Introduction à l'économétrie (2015-2016) Introduction à l’économétrie Licence 3 – LS6 MANIOC Olivier Maître de conférences associé.

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1 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Introduction à l’économétrie Licence 3 – LS6 MANIOC Olivier Maître de conférences associé

2 Présentation du cours Ce cours est une introduction à l’économétrie qui est centrée sur l’étude des modèles de régression à une équation. Il a pour principal objectif d’initier les étudiants à l’analyse économétrique et aux concepts qui lui sont connexes tels que l’inférence statistique. La méthode des moindres carrés ordinaires y occupe une place privilégiée aux cotés des tests statistiques d’usage courant. Introduction à l'économétrie (2015-2016)

3 Présentation du cours Le cours n’est pas couplé à des séances de travaux dirigés, la mise en œuvre pratique des techniques de calcul sera donc réalisée en alternance avec l’exposé des concepts économétriques. Le cours d’économétrie M1 (1 er semestre) s’inscrit dans le parfait prolongement du cours de Licence 3. Toutes les notions introduites en licence doivent être acquises pour aborder le cours d’économétrie de master 1.

4 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Plan indicatif du cours Licence 3/Master 1 Licence 3 – Introduction à l’économétrie Partie 1 : Les modèles à une équation  Chapitre 0. Propos introductifs  Chapitre 1. La régression linéaire à deux variables  Chapitre 2. L’inférence statistique dans le modèle linéaire à deux variables  Chapitre 3. La régression linéaire multiple (le modèle linéaire général) Master 1 – Econométrie  Chapitre 1. La remise en cause des hypothèses traditionnelles : l’autocorrélation et l’hétéroscédasticité des résidus.  Chapitre 2. Les modèles à variables endogènes qualitatives (logit et probit).  Chapitre 3. Les modèles à variables explicatives qualitatives (dummy). Partie 2 : Les modèles à plusieurs équations  Chapitre 4. Ecriture des modèles à équations simultanées  Chapitre 5. L’identification dans les modèles à équations simultanées

5 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Bibliographie BOURBONNAIS R. : Econométrie-Manuel et exercices corrigés, Dunod (9 ème édition). CADORET et alii (2004): Econométrie appliquée, de Boeck. GREENE W. (2005) : Econométrie, édition française, Pearson Education, 5ième Edition. GUJARATI D. (1995) : Basic econometrics, Mac Graw Hill, paru en français en 2004 chez de Boeck Université. JOHNSTON J. (1988) : Méthodes économétriques – Tomes 1 et 2, Economica WOOLDRIDGE J. (2015): Introduction à l’économétrie, de Boeck. … et une quantité innombrable de cours en ligne disponibles sur internet.

6 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Présentation du cours - les TICE La plate-forme pédagogique de l’uag: http://e-cursus.univ-ag.fr/course/view.php.id=479  Les diaporamas du cours  Le dossier de travaux dirigés  Les compléments de cours Twitter  @971_L3Econometrie

7 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Présentation du cours - les TICE Quelques mots sur les MOOCS acronyme de Massive Open Online Courses: http://www.sup-numerique.gouv.fr/ Et https://www.france-universite-numerique-mooc.fr/ Le calendrier des MOOCS: http://www.sup-numerique.gouv.fr/pid33135/moocs-le-calendrier.html Ex: Problèmes éco. contemporains (Début 04/01/2016) Ex: Méthodes de sondage et d'enquête (Début 15/02/2016)

8 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Avant propos Une suite au cours de statistique de licence  Extrait du plan

9 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Avant propos Une suite au cours de statistique de licence  Extrait du dossier de TD

10 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Avant propos L’économétrie pour les nuls selon le Captain Economics…  Rappel des principes de bases   http://www.captaineconomics.fr/-l-econometrie-pour-les-nuls-introduction Citation du Captain’ Economics: « Mais tout comme vous n'avez pas besoin d'être un pro en microprocesseur pour utiliser un ordinateur, il n'est pas foncièrement nécessaire d'être un crack en math pour pouvoir se servir de l'économétrie comme outil d'analyse »  Le Captain' tente de démystifier la matière

11 Introduction à l'économétrie (2015-2016) La stratégie économétrique Vous êtes recruté par l’UA en qualité de chargé d’études économiques. Vous participez aux travaux qui visent à déterminer la localisation optimale de logements étudiants. Deux visions s’opposent:  Les logements doivent être proches du campus car la proximité favorise l’assiduité des étudiants en limitant les retards en cours.  Les logements peuvent être éloignés du campus car l’environnement de travail est plus favorable à la réussite (plus de calme et moins d’incitations à faire la fête….).

