de défauts par unité produite, x : le nombre de défauts considérés pour le calcul e : la base du logarithme naturel = 2,718281828 (environ) Pour des valeurs de λ ≥ 5, la distribution de Poisson s’approxime plutôt bien avec la distribution normale L’approximation est moins bien réussie aux extrémités de la distribution normale

14 © Fujitsu Canada 14 Distribution de Poisson Exemple Minitab Soit un contrôle visuel réalisé sur des plaques de laiton Sur chaque surface, il peut se retrouver des défauts tels que des taches de cuivre, d’oxydation, etc. En moyenne, il y a 1,7 défaut par plaque λ = 1,7 Questions Sur 150 plaques, combien de plaques devraient n’avoir aucun défaut (être d’excellente qualité) ? Quelle est la probabilité d’observer plus de 2 défauts par plaque ?

15 © Fujitsu Canada 15 Distribution de Poisson Exemple Minitab (suite) Calc < Probability Distributions < Poisson Réponse à la question 1 : 150 plaques * P(X=0) = 150 * 0,182684 = 27,4 plaques - Il y aura probablement 27 plaques sans défaut parmi les 150 plaques

16 © Fujitsu Canada 16 Distribution de Poisson Exemple Minitab (suite) Calc < Probability Distributions < Poisson Réponse à la question 2 : P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0,757223 = 0,2427 - 24,27% des plaques fabriqués devraient avoir plus de 2 défauts par plaque

17 © Fujitsu Canada 17 Distribution hypergéométrique La distribution hypergéométrique représente la distribution de x unités non-conformes dans un échantillon de taille n Chaque unité sélectionnée n’est pas remise dans la population N : taille de la population m : nombre de pièces non-conformes dans la population n : taille de l’échantillon x : nombre de pièces non-conformes dans l’échantillon donne le nombre de combinaisons de pièces conformes donne le nombre de combinaisons de pièces non-conformes

18 © Fujitsu Canada 18 Distribution hypergéométrique Exemple Minitab Soit le plan d’échantillonnage d’une entreprise qui reçoit un lot de 12 pièces de son fournisseur : L’entreprise est prête à accepter le lot s’il y a moins de 3 pièces non- conformes (25%) Par manque de temps, 4 pièces seulement sont inspectées et l’entreprise est prête à accepter le lot si au plus 1 pièce non-conforme s’y retrouve 4 pièces sont inspectées et 1 pièce s’avère non-conforme Question Quel est le risque pour l’entreprise d’accepter un lot incluant 3 pièces non-conformes avec un tel plan d’inspection ?

19 © Fujitsu Canada 19 Distribution hypergéométrique Exemple Minitab (suite) Distribution hypergéométrique : N = 12 pièces dans le lot m = 3 pièces non-conformes dans le lot n = 4 pièces du lot échantillonnées sans remise À calculer, la probabilité d’accepter le lot malgré la présence des 3 pièces non-conformes dans le lot P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

20 © Fujitsu Canada 20 Distribution hypergéométrique Exemple Minitab (suite) Calc < Probability Distributions < Hypergeometric Il y a 76,36% de probabilité d’accepter un lot incluant 3 pièces non-conformes Ce plan d’échantillonnage a donc un grand risque d’accepter un lot avec 3 mauvaises pièces Un tel risque est inacceptable si l’entreprise ne veut pas recevoir plus de 2 pièces non-conformes par lot

21 © Fujitsu Canada 21 Distribution normale Parfois appelée : Distribution gaussienne Distribution de Laplace-Gauss Correspond bien à un grand nombre de phénomènes naturels et : Il est possible d’approximer la distribution binomiale et la distribution de Poisson à l’aide de la distribution normale Une transformation mathématique est parfois appliquée aux données pour qu’elles correspondent davantage à une distribution normale Le théorème central limite confirme qu’une série de moyennes tend à suivre une distribution normale

22 © Fujitsu Canada 22 Distribution normale (suite) Propriétés de la distribution normale : Forme en cloche Symétrique Un seul mode

23 © Fujitsu Canada 23 Distribution normale (suite) La distribution de probabilité est représentée par : La moyenne de la population est représentée par la lettre grecque µ L’écart-type de la population est représenté par la lettre grecque s

