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Le débat scientifique en classe un exemple concret en cours de maths (niveau BAC) Julien Douady enseignant-chercheur (sc. physiques) et conseiller pédagogique.

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1 Le débat scientifique en classe un exemple concret en cours de maths (niveau BAC) Julien Douady enseignant-chercheur (sc. physiques) et conseiller pédagogique Université J. Fourier, Grenoble (France) Atelier de formation – École Polytechnique de Montréal – jeudi 26 février

2 « dépoussiérons lenseignement… » Titre original : 2 / 37

3 Les étapes de latelier 1)Le débat scientifique a)deux modes cognitifs fondamentaux b)la place et les objectifs du débat 2)Lexemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a)vivre la situation en tant quapprenant b)découvrir la puissance du dispositif 3)Comment procéder demain ? a)les points cruciaux pour réussir un débat b)une méthodologie pour la préparation 3 / 37

4 Les étapes de latelier 1)Le débat scientifique a)deux modes cognitifs fondamentaux b)la place et les objectifs du débat 2)Lexemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a)vivre la situation en tant quapprenant b)découvrir la puissance du dispositif 3)Comment procéder demain ? a)les points cruciaux pour réussir un débat b)une méthodologie pour la préparation 4 / 37

5 Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux : des rôles différents Le mode magistralLe mode (socio-)constructiviste montre-démontre-explique tout de manière cohérente cherche à problématiser un savoir quil juge essentiel Le professeur Logique de la problématisation Les étudiants doivent rentrer dans une problématique commune : auteur doivent comprendre le discours et la logique du professeur : auditeur Logique de lexplication 5 / 37

6 Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux : forces et faiblesses Le mode magistralLe mode (socio-)constructiviste Discours à la fois rigoureux, cohérent, exhaustif Rassurant pour lenseignant Économe en temps Doute, incertitude de lauteur Prise dinitiative, responsabilité engagée par les étudiants Richesse et diversité des points de vue exprimés Forces et dynamique Faiblesses et limites Coût élevé en temps Prise de risque pour lenseignant Improbable capacité à faire émerger des savoirs complets, justes et bien ordonnés Passivité de lauditoire Impuissance face à des concepts ardus (obstacles épistémologiques) Difficulté à donner du sens profond (à quoi ça sert tout ça ?) 6 / 37

7 Le débat scientifique les objectifs du débat Objectifs du débat scientifique = créer du sens en générant du doute, en faisant ressurgir les contradictions en autorisant des rapprochements abusifs en engageant une responsabilité dopinion Attention : les étudiants ne construisent pas le savoir mais ils : sassocient à une problématique commune construisent du sens développent de lintérêt pour les savoirs que le professeur va leur enseigner 7 / 37

8 Le débat scientifique la place du débat Les deux modes sont opposés et complémentaires Le mode magistralLe mode (socio-)constructiviste Enseigner des méthodes, des techniques opératoires… Enseigner des concepts fondamentaux, des notions difficiles… Un débat se termine par une phase magistrale où lenseignant met de lordre dans les idées apporte le contenu qui fait défaut fait émerger le sens lié à la problématique Lalternance entre les deux modes doit respecter leurs dynamiques propres 8 / 37

9 Les étapes de latelier 1)Le débat scientifique a)deux modes cognitifs fondamentaux b)la place et les objectifs du débat 2)Lexemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a)vivre la situation en tant quapprenant b)découvrir la puissance du dispositif 3)Comment procéder demain ? a)les points cruciaux pour réussir un débat b)une méthodologie pour la préparation 9 / 37

10 Exemple des intégrales les règles du jeu 1 ère phase = débat privé (quelques minutes) vous pouvez discuter (du sujet) avec qui vous voulez... dans le but de vous forger une opinion personnelle un vote vous vous déterminez personnellement en fonction des réponses proposées, en étant capable de justifier votre choix 2 ème phase = débat public vous défendez votre point de vue en donnant vos arguments à vos collègues (et non à moi), pour les convaincre. Le débat privé est alors interdit, tout comme la critique / 37

11 Exemple des intégrales la consigne Vous avez 3 propositions à examiner Pour chacune delles, vous devez vous positionner en étant capable de justifier votre choix… OK (jadopte cette démonstration) NON (je refuse ce raisonnement) Autre (vraiment impossible de choisir OK ou NON) 11 / 37

