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Nombres et calculs Niveau 5ème Objectifs fondamentaux : Résoudre des problèmes et limiter les activités de technique pure Pratiquer le calcul mental, automatisé

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Présentation au sujet: "Nombres et calculs Niveau 5ème Objectifs fondamentaux : Résoudre des problèmes et limiter les activités de technique pure Pratiquer le calcul mental, automatisé"— Transcription de la présentation:

1 Nombres et calculs Niveau 5ème Objectifs fondamentaux : Résoudre des problèmes et limiter les activités de technique pure Pratiquer le calcul mental, automatisé ou réfléchi, le calcul posé, le calcul avec emploi de la calculatrice Poursuivre linitiation au calcul littéral : premières transformations décriture

2 Nombres et calculs Niveau 5ème Priorités : Pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes Prévoir des ordres de grandeur Opérer en conservant lécriture fractionnaire dans les calculs Utiliser le vocabulaire approprié Contrôler ou anticiper des résultats par des calculs mentaux ou approchés

3 Nombres et calculs Niveau 5èmeNombres entiers et décimaux positifs Enchaînement dopérations a b c a b c a peut selon le cas désignerb c

4 Nombres et calculs Niveau 5èmeNombres entiers et décimaux positifs Distributivité de la multiplication par rapport à laddition Sur des exemples numériques ou utiliser les égalités dans les deux sens littéraux, Introduction des notations a 2 et a 3 utilisées dans les formules daires et de volumes

5 1 cm 1 cm = 1 cm² Ce carré a une aire de 1 cm² 1 cm 1 cm a cm = a cm² Ce rectangle a une aire de a cm² a cm 1 cm Exemples : Nombres et calculs Niveau 5èmeNombres entiers et décimaux positifs

6 A laide dun compas, dune règle non graduée et des deux segments ci-dessus, construis un rectangle daire 2 cm², un carré daire a² cm², un rectangle daire 2a cm², un rectangle daire 2a² cm². Parmi ces quatre rectangles, quel est celui qui a le plus grand périmètre ? Nombres et calculs Niveau 5ème Exemples : Nombres entiers et décimaux positifs a cm 1 cm

7 Ces pièces sont construites à partir de cubes de côté a cm. Quelle est celle qui a le plus grand volume ? Quelle est celle qui a la plus grande aire ? Nombres et calculs Niveau 5ème Exemples : Nombres entiers et décimaux positifs

8 Division par un décimal Exemple : Multiples et diviseurs, divisibilité Reconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier positif est multiple ou diviseur dun autre nombre entier positif ,4 : 0,6 = = = 4 2,4 0,6 Nombres et calculs Niveau 5èmeNombres entiers et décimaux positifs

9 Sens de lécriture fractionnaire Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire a ba b est un nombre a ba b est le nombre qui multiplié par b donne a a ba b peut être approché par des nombres décimaux

10 Sens de lécriture fractionnaire Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire Utiliser lécriture fractionnaire comme expression dune proportion sera justifié à laide dun exemple générique ac a = bc b

11 Considérons le nombre n tel que n = Conclusion : Ce qui se traduit par 3 n = 5. Donc 2 ( 3 n) = 2 5. On obtient alors (2 3) n = 2 5, cest-à dire 6 n = 10. Par définition du quotient n = Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire Pour montrer que

12 Comparer deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans le cas où le dénominateur de lun est un multiple du dénominateur de lautre Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

13 comparaison à un même entier mise au même dénominateur dans des cas accessibles au calcul mental calcul des quotients approchés Quand numérateurs et dénominateurs sont différents, la comparaison pourra être envisagée dans des cas simples. Différentes procédures pourront alors être envisagées : Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

14 Exemples : 7 5 x x 7 5,4 2 x 2,1 3 Addition et soustraction de deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans le cas où le dénominateur de lun est un multiple du dénominateur de lautre 5 4,8 x 11 Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

15 La nouvelle unité est le septième. Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

16 Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

17 Nombres et calculs Niveau 5ème Nombres positifs en écriture fractionnaire

18 Notion de nombre relatif Que peut-on dire de la différence d = 3 - 5,7 ? d + 5,7 - 3 = on enlève 3 à deux quantités qui lui sont égales d + 5,7 = 3définition de la différence d + 2,7 = 0 d = 0 - 2,7définition de la différence Nombres et calculs Niveau 5èmeNombres relatifs entiers et décimaux

19 Notion de nombre relatif Utiliser la notion dopposé On décide de noter d = - 2,7 Nombres et calculs Niveau 5èmeNombres relatifs entiers et décimaux

20 Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs Nombres et calculs Niveau 5èmeNombres relatifs entiers et décimaux

21 Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans laquelle interviennent +, - et éventuellement des parenthèses Nombres et calculs Niveau 5èmeNombres relatifs entiers et décimaux Sur des exemples numériques écrire, en utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul la suppression des parenthèses sera étudiée en 4ème

22 Tester si une égalité est vraie ce qui disparaît : Trouver le nombre par lequel diviser un nombre pour obtenir un nombre donné Nombres et calculs Niveau 5ème Equation 3 x = 5 Exemple du type :

23 Nombres et calculs Niveau 4 e Objectifs fondamentaux : Résoudre des problèmes et ne pas privilégier les activités de technique pure Pratiquer le calcul numérique Poursuivre létude du calcul littéral.

