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La fonction quadratique Déterminer la règle. Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et f(x)

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1 La fonction quadratique Déterminer la règle

2 Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et f(x) dans une fonction. Chaque valeur de f(x) est déterminée en fonction de chaque valeur de x par une règle. Ainsi, dans la règle : f(x) = - (x – 2) Si x = 5 f(5) = - (5 – 2) f(5) = - (3) f(5) = f(5) = - 6 Nous obtenons ainsi le couple (5, - 6) Introduction

3 Ainsi, le couple (1, 2) appartient à la courbe de la fonction, f(x) = - (x – 2) De ce fait, il découle que : chaque couple de coordonnées, qui vérifie la règle (qui rend léquation vraie), appartient à la courbe. 2 = - (1 – 2) Car, ( 1, 2 ) 2 = - (- 1) = = 2 Vrai y x

4 À linverse, les coordonnées dun point sur la courbe vérifie la règle. f(x) = - (x – 2) = - (-1 – 2) = - (-3) = = - 6 ( -1, - 6 ) Vrai y x

5 x y 1 1 y x 1 1 Pour déterminer la règle dune fonction quadratique, on utilise la forme canonique. on utilise la forme générale il faut un minimum dinformations. les coordonnées du sommet de la parabole les zéros de fonction et les coordonnées dun autre point de la courbe, f(x) = a (x – h) 2 + k f(x) = a (x – x 1 ) (x – x 2 ) Si les informations données sont factorisée.

6 Une fonction quadratique passe par un point dont les coordonnées sont (4, 102). Son sommet se situe à (-2, -6). Quelle est sa règle ? À partir des informations fournies, il faut utiliser la forme canonique. f(x) = a (x – h) 2 + k Sommet (-2, -6), donc h = - 2 k = = a (4 + 2) = a (6) Coordonnées du point : (4, 102), donc à ce point, x = 4 y = = 36a = a ( – ) 2 + Remplaçons : Effectuons les calculs : En remplaçant les différents termes par les coordonnées fournies, nous obtenons une équation dans laquelle il ny a quune seule inconnue.

7 102 = 36a Isolons a : 108 = 36a 36 3 = a Sachant que a = 3, h = - 2 et k = - 6 La règle est donc : f(x) = a (x – h) 2 + k f(x) = 3 (x + 2) Il ne reste quà déterminer la valeur de a.

8 Lorsque lon connaît les zéros de fonction et les coordonnées dun autre point, il faut utiliser la forme générale factorisée. Pour bien comprendre le procédé, nous devons nous souvenir dun des procédés pour trouver les zéros de fonction. Avec la forme générale : Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul. Exemple :f(x) = 2x 2 + 4x = 2 (x 2 + 2x - 8) 0 = 2 (x + 4) (x – 2) Si x + 4 = 0, alors x = - 4 Si x - 2 = 0, alors x = 2 Les zéros de fonction sont donc de signes contraires des coefficients des binômes. f(x) = a (x - x 1 ) ( x - x 2 )

9 De cette démonstration, on peut déduire la version théorique de la forme générale factorisée. f(x) = a (x – x 1 ) (x – x 2 ) x 1 et x 2 sont les zéros de fonction le - signifie lopposé des zéros. et Ainsi, si une fonction quadratique a comme zéros de fonction 5 et -3, alors les binômes qui la composent sont (x – 5) et (x + 3).

10 Une fonction quadratique a comme zéros de fonction -1 et 3. De plus, elle passe par le point dont les coordonnées sont (4, 10). Quelle est sa règle ? Les zéros sont -1 et 3, donc x 1 = - 1 et x 2 = 3 f(x) = a (x - x 1 ) ( x - x 2 ) Remplaçons : Déterminons les binômes : a (x - ) (x - ) f(x) = f(x) = a (x + 1) (x - 3) Coordonnées du point : ( 4, 10 ),donc à ce point : x = 4 y = f(x) = a (x + 1) (x - 3) = a ( + 1) ( - 3) Remplaçons :

11 Sachant que a = 2, x 1 = - 1 et x 2 = 3 f(x) = a (x – x 1 ) ( x – x 2 ) f(x) = 2 (x – -1) ( x – 3) f(x) = 2 (x + 1) (x – 3) Développons : f(x) = 2 (x 2 - 2x – 3) f(x) = 2x 2 - 4x – 6 Calculons : 10 = a (4 + 1) (4 – 3) 10 = a X 5 X 1 10 = 5a 2 = a


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