Réalisé par : Sébastien Lachance MATHS 3 E SECONDAIRE RELATIONS et PROPRIÉTÉS des fonctions.

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1 Réalisé par : Sébastien Lachance MATHS 3 E SECONDAIRE RELATIONS et PROPRIÉTÉS des fonctions

2  RELATION mathématique MATHS 3 E SECONDAIRE - RELATIONS et PROPRIÉTÉS des fonctions - C’est un lien (ou rapport) existant entre des choses, des situations ou des personnes. A) Définition

3 Un plein d’essence. Il y a une relation entre la quantité d’essence et le coût. Le poids d’une personne et le nombre de calories absorbées. Il y a une relation entre le nombre de calories absorbées par une personne et l’augmentation de son poids. Ton résultat à un examen. Il y a une relation entre le nombre de bonnes réponses et la note obtenue. Exemples

4 Exemple : On peut « mathématiser » des relations. B) Variables et coefficients Un bureau de médecin offre 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. x : Nombre d’heures y : Salaire (en $) VariablesRelation Salaire = 20$ / h ● Nombre d’heures y = 20 ● x y = 20 x Coefficient

5 C) Table de valeurs xy = 20x 0 0 1 20 240 3 60 480 5100 Remplir la table de valeurs avec la relation y = 20x Exemple # 1

6 C) Table de valeurs xy = 4x + 5 0 5 1 9 213 3 17 421 525 Remplir la table de valeurs avec la relation y = 4x + 5 Exemple # 2

7 C) Table de valeurs xy = 100 / x 1 100 2 50 425 5 20 10 502 Remplir la table de valeurs avec la relation y = 100 x Exemple # 3

8 D) Graphique xy = 20x 0 0 1 20 240 3 60 480 5100 Dessiner le graphique de la relation y = 20x 0 y x 12345678910 20 30 40 50 60 70 80 90 10 100 Exemple # 1

9 D) Graphique Dessiner le graphique de la relation y = 4x + 5 0 y x 12345678910 4 6 8 12 14 16 18 2 20 xy = 4x + 5 0 5 1 9 213 3 17 421 525 Exemple # 2

10 D) Graphique Dessiner le graphique de la relation y = 100 0 y x 12345678910 20 30 40 50 60 70 80 90 10 100 xy = 100 / x 1 100 2 50 425 5 20 10 502 x Exemple # 3

11 E) Variables dépendantes et indépendantes x est la variable indépendante. y est la variable dépendante. Elle peut prendre n’importe quelle valeur. Calculée à partir des valeurs de x. xy = 4x + 5 0 5 1 9 213 3 17 421 5 25 Exemple dans une table de valeurs :

12 F) Situations Chez Tim Horton, ton salaire est de 10 $ de l’heure. Combien gagneras-tu si tu travailles 8 heures ? Variable indépendante (x) : Variable dépendante (y) : Règle : Table de valeurs : x y Nombre d’heures (temps) Salaire (en $) y = 10x 0 1 2 3 4 8 0 10 20 30 40 80 Réponse :80 $ Exemple # 1

13 F) Situations Un mécanicien peut réparer ton auto au taux horaire de 70 $ de l’heure et 200 $ en pièces de rechange. Quel est le coût pour une réparation qui prend 4 heures ? Variable indépendante (x) : Variable dépendante (y) : Règle : Table de valeurs : x y Nombre d’heures (temps) Prix (en $) y = 70x + 200 0 1 2 3 4 5 200 270 340 410 480 550 Réponse :480 $ Exemple # 2

14 F) Situations On vide une piscine qui contient 1000 litres d’eau. Le boyau qui expulse l’eau vide la piscine à un débit de 50 litres à l’heure. Après combien de temps sera-t-elle vide ? Variable indépendante (x) : Variable dépendante (y) : Règle : Table de valeurs : x y Nombre d’heures (temps) Quantité d’eau (en l) y = 1000 – 50x 0 2 4 10 15 20 1000 900 800 500 250 0 Réponse :20 heures. Exemple # 3

15 F) Situations Une voiture roule à une vitesse de 60 km/hre. Combien de temps prendra-t-elle pour parcourir 240 km ? Variable indépendante (x) : Variable dépendante (y) : Règle : Table de valeurs : x y Nombre d’heures (temps) Distance (en km) y = 60x 0 1 2 3 4 5 0 60 120 180 240 300 Réponse :4 heures. Exemple # 4