12 Situation n°1 Pour calculer le volume V dune sphère de rayon R, on la découpe en tranches élémentaires parallèles au plan (xOy). Le volume dV dune tranche de petite épaisseur dz située à laltitude z est donnée par : Le volume total V est donc r(z) OK NON Autre z y x O z dz r R 12 / 37

13 Situation n°2 Pour calculer l'aire latérale du cylindre de rayon R et de hauteur H, on découpe de même en tranches élémentaires parallèles au plan (xOy). L'aire latérale dS d'une tranche de petite épaisseur dz située à l'altitude z est : L'aire totale est donc donnée par : (z) OK NON Autre z y x O z dz R H 13 / 37

14 z y x O ΔzΔz riri zizi R Situation n°3 Pour calculer le volume V de la sphère de rayon R, on peut aussi découper la demi-sphère supérieure en n tranches de même épaisseur Δz. Le volume ΔV i de la tranche C i située à laltitude z i est donné par : Comme on a donc (par passage à la limite) Le volume total V est donc OK NON Autre 14 / 37

15 Situation n°4 En suivant une procédure analogue, pour calculer l'aire latérale d'un cône de hauteur H et de base circulaire de rayon R, on peut découper le cône en tranches élémentaires parallèles à (xOy). L'aire latérale dS dune tranche de petite épaisseur dz située à laltitude z est celle du cylindre de rayon r(z) correspondant : Par Thalès, on obtient L'aire latérale totale S est donc On retrouve ainsi que : l'aire latérale du cône est la moitié de l'aire latérale du cylindre (même base et même hauteur) OK NON Autre z y x O z dz H r(z) R z H-z 15 / 37

16 Institutionnalisation autour des procédures infinitésimales La procédure infinitésimale est pertinente pour évaluer une grandeur G d'un objet longueur aire volume masse travail potentiel etc... dont le calcul ne peut pas se faire simplement car G dépend dun paramètre qui varie dans lobjet. l (z) z 16 / 37

17 La procédure infinitésimale est inutile si le paramètre ne varie pas (cylindre) ! l 17 / 37

18 Philosophie de la procédure infinitésimale : découper en tranches i assez fines pour que, sur chaque tranche, le paramètre gênant ne varie quasiment plus le calcul partiel de G i sur chaque tranche est facile le résultat global est la somme des parties i h lili G i = l i · h G = G i 18 / 37

19 Dans la pratique : le professeur choisit un paramétrage astucieux il considère la tranche ou d, dépaisseur z ou dz, il appelle G ou dG le résultat correspondant les symboles d ou sont accompagnés des mots magiques « petit » ou « infiniment petit » Et ensuite… dG = f(z)·dz où f(z) est une fonction quon « arrive à calculer » on passe de dG à f(z)·dz puis à G = F(b) - F(a) même si cela tend à montrer que 1 = 0 (évitons paradoxes et contradictions) 19 / 37

20 1 er paradoxe disparition des ennuis = disparition de matière ! Si lépaisseur de la tranche est nulle : le paramètre ne varie plus il ny a plus de matière que vaut une somme infinie de riens ??? Si lépaisseur de la tranche est non nulle : le paramètre varie toujours un peu le calcul exact sur la tranche redevient impossible sauf si la procédure est inutile / 37

21 1 er paradoxe ce qui nest jamais dit… Lépaisseur de la tranche est non nulle G i reste incalculable On prend un modèle M i qui facilite le calcul ΔzΔz f(z)f(z) 21 / 37

22 Par honnêteté, on reconnaît que G Mi G i Il se crée sur chaque tranche une erreur de mesure 1 er paradoxe comment sen sortir ? Réel Découpage Modèle 22 / 37

23 2 nd paradoxe disparition de lerreur = disparition de la mesure ! Pour avoir sur chaque tranche... on les rend de plus en plus fines : Dès lors tout devient infiniment petit ! l'erreur etle résultat local 23 / 37

24 2 nd paradoxe ce qui nest jamais dit… Comme et on aura donc La méthode nest utile que si 24 / 37

25 2 nd paradoxe comment sen sortir ? Si lerreur est du 1 er ordre : ε i = Δz = H/n alors erreur globale incompressible Si lerreur est du 2 nd ordre : ε i = Δz² = H²/n² alors erreur globale nulle en passant à la limite En général, sur chaque tranche, il faut : G Mi >> ε i 25 / 37