12 Introduction à l'économétrie (2015-2016) La stratégie économétrique Les discussions peuvent être âpres et vives, sans que les arguments des uns et des autres ne s’imposent clairement. La question fondamentale porte sur la relation entre la distance logement/campus et la réussite des études. L’économétrie peut aider et orienter le processus de décision en étudiant la relation entre ces deux variables.

13 Introduction à l'économétrie (2015-2016) La stratégie économétrique Adoptons les notations suivantes :  Y i : Note terminale de l’étudiant i sur 20 (en points)  X i : Distance entre le lieu de résidence de l’étudiant i et le campus (en kilomètres). Considérons la relation économétrique suivante: Y i =aX i +b(Relation R)

14 Introduction à l'économétrie (2015-2016) La stratégie économétrique Attention:  Le signe de « a » traduit le sens de la relation entre Y et X  La relation entre Y et X peut être formalisée différemment et à chaque « formalisation », correspondent des a priori quant à la nature de la liaison entre Y et X.  Avec (R), la variation de Y est proportionnelle à celle de X. Quand la distance varie d’un kilomètre, la note varie de « a »points. A ce stade, la question des données est fondamentale  Il n’y a pas d’économétrie sans données  Les données peuvent être collectées (enquêtes-sondages) et/ou récupérées (http://www.data.gouv.fr/)http://www.data.gouv.fr/

15 Introduction à l'économétrie (2015-2016) La stratégie économétrique La collecte de données  Objectif: disposer d’un échantillon à partir duquel il sera possible de procéder à une estimation des paramètres a et b. L’estimation de la régression  Objectif: trouver des valeurs plausibles pour les paramètres a et b (calculs « à la main » ou avec l’aide de logiciels économétriques). La validation de la régression  Objectif: s’assurer de la « solidité » de la régression c’est-à- dire que les résultats obtenus à partir de l’échantillon traduisent la relation existant entre les deux variables (recours aux tests statistiques).

16 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Un mot sur les logiciels d’économétrie Les logiciels qui permettent les calculs économétriques sont nombreux (SAS, Stata, Rats, Eviews, PcGive, Excel, Gretl, R, …) Ils se distinguent par leur coût d’entrée (financier et non financier), leur ergonomie, leur souplesse, leur « adaptabilité » aux besoins de l’économètre, etc… Dans le cadre de ce cours, nous privilégierons :  Excel (largement répandu)  Gretl (gratuit et open source)  Et R?

17 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Plan du cours de licence 3 Partie 1 : Les modèles à une équation Chapitre 0. Propos introductifs Chapitre 1. La régression linéaire à deux variables Chapitre 2. L’inférence statistique dans le modèle linéaire à deux variables Chapitre 3. La régression linéaire multiple (le modèle linéaire général)

18 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Plan du cours de licence 3 Partie 1 : Les modèles à une équation Chapitre 0. Propos introductifs Chapitre 1. La régression linéaire à deux variables Chapitre 2. L’inférence statistique dans le modèle linéaire à deux variables Chapitre 3. La régression linéaire multiple (le modèle linéaire général)

19 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Chapitre 0. Propos introductifs I°) Les notions de base  A. Qu’est-ce que l’économétrie ?  B. Les modèles économétriques  C. Les variables  D. Les relations II°) La méthodologie de l’économètre III°) L’économétrie : une discipline reconnue

20 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Chapitre 0. Propos introductifs I°) Les notions de base  A. Qu’est-ce que l’économétrie ?  B. Les modèles économétriques  C. Les variables  D. Les relations II°) La méthodologie de l’économètre III°) L’économétrie : une discipline reconnue

21 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Qu’est-ce que l’économétrie ? Application des techniques statistiques et mathématiques qui visent à étudier les corrélations pouvant exister entre des phénomènes ou des variables économiques. Modèle théorique versus modèle sans théorie  Modèles théoriques: Recherche d’une validation empirique (modèles keynésiens traditionnels,…)  Analyse fondée sur les propriétés statistiques des données (modèles VAR, AR ou ARMA,…)

22 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Qu’est-ce que l’économétrie ? Un objectif:  Déterminer le sens et la force des relations causales entre variables afin de prédire les comportements économiques (ou autres)  Permettre l’évaluation des politiques publiques

23 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les modèles économétriques Un modèle est un ensemble d’équations (ou une équation unique !) qui vise à expliquer un phénomène par des variables que l’on juge pertinentes.

