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Chapitre 5 Calcul littéral Identités remarquables.

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1 Chapitre 5 Calcul littéral Identités remarquables

2 I-RAPPELS 1) Écriture littérale - Identité On appelle écriture littérale une écriture dans laquelle certains nombres sont remplacés par des lettres. Exemples : A = 3x +2y – 3B = 2(x+5)(4x-6 ) Une identité est une égalité qui est toujours vraie. Exemples : 2×6=4×3 est une identité. 2) Nom dune expression algébrique Une expression algébrique porte le nom de la opération effectuée. Exemples : C = (2x+1)(3x+2) est un D=x(2x-3) + x est une 3) Développer et factoriser Développer un produit, cest le transformer en une algébrique Pour tous nombres a,b,c,d et k : dernière produit somme k(a+b) =ka + kb k(a-b) =ka - kb (a+b)(c-d) = (a+b)(c+d) =ac + ac - ad + bc - bd Exemples : 3(x+2) = 5(3x-1) = 3x+6 15x-5 (x+1)(3+x) =3x+x²+3+x =x²+4x+3 (2x+5)(x-2) =2x²-4x+5x-10 =2x²+x-10 ad +bc +bd

3 Factoriser une somme algébrique, cest lécrire sous la forme dun produit Exemples : x² + 2x =x ×x + 2x =x(x+2) x =5×4 + 3×5x =5(4+3x) (x+1)(x+3) – (2x-3)(x+1) =(x+1)[(x+3)-(2x-3)] =(x+1)[x+3-2x+3)] =(x+1)(-x+6) II-IDENTITES REMARQUABLES 1) Carré dune somme Propriété : Pour tous nombres a et b : (a+b)² = a² + 2ab + b² Démonstration : (a+b)²(a+b)(a+b)= =a² + ab + ba + b² =a² + ab + ab + b² =a² + 2ab + b² Factorisation Développement

4 2) Carré dune différence Propriété : Pour tous nombres a et b : (a-b)² = a² - 2ab + b² Développement Factorisation Démonstration : (a-b)²(a-b)(a-b)= =a² - ab - ba + b² =a² - ab - ab + b² =a² - 2ab + b² Exemples : (3x+2)² = (3x)² + 2×3x×2 + 2² =9x² + 12x x² + 8x + 1 = (4x)² + 2×4x×1 + 1 =(4x+1)² Exemples : (2x-3)² = (2x)² -2×2x×3 + 3² =4x² - 12x x² - 20x + 4 = (5x-2)²(5x)² - 2×5x×2 + 2² =

5 3) Différence de deux carrés Propriété : Pour tous nombres a et b : (a+b)(a-b) = a² - b² Développement Factorisation Exemples : (x-2)(x+2) =x²-2² =x²-4 16x²-9 =(4x)²-3² =(4x-3)(4x+3) Démonstration : (a+b)(a-b)a² - ab + ba - b²= =a² - ab + ab - b² =a² - b²


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