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Factorisation par division. Factoriser, cest retrouver les facteurs qui constituent un produit. Produit = 15 = 5a = ab = 3x + 3 = x 2 + 5x + 6 = ou 1.

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1 Factorisation par division

2 Factoriser, cest retrouver les facteurs qui constituent un produit. Produit = 15 = 5a = ab = 3x + 3 = x 2 + 5x + 6 = ou 1 X 15 facteur X facteur 3 X 5 5 X a a X b 3 X ( x + 1 ) ( x + 2 ) X ( x + 3) factoriser Remarque:Comme il existe plusieurs formes de produit, il existe plusieurs techniques de factorisation.

3 Lorsque lon connaît lun des facteurs, on peut déterminer lautre par division. Exemple: Sachant que 3 est facteur de 15, détermine lautre facteur ? Ici, on nous fournit un des facteurs soit 3. La division de 15 par 3 nous donnera lautre facteur soit 5 La division est donc une forme de factorisation. Factoriser par division

4 Division de monômes - diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final; Pour diviser un monôme par un monôme, il faut: 12 x 3 y 2 z ÷ 6yz : 12 ÷ 6 = 2 x3x3 y 2 ÷ y 1 =y 2-1 = y 1 = z ÷ z = z 1 ÷ z 1 = z 1-1 = z 0 = 1 2 x 3 y y 2. x 3. y. 1 = 12 x 3 y 2 z ÷ 6yz : On pourrait aussi procéder comme suit: 12 x 3 y 2 z 6yz = x. x. x. y. y. z y. z = 2 x 3 y

5 2 x 2 y 3 z ÷ 4 x yz 2 : 2 ÷ 4 = 1 2 x 2 ÷ x 1 = x 1 = x y 3 ÷ y 1 = y2y2 z 1 ÷ z 2 = z 1-2 = z -1 = 1 z x 2-1 = y 3-1 = 2 z x y ÷ 2 2 = =2 -1 = 1 2. x. y 2. 1 z = On pourrait aussi procéder comme suit: 2 x 2 y 3 z ÷ 4 x yz 2 = 2x2y3z2x2y3z 4 x yz 2 = x. y. z. z 2. x. x. y. y. y. z = 2 z x y 2

6 4 x 2 ÷ 2 x 1 y 1 ou 4 x 2 X 1 ÷ 2 x 1 y 1 4 x 2 X y 0 ÷ 2 x 1 y 1 : 4 ÷ 2 = 2 x 2 ÷ x 1 = x 2-1 = x y 0 ÷ y 1 =y 0-1 =y -1 = 1 y y 2x2x 4 x 2 ÷ 2 x y = 2. x. 1 y = On pourrait aussi procéder comme suit: 2. x. y x. x. 4x24x2 2xy2xy = = 2 x y 4 x 2 ÷ 2 x y =

7 y2y2 y x3x z = Procédé rapide 12 x 3 y 2 z ÷ 6yz : 12 x 3 y 2 z 6yz = x. x. x. y. y. z y. z = 2 x 3 y Selon ce principe 2 x3x3 Le plus grand est en haut donc… Ils sannulent. z y 2 x3x3 y

8 Procédé rapide Selon ce principe Le plus grand est en bas donc… 2 x 2 x 2 y 3 z ÷ 4 x yz 2 = 2x2y3z2x2y3z 4 x yz 2 = x. y. z. z 2. x. x. y. y. y. z = 2 z x y 2 z z2z2 y3y3 y 2 4 x2x2 x = z Le plus grand est en haut donc… y2y2 2 z x y 2 2

9 4 x2x2 2 x y Procédé rapide Selon ce principe 2. x. y x. x. 4x24x2 2xy2xy = = 2 x y 4 x 2 ÷ 2 x y = = Le plus grand est en haut donc… 2 x y 2 x y Effectue les divisions suivantes : 6a 3 b 3 c 2 2a 2 bc = 3ab 2 c 24 x 3 y 4 9x4y29x4y2 = = 23y223y2 3x3x x 3. y x 4. y 2 = 8y 2 3x3x 120 a 4 b 3 c 6 d a 3 b 3 c 4 d 87 = 2ac 2 d ( x ) 3 ( x ) 2 = ( x )

10 Division dun polynôme par un monôme Exemples: ( 3xy + 6y ) ÷ 3y = ( 3xy + 6y ) 3y = 3xy + 6y 3y = x + 2 ( x 2 – 3x ) ÷ x = ( x 2 – 3x ) x = x 2 - 3x x x = x - 3 2x 2 + 3x - 4 ( 6x 3 + 9x 2 – 12x ) 3x = 6x 3 + 9x x 3x = Pour diviser un polynôme par un monôme : - on distribue le monôme sur le polynôme; - on procède alors comme une division dun monôme par un monôme.

11 2c Problème Le volume de ce prisme est de ( 2c c c ) unités 3. Quelle expression algébrique représente laire dune des bases sachant que la hauteur du prisme est représentée par le monôme 2c ? Volume = Aire base X hauteur Aire base = volume hauteur 2c c c 2c Réponse: ( c 2 + 5c + 6 ) unités 2 Remarque: La division est une des techniques de factorisation. 2c c c 2c = 2c c c 2c = c 2 + 5c + 6


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