24 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Les grandes dates de la modélisation macroéconométrique Histoire de la modélisation économétrique en bref:  Période 1930-1950: modèle pionnier de Tinbergen (1936) et quelques travaux d’universitaires isolés s’appuyant sur des techniques rudimentaires.  Période 1950-1965: modèle Klein-Goldberger (qui débouche sur le modèle Wharton), les progrès de l’informatique permettent d’introduire des non-linéarités et des éléments de dynamisation. C’est l’âge d’or de la pensée keynésienne (analyse des fluctuations dans le court terme)  Période 1965-73: Calage des modèles sur les comptes nationaux (modèle de la Brookings), accroissement de leur taille et utilisation de techniques économétriques plus sophistiquées.

25 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Les grandes dates de la modélisation macroéconométriques En France:  La modélisation se développe dans l’après-guerre pour répondre aux exigences de reconstruction et de planification de l’économie (déclinaison de la matrice de Leontieff).Les pouvoirs publics sont en première ligne.  Les premiers vrais modèles apparaissent sur la période (1965- 73) et ils traduisent les préoccupations de croissance et de compétitivité (ZOGOL, DECA)  A partir de 1973, l’activité quitte le giron purement étatique et intéresse la Banque de France et le monde universitaire. Les modèles STAR, METRIC, DMS ou encore GAMA sont élaborés.  Aujourd’hui, les modèles occupent une place prépondérante, ils sont exploités par les organismes officiels (l'INSEE et la direction de la Prévision), par des organismes non officiels (universités, OFCE, la COE, …)

26 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les modèles économétriques Modèle statique versus modèle dynamique  dynamique (qui attribue un rôle particulier au temps)  statique (où toutes les variables sont observées à la même période)

27 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les modèles économétriques Modèles déterministe ou stochastique (aléatoire)  Déterministe, la relation entre deux variables est exacte, c'est-à-dire qu’à une valeur X donnée correspond une valeur unique Y.  Stochastique, la relation entre deux variables est incertaine (aléatoire)

28 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les modèles économétriques Combien de dollars américains (Y) peut-on obtenir en échangeant (X) euros ? Vous constituez votre échantillon en interrogeant une centaine de croisiéristes au départ du port de Pointe-à-Pitre. Nous considèrerons deux situations:  Cas (1) - un seul opérateur de changes  Cas (2) - deux opérateurs de change

29 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les modèles économétriques Cas (1) - un unique opérateur de changes  le taux de change est de 1 euro pour 1,317 dollars américains  la commission du cambiste est fixée de façon forfaitaire à 4 euros (ou 5,26 dollars US)  la relation entre X et Y est fixe, stable et intangible  C’est une relation déterministe. Graphiquement, les points sont alignés.

30 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les modèles économétriques Cas (2) - Deux opérateurs de change avec des stratégies différenciées  Opérateur 1 le taux de change est de 1 euro pour 1,308 dollars américains la commission est de 5 dollars US  Opérateur 2 le taux de change est de 1 euro pour 1,321 dollars américains la commission est 4 dollars US  L’opération a lieu de façon aléatoire chez l’un des deux opérateurs  La relation entre X et Y n’est pas fixe  C’est une relation stochastique. Graphiquement, les points ne sont pas alignés.

31 Introduction à l'économétrie (2015-2016)

32 C. Les variables Les variables se distinguent par leur nature, leur statut et leur structure…  La Nature des variables Quantitative versus qualitative  Leur statut Dans une équation, une variable expliquée dépend d’une ou de plusieurs variables explicatives. On parle également de variable endogène (expliquée) et de variable exogène (explicative) Les notions de variables expliquée/explicatives  équation. Les notions de variables endogènes/exogènes  modèle.

