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CHAPITRE 8 Equations - Inéquations. Objectifs: - Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions du 1er degré de la même variable.

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1 CHAPITRE 8 Equations - Inéquations

2 Objectifs: - Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions du 1er degré de la même variable. - Résoudre léquation x ² = a, où a est un nombre positif. - Comparer des nombres en utilisant laddition et la multiplication. - Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue.

3 La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, ) consiste en: - al jabr (le reboutement, 4 x - 3 = 5 devient 4 x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourdhui. Dans léquation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi sattache à sen débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de léquation. - al muqabala (la réduction, 4 x = x devient x = 9) Les termes semblables sont réduits. A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique lorigine du x dans les équations.

4 I.Equations du 1er degré à une inconnue 1) Les deux règles de résolution Pour résoudre une équation, on peut appliquer les deux règles suivantes : Règle n°1 : On ne change pas les solutions dune équation en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres dune équation. Règle n°2 : On ne change pas les solutions dune équation en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre non nul.

5 Vocabulaire Inconnue cest une lettre qui cache un nombre cherché Equation cest une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une inconnue Résoudre une équation cest chercher et trouver le nombre caché sous linconnue. Solution cest le nombre caché sous linconnue Vérification : 10 x 0, = 2 x 0, donc 0,625 est solution.

6 2) Quatre exemples Résoudre les équations suivantes : Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine +4 à gauche en ajoutant dans chaque membre -4 (Règle n°1 ) On élimine 12 (qui est multiplié à x) à gauche en divisant chaque membre par 12 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

7 Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite. On élimine -13 à gauche en ajoutant dans chaque membre +13 (Règle n°1 ) On élimine -5 x à droite en ajoutant dans chaque membre +5 x (Règle n°1 ) On élimine 9 (qui est multiplié à x ) à gauche en divisant chaque membre par 9 (Règle n°2 ) La solution de cette équation est

8 On va dabord développer et réduire chaque membre de léquation avant de passer à la résolution. On peut maintenant passer à la résolution comme pour lexemple n°2. La solution de cette équation est

9 On va dabord réduire chaque membre de léquation au même dénominateur, ici 14. 2x x7 On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux (Règle n°2 ) On peut maintenant passer à la résolution comme pour lexemple n°1. La solution de cette équation est

10 II. Equations du 2nd degré à une inconnue 1) Equation produit nul Si un produit de facteurs est nul, alors lun au moins des facteurs est nul. Exemple: Résoudre léquation (4 x + 6)(3 - 7 x ) = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 4 x + 6 = 0 Soit x = 0 4 x = x = -3 x = -6/4 x = -3/-7 x = -3/2 x = 3/7 Les deux solutions de léquation sont : x = -3/2 et x = 3/7 Remarque : on peut noter aussi S = {-3/2 ; 3/7} Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

11 2) Etude déquations se ramenant à une équation produit nul Pour toutes ces équations du 2 nd degré, on va basculer toutes les « quantités » dans le membre de gauche afin que le membre de droite soit égal à 0. Voici quelques équations du 2 nd degré : (1 - x )² - (1 - x )( x ) = 0 4 x ² + 12 x + 9 = 0 25 x ² = 70 x x = 5 x ² ( x + 3)² = 64 Puis on va factoriser le membre de gauche afin de se ramener à une équation produit nul. Puis résoudre.

12 (1 - x )² - (1 - x )( x ) = 0 (1 - x ) [ (1 - x ) - ( x ) ] = 0 (1 - x )( x ) = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 1 - x = 0 Soit x = 0 - x = - 1 x = x = 8 x = 8/-4 x = - 2 S = { 1 ; - 2 }

13 (2 x + 3)² = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 2 x + 3 = 0 2 x = - 3 x = -3/2 idem S = { -3/2 } 4 x ² + 12 x + 9 = 0 (2 x + 3) (2 x + 3) = 0 Solution double

14 (5 x - 7)² = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 5 x - 7 = 0 5 x = 7 x = 7/5 idem S = { 7/5 } (5 x - 7) (5 x - 7) = 0 Solution double 25 x ² = 70 x x ² - 70 x + 49 = 0

15 x (-5 x + 3 ) = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit x = 0 Soit - 5 x +3 = x = -3 x = -3/-5 x = 3/5 S = { 0 ; 3/5 } 3 x = 5 x ² - 5 x ² + 3 x = 0

16 ( x – 5 )( x + 11) = 0 Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit x - 5 = 0 Soit x +11 = 0 x = 5 x = - 11 S = { 5 ; - 11 } ( x + 3)² = 64 ( x + 3)² - 64 = 0 ( x + 3)² - 8² = 0 [ ( x + 3) - 8 ] [ ( x + 3) + 8 ] = 0

17 Règle n°3 : On ne change pas le sens dune inégalité si on ajoute ou on retranche un même nombre (positif ou négatif) aux deux membres dune inéquation. Règle n°4 : On ne change pas le sens dune inégalité si on multiplie ou on divise les deux membres dune inéquation par un même nombre POSITIF. Règle n°4 bis: On change le sens dune inégalité si on multiplie ou on divise les deux membres dune inéquation par un même nombre NEGATIF. III. Inéquations du 1er degré à une inconnue 1) Ordre et inégalités

18 2) Résolution dune inéquation Inéquation inégalité qui contient une inconnue x. Résoudre une inéquation cest trouver toutes les valeurs de x qui vérifient cette inégalité. il sagit dun ensemble de valeurs. Remarque : On résout une inéquation du 1er degré à une inconnue de la même manière quune équation du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien appliquer les règles 3, 4 et 4bis.

19 Exemples : Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée. 01 1/7 solutions Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à.

20 On divise par un nombre négatif donc on change le sens de linégalité /2 solutions Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à


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