26 Synthèse validité de la procédure infinitésimale si on parvient à écrire : G i = f(z) x Δz + ε(Δz) et si lerreur est du 2 nd ordre : ε(Δz) < C ste x (Δz)² alors la théorie nous assure que : égalité « absolue » ! sinon, on fait nimporte quoi ! 26 / 37

27 Retour sur les situations examinées Situation 1 : aucune vérification, on est chanceux Situation 2 : aucun paramètre variable, inutile Situation 3 : vérification faite, on est certain L'erreur (z) est majorée par la différence de volume des cylindres de hauteur z et de rayons respectifs r(z+ z) et r(z) donc du second ordre : (z ) C ste · (z) 2 27 / 37

28 Retour sur les situations examinées Situation 4 : aucune vérification, foutaise ! L'erreur commise est de l'ordre de 2 R ( l - z) < z·[ 2 R · (1/cos( ) – 1)] donc de l'ordre de z (si 0) R 28 / 37

29 Les étapes de latelier 1)Le débat scientifique a)deux modes cognitifs fondamentaux b)la place et les objectifs du débat 2)Lexemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a)vivre la situation en tant quapprenant b)découvrir la puissance du dispositif 3)Comment procéder demain ? a)les points cruciaux pour réussir un débat b)une méthodologie pour la préparation 29 / 37

30 Les étapes de latelier 1)Le débat scientifique a)deux modes cognitifs fondamentaux b)la place et les objectifs du débat 2)Lexemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a)vivre la situation en tant quapprenant b)découvrir la puissance du dispositif 3)Comment procéder demain ? a)les points cruciaux pour réussir un débat b)une méthodologie pour la préparation 30 / 37

31 Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat Quatre ingrédients essentiels objectif du cours : consistance épistémologique situation proposée : pertinente et polémique débat : dévolution de responsabilité, neutralité institutionnalisation : contextualisée et percutante 31 / 37

32 Comment procéder demain ? la consistance épistémologique : avec ou sans ? Une situation sans consistance épistémologique θ 3 m 4 m « Quelle est laire de ce parallélogramme ? » A = 12 x sin(θ) (en m²) A = 12 m² Une situation avec consistance épistémologique 3 m 4 m « Quelle est laire de ce parallélogramme ? » 32 / 37

33 Comment procéder demain ? la consistance épistémologique - suite Ici, la consistance épistémologique consiste à imaginer, à partir de la situation proposée, dautres situations possibles : Situations cruciales 33 / 37

34 Comment procéder demain ? la gestion du débat Pendant le débat, le professeur doit absolument : laisser assez de temps pour lappropriation assurer la dévolution du problème noter et reformuler les opinions sans les déformer rester neutre vis-à-vis des arguments exprimés aplanir les difficultés « secondaires et bruyantes » faire ressortir les opinions divergentes et incompatibles épingler intérieurement les arguments-clés qui serviront dans son institutionnalisation 34 / 37

35 Comment procéder demain ? linstitutionnalisation : étape clé ! Linstitutionnalisation est létape la plus difficile ; elle doit : réorganiser les propos exprimés pour en faire un ensemble construit et cohérent sappuyer sur les idées émises, et renvoyer aux questions débattues apporter les concepts manquants ne pas éviter lobstacle épistémologique éviter tout jugement sur les opinions : « nos tâtonnements ont permis de franchir une étape » « contextualisée » et « percutante » 35 / 37

36 Comment procéder demain ? une méthodologie pour la préparation Un canevas temporel robuste pour préparer un débat Avant : identifier un obstacle épistémologique et une situation pertinente tester la situation auprès de collègues issus dautres domaines imaginer toutes les réponses possibles pour ne pas être pris au dépourvu Pendant : Présenter clairement le nouveau contrat 1 ère phase = débat privé (10-15 min) : dévolution du problème le vote : permet la prise de responsabilité 2 ème phase = débat public (20-60 min) : confrontation des idées 3 ème phase = institutionnalisation (10 min) : réorganisation des savoirs Les premières fois, sollicitez un collègue ou un conseiller pour vous observer 36 / 37

37 Merci pour votre attention avez-vous des réactions / des questions ? Le diaporama et le « mémento » sont disponibles sur le site du BAP : 37 / 37


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