33 Introduction à l'économétrie (2015-2016) C. Les variables Modèle à une équation C est une variable expliquée / endogène R est une variable explicative / exogène Attention, R est une variable R t n’est que l’observation en t de la variable R

34 Introduction à l'économétrie (2015-2016) C. Les variables Modèle à plusieurs équations C est une variable expliquée dans la première équation C est une variable endogène du modèle C est une variable explicative dans la seconde équation

35 Introduction à l'économétrie (2015-2016) C. Les variables Les variables se distinguent par leur nature, leur statut et leur structure…  La structure si l’indice est une date t, on parle de données «temporelles» ou « chronologiques » ou « time series » (ex: l’indice des prix d’un territoire sur plusieurs périodes) si l’indice est i, on parle de données transversales ou encore de coupe instantanée, c’est le terme employé lorsque l’on manipule des individus statistiques ou en anglais « cross- sectional data » (ex: les revenus des ménages d’une aire géographique donnée) si l’indice inclut les deux dimensions i,t, on parle de données « mixtes » (ex : les résultats en économétrie de 10 promotions d’étudiants de master 1 de 2001 à 2010).

36 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les relations les équations de comportement (qui décrivent le comportement des agents économiques). Elles traduisent la théorie sous-jacente au modèle utilisé. Ex : L’équation de consommation keynésienne les équations d’équilibre (qui traduisent les conditions d’équilibre sur un marché). Ex : L’équilibre Offre/Demande sur le marché des biens les relations comptables (qui s’appuient sur les égalités comptables) Ex : Le stock de capital

37 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Le modèle de klein (1955)   Le lien internet http://perso.univ-rennes1.fr/isabelle.cadoret-david/econometrie/equasimul/modklein.htm Les variables Cons : consommation Invst : investissement Privwage : salaires versés par le secteur privé Prod : production Profit : profits du secteur privé Klagged : stock de capital de l'année précédente Govtwage : salaires versés par le gouvernement Govtexp : dépenses de l'Etat en dehors des salaires Taxes : taxes Les relations ( 3 équations de comportement, 1 équation d'équilibre et 2 relations comptables)

38 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Chapitre 0. Propos introductifs I°) Les notions de base  A. Qu’est-ce que l’économétrie ?  B. Les modèles économétriques  C. Les variables  D. Les relations II°) La méthodologie de « l’ économètre » III°) L’économétrie : une discipline reconnue

39 Introduction à l'économétrie (2015-2016) II°) La méthodologie de l’économètre Trois étapes : 1. Formalisation de la théorie / modélisation  Enoncé de la théorie et des hypothèses  Spécification du modèle mathématique de la théorie  Spécification du modèle économétrique associé 2. Confrontation du modèle avec la réalité  Recherche des données  Estimation des paramètres du modèle économétrique  Test de robustesse de la régression 3. Si la théorie est validée  Prévision  Utilisation du modèle à des fins de contrôle ou de politique économique

40 Introduction à l'économétrie (2015-2016) II°) La méthodologie de l’économètre Figure 0.1

41 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Chapitre 0. Propos introductifs I°) Les notions de base  A. Qu’est-ce que l’économétrie ?  B. Les modèles économétriques  C. Les variables  D. Les relations II°) La méthodologie de l’économètre III°) L’économétrie : une discipline reconnue

42 Introduction à l'économétrie (2015-2016) III°) L’économétrie : une discipline reconnue Aujourd’hui, grâce à l’informatique, l’usage des techniques économétriques est largement répandu. Elles confèrent une rigueur scientifique aux analyses. Une reconnaissance de la profession:  Jan Tinbergen et Ragnar Frisch ont reçu le premier « prix Nobel » d'économie décerné en 1969 (macroéconométrie) ;  1980: Lawrence Klein pour la construction de modèles économétriques de conjoncture et leur application à l'analyse de la politique économique ;  2000: Daniel McFadden et James Heckman pour leurs travaux en microéconométrie ;  2003: Robert Engle et Clive Granger pour leurs analyses économiques des séries temporelles.