24 © Fujitsu Canada 24 Distribution normale standardisée Standardiser la distribution normale facilite le calcul du pourcentage de données inférieures ou supérieures à une valeur X particulière, (de l’aire sous la courbe) Dans une population, une variable X suivant une distribution normale X~N( ,  2) est transformée en une variable Z~N(0,1) de la façon suivante : En présence d’un échantillon, la moyenne et l’écart-type de l’échantillon sont utilisés pour estimer les paramètres de la population

25 © Fujitsu Canada 25 Test de la normalité des données – Exemple Minitab Stat<Basic Statistics<Normality Test Données de l’exemple : File < Open Worksheet < Cartoon.MTW

26 © Fujitsu Canada 26 Test de la normalité des données – Exemple Minitab (suite) Si les données correspondent parfaitement à une distribution normale, alors tous les points seront situés exactement sur la droite

27 © Fujitsu Canada 27 Test de la normalité des données – Exemple Minitab (suite) Minitab peut indiquer à même le diagramme de probabilité le percentile de valeurs particulières de X en supposant X~N( ,  2)

28 © Fujitsu Canada 28 Test de la normalité des données – Exemple Minitab (suite) Dans cet exemple, en supposant que Otis~N( ,  2) : 66,22% des données de la population seront inférieures à 113 85,969% des données de la population seront inférieures à 122 95,214% des données de la population seront inférieures à 130

29 © Fujitsu Canada 29 Distribution cumulative Exemple Minitab Soit X~N(9,32) Quelle est la probabilité que X soit inférieure à 13,9346 ?

30 © Fujitsu Canada 30 Distribution cumulative inverse Exemple Minitab Soit X~N(9,32) Quelle est la valeur de X pour laquelle 95% des observations sont inférieures ?

31 © Fujitsu Canada 31 Distribution exponentielle Particulièrement utile pour analyser la fiabilité d’un équipement ou d’une composante Exemples de variables aléatoires qui correspondent à une distribution exponentielle : Durée de vie utile d’une composante électronique Délai entre deux arrivées consécutives Délai entre deux défaillances consécutives

32 © Fujitsu Canada 32 Distribution exponentielle (suite) La distribution de probabilité est représentée par : x = Durée λ > 0 λ = 1 / β β est souvent appelée « mean time between failure (MTBF) »

33 © Fujitsu Canada 33 Distribution exponentielle Exemple Minitab Soit un fabricant de fours à micro-onde qui projette offrir une garantie sur la composante principale du four La durée de vie utile de cette composante correspond à une distribution exponentielle λ = 0,20 pièce/an β = 5 ans Le fabricant veut déterminer la période de garantie qui n’occasionnera pas plus de 10% de remplacements de cette composante pendant cette période Qu’elle devrait-être la période de garantie ?

34 © Fujitsu Canada 34 Distribution exponentielle Exemple Minitab (suite) Minitab utilise β pour les calculs β = 5 ans X représente la durée de vie utile de la composante, P(X ≤ x) ≤ 0,10 Une garantie de 6 mois répondrait donc aux besoins du fabricant Calc<Probability Distributions<Exponential

35 © Fujitsu Canada 35 Autres distributions et utilités principales Distribution de Student Intervalles de confiance Tests d’hypothèses sur les moyennes Régression Distribution de Fisher ANOVA Distribution de Weibull Analyse de durée de vie Distribution de Chi-deux Test « Goodness-of-fit »

36 © Fujitsu Canada 36 Points à retenir Estimer adéquatement la distribution des données d’une population permet d’obtenir une meilleure précision dans les résultats d’une analyse statistique Plusieurs cas réels correspondent bien à des distributions de probabilité reconnues Il est fréquent d’observer une variable correspondre à la distribution normale

37 © Fujitsu Canada 37 Politique de propriété intellectuelle Le présent document est la propriété unique et exclusive de Fujitsu Conseil (Canada) inc. L’utilisation non autorisée, la divulgation ou la reproduction, sous quelque forme que ce soit, du matériel contenu dans ce document est expressément interdite. Toute utilisation non autorisée ou illégale par l’usager le rendra susceptible de faire l’objet de toute procédure légale et appropriée, à la disposition de Fujitsu Conseil (Canada) inc. © Fujitsu Conseil (Canada) inc. 2011 - Tous droits réservés

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