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CHAPITRE 4 Calcul littéral et Identités Remarquables.

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1 CHAPITRE 4 Calcul littéral et Identités Remarquables

2 Objectifs: -Factoriser et développer des expressions en utilisant les identités remarquables. -Tester la validité dune factorisation ou dun développement.

3 I. Les outils 1) La simple et la double distributivité Quelques soient les nombres relatifs a, b, c, d et k on a : k x ( a + b ) = k x a + k x b ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d Exemples :143 x 102= 143 x ( ) = 143 x x 2 k x ( a + b ) = k x a + k x b = =

4 102 x 209= ( ) x ( ) ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d = 100 x x x x 9 = = A = 3(- 6 x + 4) = -18 x k x ( a + b ) = k x a + k x b + 12 B = (2 x + 3)(3 x - 4) ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d = 6 x ²- 8 x + 9 x – 12 = 6 x ²+ x - 12

5 2) Règle de suppression des parenthèses Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses : - précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à lintérieur des parenthèses. - précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à lintérieur des parenthèses en son opposé. Exemple :A = 8 + (- 3 + x ) - ( x ) = 8 + (- 3 + x ) - ( x ) = 8– 3+ x – 4+ 3 x = 4 x + 1

6 3) Les trois identités remarquables Quelques soient les nombres relatifs a et b on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² Voir les démonstrations de ces identités dans le cahier dexercices. Exemples :103²= ( )² (a + b)² = a² + 2ab + b² = 100²+ 2 x 100 x 3+ 3² = = (a + b)(a – b) = a² - b²

7 96²= ( )² (a - b)² = a² - 2ab + b² = 100²- 2 x 100 x 4+ 4² = = x 95= ( ) x ( ) (a + b)(a - b) = a² - b² = 100²- 5² = = 9 975

8 II.Développer une expression littérale Développer une expression littérale, cest la transformer en une somme de termes. 1) Développer une identité remarquable Exemples : Développer en utilisant les identités remarquables (a + b)² = a² + 2ab + b² A = ( x + 3)² a est représenté par x : donc a² vaut x ² = x ² b est représenté par 3 : donc 2ab vaut 2 x x x 3 = 6 x + 6 x et b² vaut 3²= 9 + 9

9 B = (4 - 3 x )² (a - b)² = a² - 2ab + b² a est représenté par 4 : donc a² vaut 4²=16 = 16 b est représenté par 3 x : donc 2ab vaut 2 x 4 x 3 x = 24 x - 24 x et b² vaut (3 x )²= 9 x ² + 9 x ² C = (2 x + 3)(2 x - 3) (a + b)(a - b) = a² - b² a est représenté par 2 x : donc a² vaut (2 x )²= 4 x ² = 4 x ² b est représenté par 3 : donc b² vaut 3²= 9 - 9

10 2) Application à des développements plus complexes Exemples :Développer et réduire les expressions suivantes. A = (2 x - 3)² + ( x + 5)(3 - x ) = (2 x - 3)² + ( x + 5)(3 - x ) (a - b)² = a² - 2ab + b²( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d = 4 x ² - 12 x x – x ² x = 3 x ² - 14 x + 24

11 B = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3 x )² = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3 x )² (a + b)(a - b) = a² - b² = x ² (a - b)² = a² - 2ab + b² ( x + 9 x ² ) = x ² x - 9 x ² Règle de suppression des parenthèses précédées du signe - = -8 x ²+ 24 x - 25

12 III.Factoriser une expression littérale Factoriser une expression littérale, cest la transformer en un produit de facteurs. 1) Le facteur commun est apparent Remarque : pour factoriser, il faut trouver dans lexpression un facteur commun, puis utiliser la formule de simple distributivité. k a + k b = k ( a + b ) Exemples :Factoriser et réduire les expressions suivantes. A = 4 x - 4 y + 8 = 4 x - 4 y + 4x2 = 4( x - y + 2 )

13 B = x ² + 3 x - 5 x ² = x x x + x x 3 - x x 5 x = x ( x x ) = x (- 4 x + 3) C = (1 - 6 x )² - (1 - 6 x )(2 + 5 x ) = (1 - 6 x )(1 - 6 x ) - (1 - 6 x )(2 + 5 x ) = (1 - 6 x )[ (1 - 6 x ) - (2 + 5 x )] = (1 - 6 x )[ x x ] Règle de suppression des parenthèses précédées du signe - = (1 - 6 x )( - 11 x - 1 )

14 2) Le facteur commun nest pas apparent Remarque : pour factoriser, il faut utiliser une identité remarquable. a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² Exemples :Factoriser et réduire les expressions suivantes. 4 x ² + 12 x + 9 = a² + 2ab + b²= (a + b)² (2x + 3 )² avec a = 2 x et b = 3 2x2x 3 a² - b² = (a + b)(a - b)

15 x ² - 2 x + 1 = a² - 2ab + b²= (a - b)² (2x - 3 )² avec a = x et b = 1 x 1 25 x ² - 49 = ( + )( - ) a² - b²= (a + b) (a - b) avec a = 5 x et b = 7 5x5x 75x5x 7 A = (2 x + 3)² - 64 a² - b²= (a + b) (a - b) =[ – ][ + ] avec a = (2 x + 3) et b = 8 (2 x + 3) 88 = [2 x + 3 – 8][2 x ] = (2 x – 5)(2 x + 11)


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