43 Introduction à l'économétrie (2015-2016) L’économétrie est un élément de la boîte à outils de l’économiste et plus généralement du chargé d’études…

44 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Plan indicatif du cours de licence 3 Partie 1 : Les modèles à une équation Chapitre 0. Propos introductifs Chapitre 1. La régression linéaire à deux variables Chapitre 2. L’inférence statistique dans le modèle linéaire à deux variables Chapitre 3. La régression linéaire multiple (le modèle linéaire général)

45 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Chapitre 1. le modèle linéaire à deux variables I°) Position du problème II°) De l’échantillon à la droite de régression  A. Un exemple : La relation revenu/dépense  B. Quelques précisions utiles… III°) L’estimation du modèle linéaire à deux variables par la méthode des moindres carrés ordinaires  A. Un peu d’histoire  B. Les hypothèses d’application des MCO  C. La phase d’estimation  D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs

46 Introduction à l'économétrie (2015-2016) I. Position du problème Soient X et Y deux grandeurs statistiques observées. On dispose d’un échantillon de taille n (comptant n observations), chaque observation est un couple (x i,y i ). Dans l’étude de la relation entre X et Y, on se pose trois questions fondamentales :  X et Y sont-elles liées ? Si oui, comment mesurer l’intensité de cette liaison?  Lorsque l’on suppose que X cause Y, quelle est la fonction la plus appropriée pour représenter ce lien de causalité ?  Comment estimer les paramètres de cette fonction ?

47 Introduction à l'économétrie (2015-2016) II. De l’échantillon à la droite de régression A. Un exemple : La relation revenu/dépense On s’intéresse à la relation qui existe entre les revenus X et les dépenses Y. On s’intéresse à une population-mère qui compte une soixantaine d’individus statistiques (agents ou ménages) pour lesquels on dispose des revenus (x i ) et des dépenses (y i ), soit une soixantaine de couples. L’objectif est de retrouver les caractéristiques de la relation entre les variables X et Y de la population étudiée à partir d’un échantillon

48 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense (Rmq_1) La relation entre les variables X et Y n’est pas exacte, la connaissance de X ne permet pas de déterminer de façon unique Y. La relation entre ces deux variables est donc stochastique (Figure 1.1). (Rmq_2) Les points obtenus ne sont pas alignés dans le repère orthogonal où X est en abscisses et Y en ordonnées (Figure 1.2). (Rmq_3) A chaque niveau de revenu X, correspond une dépense moyenne conditionnelle notée E(Y/X). Il est pertinent de penser que ces variables sont liées ; plus le revenu X augmente, plus la dépense moyenne croit (Figure 1.3).

49 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense De façon évidente, l’espérance conditionnelle de Y est une fonction de la variable X. On dira que X explique E(Y/X) ou encore que E(Y/X) est expliquée par X. L’espérance conditionnelle associée à un niveau de revenu x i est notée E(Y/X=x i ) ou E(Y/x i ). On postule que E(Y/x i )=f(x i ). Quelle est la forme de la fonction f ?

50 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense La relation entre la variable X et la dépense conditionnelle semble fortement linéaire (Figure 1.2). On peut donc s’appuyer sur une fonction linéaire de la forme : C’est l’équation de la droite de régression.

51 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense Pour un niveau de revenu donné, l’individu i dont le revenu est x i s’écartera de cette moyenne du fait d’éléments ou d’évènements qui lui sont propres, ceux-ci sont résumés par l’aléa  i. On a donc : La présence de l’aléa  i confère une nature stochastique à la relation.

52 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense Le terme  i mesure la différence entre les valeurs réellement observées et les valeurs qui auraient été observées si la relation avait été rigoureusement exacte. Il cristallise toutes les « insuffisances » du modèle à savoir:  le modèle n’est qu’une vision simplifiée de la réalité, la spécification ne permet pas de prendre en compte la totalité du phénomène étudié  des erreurs de mesure sur les données (ou leur indisponibilité) affectent la fiabilité de ce dernier  la forme fonctionnelle du modèle peut être incorrecte...

53 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense Le modèle de régression linéaire permet d’expliquer le comportement d’une variable endogène par une variable exogène : Deux remarques :  la variable X est non aléatoire  Puisque Y dépend d’un aléa, Y est une variable aléatoire

54 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense Un mot sur la notion de linéarité… La notion de modèle linéaire peut être doublement interprétée :  linéarité de la relation entre la variable endogène Y et la variable exogène X  linéarité de la relation entre Y (variable endogène) et les paramètres a et b. C’est la seconde acception qui est retenue. Nous parlerons donc de modèle linéaire ou de régression linéaire lorsque l’espérance conditionnelle de la variable endogène est linéaire par rapport aux paramètres, autrement dit:  que ceux-ci sont élevés à la puissance 1.  que les dérivées de l’espérance conditionnelle de la variable endogène par rapport aux paramètres sont indépendantes de ces derniers.

