Chapitre 1 le diagramme de Bode

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1 Chapitre 1 le diagramme de Bode
Ce diagramme représente les performance d’un système électrique, mécanique, thermique

2 L’analyse fréquentielle d’un quadripôle se fait en régime sinusoïdal pur, essentiellement avec le calcul complexe. 1. La fonction de transfert T (jw) La fonction de transfert T (jw) d’un quadripôle est le rapport Retenir aussi que Vs = T(jw). Ve. Elle est aussi appelée transmittance complexe, transmittance isochrone ou amplification. Elle n’a pas d’unité. Son module est le rapport des valeurs efficaces | T (jw) | = T = Si T = = 5 signifie que Vs = 5 Ve. Si T > 1 le quadripôle amplifie alors que si T < 1 le quadripôle atténue Son argument est le déphasage de la tension de sortie vs par rapport à la tension d’entrée ve. En effet, arg = arg Vs - arg Ve = js - je = j

3 2. Le diagramme de Bode Le diagramme de Bode est la représentation du gain GdB = 20 log | T(jw) | et de l’argument j = arg T(jw) en fonction de la fréquence f ou w = 2pf en échelle logarithmique. log est la fonction logarithme décimal a) Le gain d’un quadripôle est la valeur GdB = 20 log |T (jw)| = 20 log T. « log » est le logarithme décimal, c’est la fonction inverse de « 10x » : 100 = 1 donc log 1 = 0 ; 101 = 10 donc log 10 = 1 ; 102 = 100 donc log 102 = 2 ; log 103 = 3 ; etc. … Si T = 1 (montage suiveur) GdB = 20 log 1 = 0 dB, si T = 10, GdB = 20 log 10 = 20 dB, si T = 100, GdB = 20 log 100 = 40 dB, si T = , GdB = 20 log 105 = 100 dB, si T = 0,1, GdB = 20 log 10-1 = - 20 dB, si T = 0,01, GdB = 20 log 10-2 = -40 dB, etc. …

4 S’il y a amplification, GdB > 0 dB, alors que s’il y a atténuation, GdB < 0 dB.
La relation inverse : GdB = 20 log T  log T =   T = 10 ^ ( ^ = à la puissance) exemple : 14 dB correspond à une amplification de 10^(14/20) = 5

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6 b) l’échelle logarithmique :
 f sur l’échelle logarithmique est placé à log f sur l’échelle linéaire  la décade est l’intervalle de fréquence entre f et 10f log 10.f = log 10 + log f = 1 + log f donc entre f et 10f il y a 1 unité de longueur (ici 5 cm).  l’octave est l’intervalle de fréquence entre f et 2f  log 2.f = log 2 + log f = 0,3 + log f donc entre f et 10f il y a un module. En musique, il y a huit degrés dans une gamme. L’octave est constituée des huit notes suivantes : do(1), ré, mi, fa, sol, la, si et do(8). La fréquence de do(8) est le double de celle de do(1). ,  Sur l’axe gradué représenté ci-dessus, il y a 3 modules.

7 a c) intérêt des diagrammes de Bode On utilise les propriétés mathématiques de la fonction logarithme qui transforme une multiplication en addition : log (AxB) = log A + log B. Pour les arguments des nombres complexes, c’est pareil : arg (A.B) = arg A + arg B D’où la règle pour réaliser facilement des diagrammes de Bode : la représentation du gain s’obtient en faisant la somme des représentations des gains GdB = GdB1 + GdB2 + GdB3 + … + GdBn et la représentation de la phase s’obtient en faisant la somme des représentations des phases j = j1 + j2 + j3 + … + jn.

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9 3, Les filtres passifs du premier ordre LP1
Le filtre passe-bas du premier ordre LP1 Exemple du filtre RC : En utilisant la formule du pont diviseur de tension, on démontre que le circuit RC représenté ci-contre admet comme fonction de transfert exemple : si R = 10 kW et C = 10 nF, wo = 10 000 rad/s et fo = 1591 Hz fo est la fréquence propre du système RC

10 La représentation de Bode du système passe bas
 Lorsque w << wo , T ( jw ) = 1 donc GdB = 20 log 1 = 0 dB. La phase vaut 0°.  Lorsque w >> wo , GdB = f(f) est une droite de pente - 20 dB / décade. La phase vaut - 90°.  Lorsque w = wo La représentation asymptotique de T ( jw ) diffère de la courbe réelle autour de w = wo. GdB = - 20 log |1 + j | = - 20 log = - 20 log = - 20 log = - 20 log= - 3 dB fo est aussi appelé fc la fréquence de coupure à -3dB. La phase pour w = wo vaut arg T(j) = - 45°

11 Les courbes réelles

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13 4. Les systèmes du deuxième ordre
Exemple d’un système passe-bas du deuxième ordre a) la fonction de transfert T (jw) = C’est la forme canonique d’un filtre passe-bas du deuxième ordre, LP2 en anglais (“low pass”), où m est le coefficient d’amortissement et wo est la pulsation propre . Pour le circuit RLC ci-dessus

14  premier cas m > 1 C’est le régime amorti

15  Deuxième cas m < 1 Si m < 0,7 on a le phénomène de résonance

16 5, Les autres filtres Le filtre passe-haut HP Le filtre passe-bande BP Le filtre réjecteur de bande NF (notch filter) Le filtre passe-tout (AP pour all pass) est un circuit déphaseur

17 6, B la bande passante à -3 dB (en anglais “ band width ”)
B la bande passante à -3 dB est l’intervalle de fréquence pour lequel le gain GdB est supérieur au gain maximal Gmax diminué de 3 dB; c’est aussi l’intervalle de fréquence pour lequel l’amplification T est supérieure à l’amplification maximale Tmax divisée par racine de 2 (0,707) ( 7/10ième de l’amplification maximale Tmax) Pour le filtre passe bande :

18 Fin du chapitre