16 F) Situations Tu loues un autobus au prix de 300 $ pour aller voir un spectacle à Montréal entre amis. On s’intéresse au prix que tu demanderas à chacun en fonction du nombre d’amis qui t’accompagnent dans l’autobus. Variable indépendante (x) : Variable dépendante (y) : Règle : Table de valeurs : x y Nombre de personnes dans l’autobus Prix (en $) y = 300 1 2 3 10 15 20 300 150 100 30 20 15 x Exemple # 5

17 F) Situations Tu vends des oranges au prix de 1,50 $ pour financer ton voyage étudiant. Chaque orange te coûte 0,95 $. On s’intéresse à la relation entre le profit effectué et le nombre d’oranges vendues. Variable indépendante (x) : Variable dépendante (y) : Règle : Table de valeurs : x y Nombre d’oranges vendues Profits (en $) y = (1,50 – 0,95) x 0 1 2 10 20 100 0 0,55 1,1 5,5 11 55 y = 0,55x Exemple # 6

18  Les FONCTIONS MATHS 3 E SECONDAIRE - RELATIONS et PROPRIÉTÉS des fonctions - Pour chaque valeur de x, il existe au plus une seule valeur de y. A) Définition

19 y x y x Ce sont toutes des fonctions. y x y x y x

20 y x y x Ce ne sont pas des fonctions.

21 Règle de la VERTICALE : Le graphique doit toucher en 1 seul point à la droite verticale. y x y x Fonctions y x y x Pas des fonctions

22 Est-ce que ces graphiques représentent des fonctions ? x y OUI x y x y x y x y x y NON OUI Exercice

23 Une fonction s’écrit généralement f(x). B) Notation f(x) = 20x g(x) = 4x + 5 h(x) = 300 x Exemples

24 Dans les fonctions f(x) = 20x et g(x) = x 2 + 5x + 6, Calcule f(3) :f(3) = 20(3) f(3) = 60 Calcule f(0) :f(0) = 20(0) f(0) = 0 Calcule g(2) :g(2) = (2) 2 + 5(2) + 6 g(2) = 4 + 10 + 6 g(2) = 20 Calcule g(10) :g(10) = (10) 2 + 5(10) + 6 g(10) = 100 + 50 + 6 g(10) = 156 Exercice

25 On inverse les variables x et y. C) Réciproque

26 x -2 0 1 2 y 4 1 0 1 4 x y 0 1 2 1 2 3 4 -2 -2 -4 -3 y x 0 1 2 1 2 3 4 -2 -2 -4 -3 -2 0 1 2 4 1 0 1 4 x y La réciproque d’une fonction n’est pas toujours une fonction. Fonction initiale Sa réciproque

27  ENSEMBLES et INTERVALLES de nombres MATHS 3 E SECONDAIRE - RELATIONS et PROPRIÉTÉS des fonctions - A) Ensembles de nombres Q R Q’ Z N

28 N : Nombres naturels Nombres entiers supérieurs ou égal à 0. N : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … } Z : Nombres entiers Nombres entiers positifs, négatifs et nul. Z : { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } N

29 Q : Nombres rationnels Nombres qui s’écrivent sous la forme a / b (fractions). Q : { …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2, …, 7,238, … } En notation décimale, ils doivent « s’écrire » au complet. 5,24 0,34 2,95742   3, 14159… (pas rationnel) Exemples

30 Q’ : Nombres irrationnels Nombres qui ne s’écrivent pas sous la forme a / b (fractions). Q’ : { …, } En notation décimale, ils ne « s’écrivent » pas au complet. 5,242… -20,34294…   3, 14159… 2  1,41421… 235 ~ ℮ 1 + 5 2,,,,, …, Exemples

31 R : Nombres réels Ensemble de tous les nombres. Q R Q’ Z N

32 B) Intervalles de nombres < signifie : > ≤ ≥ plus petit que … plus grand que … plus petit ou égal à … plus grand ou égal à …

33 Exemples a)x ≤ 4 se lit x est plus petit ou égal à 4 ou 12 34 – ∞, 4 b)x > -2 se lit x est plus grand que -2 ou -2, + ∞ -2 01 2

34 Exemples c)5 < x < 15 se lit x est plus grand que 5 et plus petit que 15 ou 5, 15 05 1015 d)x < 1 ou x ≥ 4 se lit x est plus petit que 1 ou x est plus grand que 4 ou 01234 – ∞, 14, + ∞

35  PROPRIÉTÉS des FONCTIONS MATHS 3 E SECONDAIRE - RELATIONS et PROPRIÉTÉS des fonctions - DOMAINE Ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la variable x de la fonction.