55 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense En résumé, le modèle est linéaire dès lors qu’il correspond à la relation suivante:  Où les fonctions f et g sont indépendantes des paramètres a et b.

56 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un exemple : La relation revenu/dépense Exemples de modèles linéaires par rapport aux paramètres: Exemples de modèles non linéaires par rapport aux paramètres:  Nota bene: un modèle non linéaire peut (parfois) être linéarisé!!!

57 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Quelques précisions utiles… La fonction de régression peut prendre des formes multiples, le choix de la spécification dépendra des a priori du modélisateur et des données. Parmi les modèles habituellement utilisés, certains sont non linéaires dans les variables, mais le sont dans les paramètres ou peuvent le devenir suite à certaines transformations des variables. On appelle linéarisation le passage d’une forme non linéaire dans les paramètres à une expression linéaire dans les paramètres.

58 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Quelques précisions utiles… Un modèle peut être formulé de plusieurs façons (figure 1.5) :  le modèle mathématique : transcription de la théorie  le modèle économétrique : déclinaison stochastique du modèle mathématique. Attention : Le terme stochastique doit faire l’objet d’un traitement particulier, seuls les résidus additifs ont un sens en économétrie.  le modèle linéaire associé : modèle économétrique linéarisé

59 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Quelques nuages de points… Relation linéaire:

60 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Relation log-linéaire:

61 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Relation exponentielle:

62 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Relation logarithmique:

63 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Relation hyperbolique:

64 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Relation parabolique:

65 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Quelques précisions utiles… Les paramètres a et b sont et resteront toujours inconnus L’ambition est de fournir des estimations des paramètres a et b en s’appuyant sur un échantillon :  les estimations seront donc liées à l’échantillon utilisé  des échantillons distincts fourniront donc des estimations différentes.  les estimations sont les valeurs prises par les estimateurs Les estimateurs â et vont dépendre des observations (x i,y i ) par voie de conséquence des aléas  i, - les estimateurs sont des variables aléatoires.

66 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Quelques précisions utiles… On note: Nous obtenons la relation estimée:

67 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Quelques précisions utiles… Un estimateur est une fonction de variables aléatoires observables ne dépendant pas de paramètres inconnus. Une estimation est une valeur numérique, prise par un estimateur au regard des données de l’échantillon. Une estimation est associée à un échantillon.

68 Introduction à l'économétrie (2015-2016) III. L’estimation du modèle linéaire à deux variables par les MCO A. Un peu d’histoire… B. Les hypothèses d’application des MCO C. La phase d’estimation D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs

69 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un peu d’histoire… On dispose d’un nuage de points obtenus à partir d’un échantillon (Figure 1.4) L’objectif est de trouver l’équation d’une droite qui passe au plus près des points. Il s’agit donc de minimiser l’écart entre la droite et les points du nuage. Quelle notion d’écart retenir ?

70 Introduction à l'économétrie (2015-2016) A. Un peu d’histoire… Minimiser la somme des carrés des écarts (1) Approche introduite en 1805 par Adrien-Marie Legendre (mathématicien français, 1752-1833). Cette paternité est contestée par Carl Friedrich Gauss (mathématicien allemand, 1777-1855) (2) La méthode phare d’estimation dans les travaux économétriques. (3) Les estimateurs obtenus sont les estimateurs des moindres carrées ordinaires (en anglais OLS pour ordinary least square).

71 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les hypothèses d’application des MCO Le modèle est linéaire dans les paramètres et la variable X est observée sans erreur. Hypothèse 1: Pour une valeur de x donnée, la valeur attendue du terme aléatoire est nulle. A priori, nous ne disposons d’aucune information sur le terme résiduel.

72 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les hypothèses d’application des MCO Hypothèse 2: L’aléa est indépendant de la variable explicative autrement dit, la variable explicative n’apporte aucune information sur l’aléa. Hypothèse 3: Cette hypothèse stipule que deux termes aléatoires ne sont pas corrélés. On dit qu’il n’y a pas de corrélation sérielle pour les séries temporelles.

