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La fonction quadratique Le sommet de la parabole Léquation de laxe de symétrie Lextrémum Lordonnée à lorigine.

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Présentation au sujet: "La fonction quadratique Le sommet de la parabole Léquation de laxe de symétrie Lextrémum Lordonnée à lorigine."— Transcription de la présentation:

1 La fonction quadratique Le sommet de la parabole Léquation de laxe de symétrie Lextrémum Lordonnée à lorigine

2 Le sommet dune parabole est donné par S( h, k ) Démonstration La parabole de base à son sommet à lorigine du plan. Les coordonnées du sommet sont donc ( 0, 0 ). Le paramètre h crée une translation horizontale. Exemple: si h = 2 alors… Nouvelles coordonnées: S( 0 + 2, 0 ) S( 0 + h, 0 ) S ( h, 0 )

3 Le sommet dune parabole est donné par S( h, k ). La parabole de base à son sommet à lorigine du plan. Les coordonnées du sommet sont donc ( 0, 0 ). Le paramètre k crée une translation verticale. Exemple: si k = 3 alors… Nouvelles coordonnées: S( 0, ) S( 0, 0 + k ) S ( 0, k )

4 Ainsi, dans la fonction f(x) = ( x – 2 ) Le sommet de la parabole: S ( 0 + 2, ) S ( 0 + h, 0 + k ) S ( h, k )

5 Léquation de laxe de symétrie est donné par x = h Démonstration La parabole de base a comme axe de symétrie laxe des y. ou x = 0 Le paramètre h crée une translation horizontale. Exemple: si h = 2 alors… x = x = 0 + h x = h

6 Laxe de symétrie est utile car il permet: danalyser la croissance et la décroissance de la fonction: f(x) sur : -, 1] f(x) sur : [ 1, + - de déterminer labscisse du sommet de la parabole: S ( 1, k ) - de repérer les zéros de fonction: x 1 = - 1 axe de symétrie x = 1 donc x 2 = 3

7 La coordonnée K nous renseigne sur lextrémum de la fonction. S ( h, )k Ainsi, dans la fonction : f(x) = ( x – 2 ) S ( 2, ) 3 k = 3 Minimum absolu = 3 f(x) = - ( x – 2 ) Dans la fonction: S ( 2, ) 3 k = 3 Maximum absolu = 3

8 Lordonnée à lorigine ( ou valeur initiale ) est la valeur de f(x) quand x = 0. À cet endroit, la fonction traverse laxe des ordonnées ( axe des y ). f(0) Elle se calcule dons assez facilement dans nimporte quelle forme. Exemples:f(x) = 2x 2 + x - 15 f(0) = 2 X = -15 f(0) = -15 f(x) = 2 ( x - 2 ) f(0) = 2 ( ) f(0) = 2 ( -2 ) f(0) = 2 X = 1 f(0) = 1 donc x y

9 La fonction quadratique peut sécrire sous la forme canonique ou sous la forme générale, donc : Forme canonique : Forme générale : f(x) = a ( x – h ) 2 + K f(x) = ax 2 + bx + c Sommet : Axe de symétrie : S ( h, k ) x = h Sommet : Axe de symétrie : - b 2a 4a 4ac – b 2 S, - b 2a x = Extrémum : k 4ac – b 2 4a Ordonnée à lorigine : f(0) Ordonnée à lorigine : f(0)

10 Exercices Dans les fonctions suivantes, détermine les coordonnées du sommet de la parabole, léquation de laxe de symétrie, lextrémum et lordonnée à lorigine. f(x) = 3 ( x – 2 ) S ( 2, - 4 ) f(x) = - 2 ( x + 3 ) S ( - 3, 2 ) Attention aux signes ! f(x) = - 2 ( x + 3 ) f(x) = - 2 ( x ) f(x) = a ( x - h ) 2 + k car donc h = - 3 Min. abs.: - 4 Max. abs.: 2 8 S ( h, k ) x = hExtrémum: k Ordonnée à lorigine: f(0) - 16 x = 2 x = - 3

11 f(x) = x x b 2a 4a 4ac – b 2 S, Exercice X 14 X 1 4 X 1 X S, a = 1 b = 6 c = S, S ( - 3, -1 ) S, x = - 3Axe de symétrie: Extrémum:Min. abs. : - 1 car a = + 1 donc Dans la fonction suivante, détermine les coordonnées du sommet de la parabole, léquation de laxe de symétrie, lextrémum et lordonnée à lorigine. Ordonnée à lorigine : f(x) = x x + 8 f(0) = X = 8 f(0) = 8


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