24 Nombres et calculs Niveau 4 e Priorités : Calcul mental, calcul posé, calcul avec la machine ou lordinateur Maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées Acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres Réflexion et initiative dans le choix de lécriture appropriée dun nombre suivant la situation Développement du calcul littéral

25 Nombres et calculs Niveau 4 e Généralisation de règles : addition réitérée Calculer le produit de nombres relatifs simples 3 (-2) = (-2) + (-2) + (-2) 3 (-2) = (-6) Calcul numérique Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales Donner une valeur approchée du quotient de deux nombres

26 Nombres et calculs Niveau 4 e Sur des exemples, la distributivité de la multiplication par rapport à l addition est utilisée pour justifier la règle des signes Calcul numérique Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales

27 Nombres et calculs Niveau 4 e Donc les nombres (-15) et (-3) (-5) sont opposés. Conclusion : (-3) (-5) = (+15) Calcul numérique (-3) 5 + (-3) (-5) = (-3) [5 + (-5)] Or (-3) 5 = (-15) Pour montrer que (-3) (-5) = (+15) Opérations sur les nombres relatifs en écritures décimales

28 Nombres et calculs Niveau 4 e Produit, quotient Pour la somme : recherche dun multiple commun des dénominateurs dans les cas où un calcul mental est possible Calcul numérique Opérations sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires Connaître et utiliser légalité

29 Nombres et calculs Niveau 4 e La suppression de parenthèses dans une somme algébrique est étudiée Calcul numérique Opérations sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires (ou décimales)

30 Nombres et calculs Niveau 4 e Puissances dexposants entiers Comprendre les notations et Calcul numérique Utiliser ces notations en sappuyant sur leur signification et non par lapplication de formules 4² 4 3 = (4 4) (4 4 4) = = 4 5 (5a)² = (5a) (5a) = (5 a) ( 5 a) = 5 5 a a = 5² a² = 25a²

31 Nombres et calculs Niveau 4 e Calcul numérique Puissances de 10 Utiliser sur des exemples numériques les égalités : notation scientifique, ordre de grandeur

32 Nombres et calculs Niveau 4 e Racine carrée Racine carrée à utiliser dans un problème ; elle disparaît de ce chapitre et apparaît en géométrie Calcul numérique

33 Nombres et calculs Niveau 4 e Calcul numérique de la valeur dune expression littérale Intérêt de tester des valeurs dans une égalité. Calcul littéral

34 Nombres et calculs Niveau 4 e Utilisation du calcul littéral sur trois axes : - calculs numériques - mise en équation et résolution de problèmes - preuve d un résultat général Calcul littéral Exemples : La somme de deux multiples de 13 est un multiple de 13 La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 3

35 Nombres et calculs Niveau 4 e Reconnaissance de la structure (somme, produit) Factorisation avec un facteur commun Formes réduites visées Calcul littéral a ou ax ou x² Développement, factorisation Développement Développement dune expression du type (a+b)(c+d) Factorisation Identification des termes, des facteurs

36 Nombres et calculs Niveau 4 e Ordre et opérations Connaître et utiliser : léquivalence entre Calcul littéral

37 Nombres et calculs Niveau 4 e Ordre et opérations Mise en évidence de leffet de la multiplication sur lordre par des tests de substitution, ou démonstration à partir des signes de a – b et ac - bc, c étant positif ou négatif. Calcul littéral effet de laddition sur lordre Ecriture dencadrements à la troncature ou à larrondi à un rang donné

38 Problèmes conduisant à une équation du 1 er degré à une inconnue. les équations du type a x + b = c x + d permettent de mettre en évidence les limites des méthodes arithmétiques Nombres et calculs Niveau 4 e Calcul littéral

39 Exemple : Alice et Bertrand disposent chacun dune calculatrice. Ils rentrent le même nombre sur leur calculatrice. Alice multiplie le nombre affiché par 3, puis ajoute 4 au résultat obtenu. Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu. Quand ils ont terminé, ils saperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ? Nombres et calculs Niveau 4 e Calcul littéral Problèmes conduisant à une équation du 1 er degré à une inconnue


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