73 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les hypothèses d’application des MCO Hypothèse 4: C’est l’hypothèse d’homoscédasticité. Les aléas sont distribués de la même façon autour de leur espérance. Hypothèse 5: est une variable normale de paramètres 0 et  ². Du fait de cette hypothèse, les estimateurs des MCO et les estimateurs du maximum de vraisemblance (MV) sont identiques.

74 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les hypothèses d’application des MCO Conséquence des hypothèses 1, 3 et 4: On se rappelle que y i est une variable aléatoire donc: Illustration de l’hypothèse d’homoscédasticité (Figure 1.7)

75 Introduction à l'économétrie (2015-2016) B. Les hypothèses d’application des MCO Une violation des hypothèses 1 et 2 biaise l’estimateur des MCO. Une violation des hypothèses 3 à 4 ne biaise pas l’estimateur mais invalide les résultats inférentiels (tous les tests statistiques induits par la méthode des MCO). Deux conséquences:  Les tests ne sont plus « utilisables »  On ne peut plus s ’appuyer sur les résultats des MCO pour déduire les propriétés de la relation au niveau de la population mère.

76 Introduction à l'économétrie (2015-2016) C. La phase d’estimation Les estimateurs des MCO La démarche graphique (Figure 1.8) La démarche analytique (Figure 1.9)

77 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Application Les données utilisées (figure 1.4 – tableau de gauche) A ce stade, les notions introduites en L1 sont amplement suffisantes…. En mobilisant ces connaissances de L1, on obtient: En utilisant un logiciel (Excel ou Gretl), les résultats de l’estimation prennent la forme suivante:

78 Introduction à l'économétrie (2015-2016) EXCEL (utilitaire d’analyse)

79 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Gretl

80 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Objectif (1): Comprendre les informations fournies par ces applications Objectif (2): Savoir réaliser ces estimations à partir de logiciels (Excel, Gretl ou R)

81 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs Rappels - Les estimateurs sont des variables aléatoires car:  La relation est :  L’aléa est une variable aléatoire  La variable expliquée dépend de l’aléa  Les estimateurs sont des fonctions de la variable expliquée

82 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs On s’intéresse à deux propriétés statistiques des estimateurs:  Un estimateur sans biais.  Un estimateur convergent. Ces propriétés statistiques sont déduites des formes fonctionnelles des estimateurs

83 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs Notion d’estimateur sans biais:  Un estimateur sans biais fournit des estimations du paramètre inconnu qui, en moyenne, sont autour de ce paramètre.  On extrait p échantillons, on procède à l’estimation du paramètre. Si l’estimateur est sans biais, la moyenne des p estimations obtenues est proche de la valeur du paramètre inconnu.

84 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs Les estimateurs des MCO sont sans biais Démonstration (Figure 1.10)

85 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs Notion d’estimateur convergent:  Un estimateur convergent fournit des estimations qui tendent vers la valeur du paramètre inconnu lorsque la taille de l’échantillon croît.  On extrait des p échantillons de taille n 1, on procède à l’estimation du paramètre. On renouvelle l’opération avec p échantillons de taille n 2 et p échantillons de taille n 3 avec n 1 <n 2 <n 3 ). Si l’estimateur est convergent, lorsque la taille des échantillons croît, les estimations tendent à être de plus en plus proches de la valeur du paramètre inconnu.

86 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs Notion d’estimateur convergent:  Les estimations sont de plus en plus proches =>Elles sont de plus en plus homogènes, leur variance diminue  Un estimateur est dit convergent si sa variance décroît lorsque la taille des échantillons augmente.

87 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs Les estimateurs des MCO sont convergents Démonstration (Figure 1.11)

88 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Distribution statistique de l’estimateur de a 100 échantillons de taille 100

89 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Distribution statistique de l’estimateur de a 100 échantillons de taille 500

90 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Distribution statistique de l’estimateur de a 100 échantillons de taille 1000

91 Introduction à l'économétrie (2015-2016) D. Les résultats fondamentaux concernant les estimateurs La covariance Démonstration (Figure 1.12)

92 Introduction à l'économétrie (2015-2016) La variance de l’aléa est estimé par: Démonstration (Figure 1.13)

93 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Bonus

94 Introduction à l'économétrie (2015-2016) Bonus