36 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x dom f :[ -7, 9 ]

37 CODOMAINE (ou IMAGE) Ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la variable y de la fonction. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x codom f :[ -4 ; 3,1 ] ima f :[ -4 ; 3,1 ]

38 VARIATION Permet de cibler la croissante, constance ou décroissance de la fonction. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x [ -7, 1 ] CROISSANTE sur

39 VARIATION Permet de cibler la croissante, constance ou décroissance de la fonction. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x [ -7, 1 ] CROISSANTE sur [ 1, 9 ] DÉCROISSANTE sur

40 SIGNES Permet de savoir si la fonction est POSITIVE (valeurs de y positives) ou NÉGATIVE (valeurs de y négatives). 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x [ -4,2 ; 6,2 ] POSITIVE sur

41 SIGNES Permet de savoir si la fonction est POSITIVE (valeurs de y positives) ou NÉGATIVE (valeurs de y négatives). 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x [ -7 ; -4,2 ] NÉGATIVE sur [ -4,2 ; 6,2 ] POSITIVE sur [ -6,2 ; 9 ]

42 ORDONNÉE À L’ORIGINE (ou VALEUR INITIALE) Endroit où la courbe croise l’axe des y. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x (0, 3) ORDONNÉE À L’ORIGINE :

43 ABSCISSE À L’ORIGINE (ou ZÉRO) Endroit où la courbe croise l’axe des x. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x ( 0, 3 ) ORDONNÉE À L’ORIGINE : ( -4,2 ; 0 ) ABSCISSE À L’ORIGINE : et ( 6,2 ; 0 )

44 EXTREMUMS Permet de cibler le MAXIMUM et le MINIMUM de la fonction. 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x MAXIMUM à 3,1 MINIMUM à -4

45 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff Dom f  [ -8, 3 ] DOMAINE : Exercice

46 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff Ima f  [ -4, 8 ] IMAGE : Dom f  [ -8, 3 ] DOMAINE : Exercice

47 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff Ima f  [ -4, 8 ] IMAGE : Dom f  [ -8, 3 ] DOMAINE : MAXIMUM : (absolu) Max f  { 8 } Exercice

48 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff Ima f  [ -4, 8 ] IMAGE : Dom f  [ -8, 3 ] DOMAINE : MAXIMUM : (absolu) Max f  { 8 } MINIMUM : (absolu) Min f  { -4 } Exercice

49 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff { 4 } ORDONNÉES À L’ORIGINE ou f(0) : Exercice

50 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff { 4 } ORDONNÉES À L’ORIGINE ou f(0) : { -6, -1 } ABSCISSE À L’ORIGINE ou ZÉRO ou f(x) = 0 : Exercice

51 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff x  [ -2, 1 ] CROISSANTE sur Exercice

52 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff x  [ -2, 1 ] CROISSANTE sur x  [ -8, -2 ] DÉCROISSANTE sur U [ 1, 3 ] Exercice

53 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff x  [ -2, 1 ] CROISSANTE sur x  [ -8, -2 ] DÉCROISSANTE sur U [ 1, 3 ] x  [ -8, -6 ] f(x)  0 ou POSITIVE sur U [ -1, 3 ] Exercice

54 1 1 23456789 -9-8-7-6-5-4-3-2 9 8 7 6 5 4 3 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Rappel des propriétés Soit la fonction f : ff x  [ -2, 1 ] CROISSANTE sur x  [ -8, -2 ] DÉCROISSANTE sur U [ 1, 3 ] x  [ -8, -6 ] f(x)  0 ou POSITIVE sur U [ -1, 3 ] x  [ -6, -1 ] f(x)  0 ou NÉGATIVE sur Exercice