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LE CALCUL LITTÉRAL AU COLLÈGE. 2 Calcul de (-3/2 a) x(-8a) Factoriser ( x +5)² - 4 Développer (5- x )(5+2 x ) 48% 15% 58% Quelques résultats des évaluations.

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1 LE CALCUL LITTÉRAL AU COLLÈGE

2 2 Calcul de (-3/2 a) x(-8a) Factoriser ( x +5)² - 4 Développer (5- x )(5+2 x ) 48% 15% 58% Quelques résultats des évaluations (nationale, Apmep, Inrp) Faux Vrai 35 % 65 % 43 % 57 % Vrai ou faux (en justifiant ) 2 ( x y) = 2x 2y 2 ( 5 x) = 10 x Troisième Seconde 97 Fin de troisième 97 Le nombre 2 est-il solution de léquation x ² - x –2 = 0 ? 72,2 % Seconde 95

3 3 Parmi les expressions suivantes: 3 x +4 ; x ( x +1); x(x +3)–4 ; x +( x -1)( x +2) ; ( x +1)² ; 2 x ( x -3)+3( x -1) reconnaître les sommes reconnaître les produits Seconde 97 4 sommes : 28% 3 sommes : 38,2% 56,3% Quelques résultats des évaluations (nationales, Apmep, Inrp) 52,4 % Seconde 96

4 4 Pour désigner un objet. Pour désigner une variable. Pour désigner une inconnue. Pour désigner une indéterminée. Différents statuts des lettres

5 5 Exemples pour la lettre objet. La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres. La lettre désigne une abréviation dun objet mathématique : A = L X l retour

6 6 Exemples pour variable en 6éme Quel nombre peut-on mettre à la place de t ? 1,2 < t < 1,5 Complète le tableau suivant : a12,547 7xa retour

7 7 Exemple pour indéterminées Pour tous les nombres k, a, b k (a + b) = k a + k b retour

8 8 Différents statuts du signe égal Annonce dun résultat, déclencheur dopérations. (EXE) Égalité sous conditions : équations. Égalité toujours vraie : identité. Un adressage, une affectation dans le cadre fonctionnel.

9 9 Les autres signes opératoires En arithmétique, les signes opératoires indiquent principalement les procédures. Les résultats sont numériques. En algèbre, les écritures indiquent la procédure et le résultat.

10 10 Les écritures en algèbre « x + 7 ». Procédure (addition) et / ou résultat (somme) Cette difficulté est à lorigine de transformations « non cohérentes » en 7 x ou en x + 7 = 0…

11 11 Les écritures en algèbre 6 x ² + 9 x Pour substituer 4 Pour résoudre 6 x ² + 9 x = 0 Aspect procédural Aspect structural

12 12 Un premier bilan

13 13 Les principaux objectifs du calcul littéral Outil qui permet la justification et lexplication des règles de calcul et des techniques de calcul. Exemple : Application au calcul mental. Outil performant pour la résolution de problèmes. Outil de généralisation et de preuve.

14 14 Résolution de problèmes Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre. Quelle est la mesure dun côté du triangle ?

15 15 Résolution de problèmes Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre. Quelle est la mesure dun côté du triangle ?

16 16 Outil de généralisation Le professeur a écrit au tableau lexercice suivant : Calculer 23 X ;23 X ;23 X ; 23 X X ;23 X ;23 X ; 23 X Un camarade est absent. Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs. La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce quil doit faire. (Manuel Triangle, édition Hatier) Les exercices du type programme de calcul.

17 17 Outil de généralisation

18 18 Outil de preuve LLorsquon ajoute trois nombres entiers consécutifs, peut-on affirmer que la somme obtenue est un multiple de 3 ? CChoisis deux nombres dont la somme est 300 et calcule leur produit. Ajoute 7 à chacun deux, de combien augmente le produit ?

19 19 Un apprentissage progressif de la sixième à la seconde

20 20 En sixième Développer les sens de légalité. Dans une expression littérale, fixer toutes les variables sauf une qui prend successivement plusieurs valeurs. Par des activités numériques du type : 0,4 = = 23,52 =2x10+3+5x +2x

21 21 Initiation aux écritures littérales : tâches de substitution (formulaire pour les aires et périmètre du cercle) mise en jeu implicite de notions fonctionnelles. trouver une formule exprimant le périmètre dune figure en fonction dune ou deux longueurs désignées par une ou deux lettres. En sixième

22 22 En sixième Initiation à la résolution déquations : égalités à trous. Absence de lettre pour marquer linconnue. Procédures en référence au sens des opérations. Procédure utilisant un schéma.

23 23 Exemple dutilisation dun schéma. Trouver la longueur manquante dans chaque cas : 10 7 ? 3 2 ? Longueur totale 9

24 24 En cinquième Introduction de la lettre comme indéterminée : kx(a+b) = kxa + kxb. Conventions décriture Écritures littérales : tâches de substitution transformations décriture

25 25 En cinquième Fonctions : dans une formule, variation dune grandeur en fonction dune autre mise en jeu implicite de notions fonctionnelles. Suite du travail sur la résolution déquations : lettre pour marquer linconnue. tests dans des égalités, des inégalités. résolution basée sur le sens des opérations.

26 26 En quatrième Mise en équation dun problème. Algorithme de résolution des équations en référence aux règles connues. « Double distributivité ». Tests pour vérifier les transformations algébriques. Égalité : d = v x t.

27 27 En troisième Résolution de systèmes déquations. Identités remarquables. Premières formalisations sur la notion de fonction. Prise dinitiative lors des tâches portant sur le calcul littéral.

28 28 Exemple en troisième A = (2 x + 3)(-4 + x ) – 4 x ( x – 4) Montrer que A = ( x – 4) (3 – 2 x ) Montrer que A = -2 x ² + 11 x – 12 Résoudre A = - 12 Résoudre A = 0


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